Chứng minh rằng tiếp tuyến của hypebol \(y = \frac{{{a^2}}}{x}\) lập thành với các trục tọa độ một tam giác có diện tích không đổi.
Ta có: \(y'(x) = - \frac{{{a^2}}}{{{x^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm
là:\(y - \frac{{{a^2}}}{{{x_0}}} = - \frac{{{a^2}}}{{x_0^2}}(x - {x_0}) \Leftrightarrow y = - \frac{{{a^2}x}}{{x_0^2}} + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}}(d)\)
Tiếp tuyến (d) cắt Ox tại điểm \(\left( {0;\frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}}} \right)\) và cắt Oy tại điểm
Vậy diện tích của tam giác tạo bởi tiếp tuyến và hai trục tọa độ là
\(S = \frac{1}{2}\left| {\frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}}} \right|.|2{x_0}| = 2{a^2}\) (không đổi)
-- Mod Toán 11