Cho các hàm số
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d;\,\,\,\left( C \right)\\
g\left( x \right) = {x^2} - 3x - 1
\end{array}\)
a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C ) đi qua các điểm
và \(f'\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{3}\)b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hoành độ x0 = 1;
c) Giải phương trình \(f'\left( {\sin t} \right) = 3\)
d) Giải phương trình \(f''\left( {\cos t} \right) = g'\left( {\sin t} \right)\)
e) Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{f\prime \prime (\sin 5z) + 2}}{{g\prime (\sin 3z) + 3}}\)
a) Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2bx + c\)
Đồ thị hàm số (C) đi qua các điểm (1;3) và (-1;-3) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
1 + b + c + d = 3\\
- 1 + b - c + d = - 3
\end{array} \right.\)
Lại có
\({f'\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{5}{3} \Leftrightarrow 3{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + 2b.\frac{1}{3} + c = \frac{5}{3} \Leftrightarrow 1 + 2b + 3c = 5}\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
1 + b + c + d = 3\\
- 1 + b - c + d = - 3\\
1 + 2b + 3c = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 1\\
c = 2\\
d = 1
\end{array} \right.\)
Vậy ta có: \(f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 2x + 1\)
b)
Điểm có tọa độ
thì có tung độ là \({y_0} = 1 - 1 + 2 + 1 = 3\)Ta có:
\({f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 2 \Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3 - 2 + 2 = 3}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm
là:\({y = 3\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 3x}\)
c) Ta có:
\({f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 2 \Rightarrow f'\left( {\sin t} \right) = 3{{\sin }^2}t = 2\sin t + 2}\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}
f\prime (\sin t) = 3\\
\Leftrightarrow 3\sin 2t - 2\sin t + 2 = 3\\
\Leftrightarrow 3\sin 2t - 2\sin t - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin t = 1\\
\sin t = \frac{{ - 1}}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
t = \arcsin \left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) + k2\pi \\
t = \pi - \arcsin \left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right) + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
d) Ta có:
\({f''\left( x \right) = 6x - 2 \Rightarrow f''\left( {\cos t} \right) = 6\cos t - 2}\)
\({g'\left( x \right) = 2x - 3 \Rightarrow g'\left( {\sin t} \right) = 2\sin t - 3}\)
Do đó: \(f\prime \prime (\cos t) = g\prime (\sin t)\)
e) \(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{f''\left( {\sin 5z + 2} \right)}}{{g'\left( {\sin 3z} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{6\sin 5z}}{{2\sin 3z}} = 5\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} \frac{{\frac{{\sin 5z}}{{5z}}}}{{\frac{{\sin 3z}}{{3z}}}} = 5\)
-- Mod Toán 11