Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới của phân môn Giải tích lá Giới hạn. Ở bài học này các em sẽ được tìm hiểu về giới hạn của dãy số và các phương pháp tính được thể hiện cụ thể qua các ví dụ minh họa.
\( \bullet \) Dãy số \(({u_n})\) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = 0\) .Hay là: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {u_n} = 0\) khi và chỉ khi với mọi \(\varepsilon > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho: \(\left| {{u_n}} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).
\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {u_n} = a \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), tức là: Với mọi \(\varepsilon > 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho \(\left| {{u_n} - a} \right| < \varepsilon ,{\rm{ }}\forall n > {n_0}\).
Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
\( \bullet \) \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)
\( \bullet \) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\)
\( \bullet \) Nếu \({u_n} = c\) (với \(c\) là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } c = c\)
Chú ý: Ta viết \(\lim {u_n} = a\) thay cho cách viết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\).
Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa \(\left| {{u_n}} \right| < {v_n}\) kể từ số hạng nào đó trở đi và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
Định lí 2. Cho \(\lim {u_n} = a,{\rm{ }}\lim {v_n} = b\). Ta có:
\( \bullet \)\(\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b\) \( \bullet \)\(\lim ({u_n} - {v_n}) = a - b\)
\( \bullet \) \(\lim ({u_n}.{v_n}) = a.b\) \( \bullet \) \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}{\rm{ (}}b \ne 0)\)
\( \bullet \) Nếu \({u_n} \ge 0{\rm{ }}\forall n\) thì \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \)
Cho CSN \(({u_n})\) có công bội q thỏa \(\left| q \right| < 1\). Khi đó tổng
\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ....\) gọi là tổng vô hạn của CSN và
\(S = \lim {S_n} = \lim \frac{{{u_1}(1 - {q^n})}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).
\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \Leftrightarrow \) với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó .
\( \bullet \)\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( { - {u_n}} \right) = + \infty \).
\( \bullet \)\(\lim {n^k} = + \infty \) với mọi \(k > 0\)
\( \bullet \) \(\lim {q^n} = + \infty \) với mọi \(q > 1\).
Quy tắc 1: Nếu \(\lim {u_n} = \pm \infty \), \(\lim {v_n} = \pm \infty \) thì \(\lim ({u_n}.{v_n})\) được cho như sau:
\(\lim {u_n}\) | \(\lim {v_n}\) | \(\lim ({u_n}{v_n})\) |
\( + \infty \) \( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) | \( + \infty \) \( - \infty \) \( + \infty \) \( - \infty \) | \( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) \( + \infty \) |
\(\lim {u_n}\) | Dấu của \(l\) | \(\lim ({u_n}{v_n})\) |
\( + \infty \) \( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) | \( + \) \( - \) \( + \) \( - \) | \( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) \( + \infty \) |
Dấu của \(l\) | Dấu của \({v_n}\) | \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) |
\( + \infty \) \( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) | \( + \) \( - \) \( + \) \( - \) | \( + \infty \) \( - \infty \) \( - \infty \) \( + \infty \) |
Phương pháp:
Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \frac{{f(n)}}{{g(n)}}\) ta thường chia cả tử và mẫu cho \({n^k}\), trong đó \(k\) là bậc lớn nhất của tử và mẫu.
\( \bullet \) Khi tìm \(\lim \left[ {\sqrt[k]{{f(n)}} - \sqrt[m]{{g(n)}}} \right]\) trong đó \(\lim f(n) = \lim g(n) = + \infty \) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp.
a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{2{n^2} + 3n + 1}}{{3{n^2} - n + 2}}.\)
b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}}.\)
a) Ta có: \(A = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}} = \frac{2}{3}\).
b) \(B = \lim \frac{{{n^3} - 3{n^2} + 2}}{{{n^4} + 4{n^3} + 1}} = \lim \frac{{{n^4}\left( {\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}} \right)}}{{{n^4}\left( {1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{{{n^4}}}}} = 0.\)
a) Tính giá trị của \(A = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2n} }}{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}.\)
b) Tính giá trị của \(B = \lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt[3]{{3{n^3} + 2}}}}{{\sqrt[4]{{2{n^4} + n + 2}} - n}}.\)
a) Ta có: \(A = \lim \frac{{\frac{{\sqrt {{n^2} + n} }}{n}}}{{\frac{{n - \sqrt {3{n^2} + 1} }}{n}}} = \lim \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} }}{{1 - \sqrt {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{1 - \sqrt 3 }}.\)
b) Ta có: \(B = \lim \frac{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt[3]{{3 + \frac{2}{{{n^3}}}}}} \right)}}{{n\left( {\sqrt[4]{{2 + \frac{1}{{{n^3}}} + \frac{2}{{{n^4}}}}} - 1} \right)}} = \frac{{1 - \sqrt[3]{3}}}{{\sqrt[4]{2} - 1}}\).
Tính giá trị của \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right).\)
Ta có \(A = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - n} \right) = \lim \frac{{{n^2} + 6n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}} = 3.\)
\( = \lim \frac{{6n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + n}} = \lim \frac{6}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + 1}} = 3\)
Tính giá trị của \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right).\)
Ta có: \(D = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right) - \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} - n} \right)\)
\( = \lim \frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} - \lim \frac{{2{n^2}}}{{\sqrt[3]{{{{({n^3} + 2{n^2})}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {n^2}}}\)
\( = \lim \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1}} - \lim \frac{2}{{\sqrt[3]{{{{(1 + \frac{2}{n})}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{2}{n}}} + 1}} = \frac{1}{3}\).
Tìm giới hạn sau \(C = \lim \left[ {\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right]\)
Ta có: \(1 - \frac{1}{{{k^2}}} = \frac{{(k - 1)(k + 1)}}{{{k^2}}}\) nên suy ra
\(\left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}...\frac{{(n - 1)(n + 1)}}{{{n^2}}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}\)
Do vậy \(C = \lim \frac{{n + 1}}{{2n}} = \frac{1}{2}\).
Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm mới của phân môn Giải tích lá Giới hạn. Ở bài học này các em sẽ được tìm hiểu về giới hạn của dãy số và các phương pháp tính được thể hiện cụ thể qua các ví dụ minh họa.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 4 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 4 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 121 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 121 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 121 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 122 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4.1 trang 156 SBT Toán 11
Bài tập 4.2 trang 156 SBT Toán 11
Bài tập 4.3 trang 156 SBT Toán 11
Bài tập 4.4 trang 156 SBT Toán 11
Bài tập 4.5 trang 156 SBT Toán 11
Bài tập 4.6 trang 157 SBT Toán 11
Bài tập 4.7 trang 157 SBT Toán 11
Bài tập 4.8 trang 157 SBT Toán 11
Bài tập 4.9 trang 157 SBT Toán 11
Bài tập 4.10 trang 157 SBT Toán 11
Bài tập 4.11 trang 157 SBT Toán 11
Bài tập 4.12 trang 157 SBT Toán 11
Bài tập 4.13 trang 157 SBT Toán 11
Bài tập 4.14 trang 157 SBT Toán 11
Bài tập 4.15 trang 157 SBT Toán 11
Bài tập 4.16 trang 158 SBT Toán 11
Bài tập 4.17 trang 158 SBT Toán 11
Bài tập 1 trang 130 SGK Toán 11 NC
Bài tập 2 trang 130 SGK Toán 11 NC
Bài tập 3 trang 130 SGK Toán 11 NC
Bài tập 4 trang 130 SGK Toán 11 NC
Bài tập 5 trang 134 SGK Toán 11 NC
Bài tập 6 trang 134 SGK Toán 11 NC
Bài tập 7 trang 135 SGK Toán 11 NC
Bài tập 8 trang 135 SGK Toán 11 NC
Bài tập 9 trang 135 SGK Toán 11 NC
Bài tập 10 trang 135 SGK Toán 11 NC
Bài tập 11 trang 142 SGK Toán 11 NC
Bài tập 12 trang 142 SGK Toán 11 NC
Bài tập 13 trang 142 SGK Toán 11 NC
Bài tập 14 trang 142 SGK Toán 11 NC
Bài tập 15 trang 142 SGK Toán 11 NC
Bài tập 16 trang 143 SGK Toán 11 NC
Bài tập 17 trang 143 SGK Toán 11 NC
Bài tập 18 trang 143 SGK Toán 11 NC
Bài tập 19 trang 143 SGK Toán 11 NC
Bài tập 20 trang 143 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Dãy nào sau đây không có giới hạn?
\(\lim \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 3}}\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\lim \left( {\frac{{3 - 4n}}{{5n}}} \right)\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\lim \frac{{{2^n} + {3^n}}}{{{3^n}}}\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\lim \sqrt {4 - \frac{{{\rm{cos}}\,2n}}{n}} \) có giá trị là bao nhiêu?
\(\lim \frac{{3{n^3} - 2n + 1}}{{4{n^4} + 2n + 1}}\) có giá trị là bao nhiêu?
\(\lim \frac{{3{n^4} - 2n + 3}}{{4{n^4} + 2n + 1}}\) có giá trị là bao nhiêu?
Giới hạn của dãy số (
A. 0
B. 1
C. - 1
D. Không tồn tại
\(\lim \frac{{{{\left( {2 - 3n} \right)}^2}\left( {n + 1} \right)}}{{1 - 4{n^3}}}\) bằng:
A. \(\frac{3}{4}\)
B. 0
C. \(\frac{9}{4}\)
D. \(-\frac{9}{4}\)
Nếu \(S = 1 + 0,9 + {(0,9)^2} + {(0,9)^3} + ... + {(0,9)^n} + ...\) thì:
A.
B.
C.
D. Không thể tính được
\(\lim \frac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{3^n} + {2^n}}}\) bằng
A. 0
B. \( + \infty \)
C. \(- \infty \)
D. \( - \frac{4}{3}\]
Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0:
a) \(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 5}}\)
b) \(\frac{{\sin n}}{{n + 5}}\)
c) \(\frac{{\cos 2n}}{{\sqrt n + 1}}\)
Chứng minh rằng hai dãy số (un) và (vn) với
\({u_n} = \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},\,\,\,{v_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\cos n}}{{{n^2} + 1}}\)
Có giới hạn 0.
Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0:
a) \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\)
b) \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{2^n} + 1}}\)
c) \({u_n} = - \frac{{\sin \frac{{n\pi }}{5}}}{{{{\left( {1,01} \right)}^n}}}\)
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\)
a. Chứng minh rằng \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} \le \frac{2}{3}\) với mọi n.
b. Bằng phương pháp qui nạp, chứng minh rằng \(0 < {u_n} \le {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) với mọi n.
c. Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn 0.
Tìm các giới hạn sau:
a) \(\lim \left( {2 + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}} \right)\)
b) \(\lim \left( {\frac{{\sin 3n}}{{4n}} - 1} \right)\)
c) \(\lim \frac{{n - 1}}{n}\)
d) \(\lim \frac{{n + 2}}{{n + 1}}\)
Tìm \(\lim u_n\) với:
a) \({u_n} = \frac{{{n^2} - 3n + 5}}{{2{n^2} - 1}}\)
b) \({u_n} = \frac{{ - 2{n^2} + n + 2}}{{3{n^4} + 5}}\)
c) \({u_n} = \frac{{\sqrt {2{n^2} - n} }}{{1 - 3{n^2}}}\)
d) \({u_n} = \frac{{{4^n}}}{{{{2.3}^n} + {4^n}}}\)
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 10 và \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{5} + 3\) và \({u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{5} + 3\) với mọi n ≥ 1
a. Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - \frac{{15}}{4}\) là một cấp số nhân.
b. Tìm \(\lim u_n\).
Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,…, tam giác An+1Bn+1Cn+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn, … . Gọi p1, p2, ..., pn, … và S1, S2, …, Sn, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác.
a. Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
b. Tìm các tổng p1+p2+...+pn+... và S1+S2+...+Sn+...
Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a) 0,444...
b) 0,2121...
c) 0,32111...
Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{2}\), C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{4}\),... Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính \(\frac{{AB}}{{2n}}\),... (h. 4.2). Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB.
a. Tính pn và Sn.
b. Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
Tìm giới hạn của các dãy số (un) với:
a) \({u_n} = - 2{n^3} + 3n + 5\)
b) \({u_n} = \sqrt {3{n^4} + 5{n^3} - 7n} \)
Tìm giới hạn của các dãy số (un) với:
a) \({u_n} = \frac{{ - 2{n^3} + 3n - 2}}{{3n - 2}}\)
b) \({u_n} = \frac{{\sqrt[3]{{{n^5} - 7{n^3} - 5n + 8}}}}{{n + 12}}\)
Tìm các giới hạn sau:
a. \(lim (2n+\cos n)\)
b. \(\lim \left( {\frac{1}{2}{n^2} - 3\sin 2n + 5} \right)\)
Chứng minh rằng nếu q > 1 thì \(\lim {q^n} = + \infty \).
Tìm giới hạn của các dãy số (un) với:
a) \({u_n} = \frac{{{3^n} + 1}}{{{2^n} - 1}}\)
b) \({u_n} = {2^n} - {3^n}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là \(0\) nên \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, \(\left| {{v_n}} \right| = \left| {\left| {{u_n}} \right|} \right| = \left| {{u_n}} \right|\).
Do đó, \(\left| {{v_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Vậy, \(\left( {{v_n}} \right)\) có giới hạn là \(0\).
(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).
Câu trả lời của bạn
Dãy \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.
Thật vậy, giả sử ngược lại, \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) có giới hạn hữu hạn.
Khi đó, các dãy số \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\left( {{u_n}} \right)\) cùng có giới hạn hữu hạn, nên hiệu của chúngcũng là một dãy có giới hạn hữu hạn, nghĩa là dãy số có số hạng tổng quát là \({u_n} + {v_n} - {u_n} = {v_n}\) có giới hạn hữu hạn.
Điều này trái với giả thiết \(\left( {{v_n}} \right)\) không có giới hạn hữu hạn.
Câu trả lời của bạn
\(\lim {a_n} = \lim \dfrac{{2n - 3{n^3} + 1}}{{{n^3} + {n^2}}}\) \( = \lim \dfrac{{{n^3}\left( {\dfrac{2}{{{n^2}}} - 3 + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{{{n^2}}} - 3 + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}{{1 + \dfrac{1}{n}}}\) \( = \dfrac{{0 - 3 + 0}}{{1 + 0}} = \dfrac{{ - 3}}{1} = - 3\)
Câu trả lời của bạn
\(\lim {b_n} = \lim \dfrac{{3{n^3} - 5n + 1}}{{{n^2} + 4}}\) \( = \lim \dfrac{{{n^3}\left( {3 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {\dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^3}}}} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}}}{{\dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^3}}}}}\) \( = + \infty \)
(vì \(\lim \left( {3 - \dfrac{5}{{{n^2}}} + \dfrac{1}{{{n^3}}}} \right) = 3 > 0\) và \(\lim \left( {\dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{{{n^3}}}} \right) = 0\))
Câu trả lời của bạn
\(\lim {c_n} = \lim \dfrac{{2n\sqrt n }}{{{n^2} + 2n - 1}}\) \( = \lim \dfrac{{2{n^2}.\dfrac{1}{{\sqrt n }}}}{{{n^2}\left( {1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{\dfrac{2}{{\sqrt n }}}}{{1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}}}\) \( = \dfrac{0}{{1 + 0 - 0}} = 0\)
Câu trả lời của bạn
\(\lim {u_n} = \lim \left( {{2^n} + \dfrac{1}{n}} \right)\) \( = \lim {2^n} + \lim \dfrac{1}{n} = + \infty \)
(Vì \(\lim {2^n} = + \infty ,\lim \dfrac{1}{n} = 0\))
Câu trả lời của bạn
\(\lim {v_n} = \lim \left[ {{{\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right)}^n} + \dfrac{{{3^n}}}{{{4^n}}}} \right]\) \( = \lim {\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right)^n} + \lim {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^n}\) \( = 0 + 0 = 0\).
(vì \(\left| { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right| < 1\) và \(\dfrac{3}{4} < 1\) nên \(\lim {\left( { - \dfrac{{\sqrt 2 }}{\pi }} \right)^n} = \lim {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^n} = 0\))
Câu trả lời của bạn
\(\lim \left( { - {n^3} - 3{n^2} - 2} \right)\) \( = \lim \left[ { - {n^3}\left( {1 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{2}{{{n^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)
Vì \(\lim \left( { - {n^3}} \right) = - \infty \) và \(\lim \left( {1 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{2}{{{n^3}}}} \right)\) \( = 1 + 0 + 0 = 1 > 0\).
Câu trả lời của bạn
\(\lim {u_n} = \lim \dfrac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{{2.4}^n} + {2^n}}}\) \( = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} - 1 + \dfrac{1}{{{4^n}}}}}{{2 + {{\left( {\dfrac{2}{4}} \right)}^n}}}\) \( = \dfrac{{0 - 1 + 0}}{{2 + 0}} = - \dfrac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
\(\lim {v_n}\) \( = \lim \dfrac{{\sqrt {{n^2} + n - 1} - \sqrt {4{n^2} - 2} }}{{n + 3}}\) \( = \lim \dfrac{{n\sqrt {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} - n\sqrt {4 - \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}{{n\left( {1 + \dfrac{3}{n}} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{{n^2}}}} - \sqrt {4 - \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}{{1 + \dfrac{3}{n}}}\) \( = \dfrac{{1 - 2}}{1} = - 1\).
Câu trả lời của bạn
\(\lim \left( {{n^2} + 2n - 5} \right)\) \( = \lim {n^2}\left( {1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{5}{{{n^2}}}} \right)\) \( = + \infty \).
Vì \(\lim {n^2} = + \infty \) và \(\lim \left( {1 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{5}{{{n^2}}}} \right) \) \(= 1 + 0 - 0 = 1>0\)
Câu trả lời của bạn
\(\lim \left[ {{4^n} + {{\left( { - 2} \right)}^n}} \right]\) \( = \lim {4^n}\left[ {1 + {{\left( { - \dfrac{2}{4}} \right)}^n}} \right] = + \infty \).
Vì \(\lim {4^n} = + \infty \) và \(\lim \left[ {1 + {{\left( { - \dfrac{2}{4}} \right)}^n}} \right]\) \( = 1 + 0 = 1 > 0\).
Câu trả lời của bạn
\(\lim \dfrac{{{{\left( {2 - 3n} \right)}^2}\left( {n + 1} \right)}}{{1 - 4{n^3}}}\)\( = \lim \dfrac{{{{\left[ {n\left( {\dfrac{2}{n} - 3} \right)} \right]}^2}.n\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{{n^3}\left( {\dfrac{1}{{{n^3}}} - 4} \right)}}\) \( = \lim \dfrac{{{n^3}{{\left( {\dfrac{2}{n} - 3} \right)}^2}\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{{n^3}\left( {\dfrac{1}{{{n^3}}} - 4} \right)}}\)
\( = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{n} - 3} \right)}^2}\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{\dfrac{1}{{{n^3}}} - 4}}\) \( = \dfrac{{{{\left( {0 - 3} \right)}^2}\left( {1 + 0} \right)}}{{0 - 4}} = \dfrac{{ - 9}}{4}\)
Câu trả lời của bạn
\(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right)n\)
\(\begin{array}{l} = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2} } \right)\left( {\sqrt {{n^2} - 1} + \sqrt {{n^2} + 2} } \right)n}}{{\sqrt {{n^2} - 1} + \sqrt {{n^2} + 2} }}\\ = \lim \dfrac{{\left( {{n^2} - 1 - {n^2} - 2} \right).n}}{{\sqrt {{n^2} - 1} + \sqrt {{n^2} + 2} }}\\ = \lim \dfrac{{ - 3n}}{{\sqrt {{n^2}\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)} + \sqrt {{n^2}\left( {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} \right)} }}\\ = \lim \dfrac{{ - 3n}}{{n\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} + n\sqrt {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}\\ = \lim \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{n^2}}}} }}\\ = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt {1 + 0} + \sqrt {1 + 0} }} = - \dfrac{3}{2}\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\lim \dfrac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{3^n} + {2^n}}}\\ = \lim \dfrac{{{4^n}\left( {\dfrac{{{3^n}}}{{{4^n}}} - 1 - \dfrac{1}{{{4^n}}}} \right)}}{{{4^n}\left( {\dfrac{{{3^n}}}{{{4^n}}} + \dfrac{{{2^n}}}{{{4^n}}}} \right)}}\\ = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} - 1 - \dfrac{1}{{{4^n}}}}}{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{2}{4}} \right)}^n}}}\end{array}\)
Vì \(\lim \left[ {{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} - 1 - \dfrac{1}{{{4^n}}}} \right]\) \( = 0 - 1 - 0 = - 1 < 0\) và \(\lim \left[ {{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{2}{4}} \right)}^n}} \right] = 0 + 0 = 0\) và \({\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{2}{4}} \right)^n} > 0\) nên \(\lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} - 1 - \dfrac{1}{{{4^n}}}}}{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{2}{4}} \right)}^n}}} = - \infty \)
Vậy \(\lim \dfrac{{{3^n} - {4^n} + 1}}{{{3^n} + {2^n}}} = - \infty \).
Câu trả lời của bạn
\(\lim {v_n} = 0 \Rightarrow \left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)
Vì \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) và \({v_n} \le \left| {{v_n}} \right|\) với mọi n, nên \(\left| {{u_n}} \right| \le \left| {{v_n}} \right|\) với mọi n. (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left| {{u_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {u_n} = 0\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) \( \Leftrightarrow 3 = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - \dfrac{2}{3}}}\) \( \Leftrightarrow {u_1} = 3\left( {1 - \dfrac{2}{3}} \right) = 3.\dfrac{1}{3} = 1\) \( \Rightarrow {u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{n - 1}}\)
Câu trả lời của bạn
Dãy số đã cho là cấp số nhân có \({u_1} = 1,q = - \dfrac{1}{2}\).
Dễ thấy \(\left| { - \dfrac{1}{2}} \right| < 1\) nên dãy đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{2}{3}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left| {{u_n} - 2} \right| \le \dfrac{1}{{{3^n}}}\) và \(\lim \dfrac{1}{{{3^n}}} = 0\) nên \(\lim ({u_n}-2) = 0\) hay \(\lim {u_n}= 2\).
Cách khác:
Ta có:
\(\lim \dfrac{1}{{{3^n}}} = 0\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{{3^n}}}\) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mà \(\left| {{u_n} - 2} \right| \le \dfrac{1}{{{3^n}}}\) nên \(\left| {{u_n} - 2} \right|\) nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.
\( \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \lim {u_n} = 2\)
Câu trả lời của bạn
Dãy số: \(\displaystyle \sin \alpha ,...,{\sin ^n}\alpha ,...\) với \(\displaystyle \alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi \), là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội \(\displaystyle q = \sin \alpha \)
Vì \(\displaystyle \left| {\sin \alpha } \right| < 1\) với \(\displaystyle \alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi \) nên \(\displaystyle \left( {{{\sin }^n}\alpha } \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn.
Hơn nữa, \(\displaystyle {b_n} = \sin \alpha + {\sin ^2}\alpha + ... + {\sin ^n}\alpha = {S_n}\)
Do đó, \(\displaystyle \lim {b_n} = \sin \alpha + {\sin ^2}\alpha + ... + {\sin ^n}\alpha + ...\) \(\displaystyle = {{\sin \alpha } \over {1 - \sin \alpha }}\).
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *