Cho biết dãy số (
) xác định bởi công thức truy hồi\(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + 1}}{2},\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)
Chứng minh (un) có giới hạn hữu hạn khi \(n \to + \infty \). Tìm giới hạn đó.
Ta có: \({u_1} = 2;\,{u_2} = \frac{3}{2};\,{u_3} = \frac{5}{4};\,{u_4} = \frac{9}{8};\,{u_5} = \frac{{17}}{{16}}\)
Dự đoán \({u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\)
Chứng minh bằng quy nạp:
Với
, ta có: \({u_1} = \frac{{{2^0} + 1}}{{{2^0}}} = 2\) (hệ thức đúng)Giả sử công thức đúng với \(
Ta chứng minh công thức đúng với \(
. Thật vậy:\({u_{k + 1}} = \frac{{{u_k} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}} + 1}}{2} = \frac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{{2.2}^{k - 1}}}} = \frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)
Vậy công thức đúng với mọi
.Ta có:
\(\lim {u_n} = \lim \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}} = \lim \left( {1 + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right) = 1\)
-- Mod Toán 11