Cho dãy số (
) có số hạng tổng quát là \({b_n} = \sin \alpha + {\sin ^2}\alpha + ... + {\sin ^n}\alpha \) với \(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \). Tìm giới hạn của ( ).Xét dãy số: \(\sin \alpha ,{\sin ^2}\alpha ,{\sin ^3}\alpha ,...,{\sin ^n}\alpha \) với
\(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) là cấp số nhân có công bội là \(\sin \alpha \).Vì \(\left| {\sin \alpha } \right| < 1\) với
\(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) nên \(\left( {{{\sin }^n}\alpha } \right)\) là cấp số nhân lùi vô hạn.Do đó ta có: \(\lim {b_n} = \lim (\sin \alpha + {\sin ^2}\alpha + {\sin ^3}\alpha + ... + {\sin ^n}\alpha + ...) = \frac{{\sin \alpha }}{{1 - \sin \alpha }}\)
-- Mod Toán 11