Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
- Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (c.g.c; hình a).
- Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc của tam giac vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (g.c.g; hình b)
- Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (g.c.g; hình c)
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vùng đó bằng nhau (hình d).
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A.
Giải
Xét hai tam giác vuông ADB và ADC có AD cạnh chung
AB = AC (gt)
Nên \(\Delta ADB = \Delta ADC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) (góc tương ứng)
Vậy AD là tia phân giác của góc A.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ \(BH \bot AC,CK \bot AB.\) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh AI là tia phân giác của góc A.
Giải
Xét hai tam giác AHB và AKC, ta có: AB=AC (gt)
\({B_1} = \widehat {{C_1}}\) (cùng nhau \(\frac{1}{2}\widehat B = \frac{1}{2}\widehat C\))
Nên \(\Delta AHB = \Delta AKC\) (cạnh huyền, cạnh góc nhọn) suy ra AH = AK (cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông AHI và AKI, ta có:
AI cạnh chung
AH= AK (CM trên)
Nên \(\Delta AHI = \Delta AKI\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\)
Vậy AI là tia phân giác của góc A.
Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E.
a. So sánh độ dài AE và DE
b. Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh C cắt đường thẳng BE ở K. Tính \(\widehat {BAK}.\)
Giải
a. Nối BE xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta DBE,\) có:
\(\begin{array}{l}BAE = BDE = {90^0}\\BA = BD\,\,(gt)\end{array}\)
BC cạnh chung
Nên \(\Delta ABE = \Delta DBE\) (trường hợp cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra AE = DE
b. Nối AK
Vì \(\Delta ABE = \Delta DBE\) nên ta có \(\widehat {ABE} = \widehat {DBE}\) hay BK là tia phân giác của góc B. Kẻ \(KM \bot BC,\,\,KN \bot AB,\,KH \bot AC.\)
Hai tam giác vuông KHC và KMC có cạnh huyền KC chung, hai góc nhọn bằng nhau \(\widehat {KCH} = \widehat {KCM}\) (CK là phân giác của \(\widehat {HCM}\)) nên \(\Delta KHC = \Delta KMC\)
Suy ra KH = KM
Tương tự \(\Delta KNB = \Delta KMB\) (cạnh huyền, góc nhọn)
Nên KM = KN
Suy ra KH = KN (cùng bằng KM)
Xét hai tam giác vuông KAH và KAN có:
KA cạnh chung
KH = KN
Nên \(\Delta KAH = \Delta KAN\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \frac{1}{2}\widehat {HAN} = {45^0}\)
Do đó
\(\begin{array}{l}\widehat {BAK} = \widehat {BAC} + \widehat {{A_2}}\\ = {90^0} + {45^0}\end{array}\)
Vậy \(\widehat {BAK} = {135^0}\)
Bài 1: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A (AB < AC), M là một điểm thuộc cạnh AC. Kẻ MH vuông góc với BC \((H \in BC)\). Biết MH = HB. Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc A.
Giải
Kẻ \(HI \bot AB,\,\,HK \bot AC\,\,(I \in AB,\,K \in AC)\)
Ta có \(\widehat {{M_1}} = \widehat B\) (Vì \(\widehat {{M_1}} + \widehat C = {90^0};\widehat B + \widehat C = {90^0}\,\))
Xét \(\Delta HIB\) và \(\Delta HKM\)
Có: \(\widehat I = \widehat K = {90^0}\)
HB=MH (gt)
\(\widehat B = \widehat {{M_1}}\)
Vậy \(\Delta HIB = \Delta HKM\) (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra HI = HK
Xét \(\Delta AIH = \Delta AKH\) có:
\(\widehat I = \widehat K = {90^0}\)
AH cạnh chung
HI = HK
Vậy \(\Delta AIH = \Delta AKH\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\)
Vậy AH là tia phân giác của góc A.
Bài 2: Cho tam giác cân ABC, cạnh đáy BC. Từ B kẻ đường vuông góc với AB và từ C kẻ đường vuông góc với AC. Hai đường này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng:
a. \(\Delta ABM = \Delta ACM\)
b. AM là đường trung trực của BC.
Giải
a. Xét hai tam giác vuông ABM và ACM có:
Cạnh huyền AM chung
AB = AC (gt)
Vậy \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
b. Gọi H là giao điểm của AM và BC, hai tam giác AHB và AHC có AB = AC (gt), \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\,\,(\Delta ABM = \Delta ACM);\)AH là cạnh chung. Nên \(\Delta AHB = \Delta AHC\,\,(c.g.c)\)
Suy ra \(HB = HC;\,\,\,\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\)
Mà \(\,\,\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}} = {180^0}\)
Nên \(\,\,\widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}} = {90^0}\)hay \(AH \bot BC.\)
Vậy AM là đường trung trực của BC (\(AH \bot BC\) và \(HB = HC\))
Bài 3: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Ở miền ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD, ACF (AB =BD; AC = CF).
a. Chứng minh D, A, F thẳng hàng.
b. Từ D và F hạ các đường vuông góc DD’, FF’ xuống đường thẳng BC. Chứng minh: DD’ + FF’ = BC.
Giải
a. Vì các tam giác DBA, ACF vuông cân nên ta suy ra:
\(\widehat {DAB} = {45^0};\widehat {{\rm{CAF}}} = {45^0}\)
Nên
\(\begin{array}{l}\widehat {{\rm{DAF}}} = \widehat {{\rm{DAB}}} + \widehat {{\rm{BAC}}} + \widehat {{\rm{CAF}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,{45^0} + {90^0} + {45^0} = {180^0}\end{array}\)
Vậy D, A, F thẳng hàng
b. Từ A vẽ \(AH \bot BC\)
Xét hai tam giác vuông DD’B và BHA có:
BD=AB (gt)
\(\widehat {DBD'} = \widehat {BAH}\) (Cùng phụ với \(\widehat {ABH}\))
Nên \(\Delta DBD' = \Delta BAH\) (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra DD’ = BH (1)
Tương tự \(\Delta F'CF = \Delta HAC\) (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra FF’=HC (2)
Cộng vế với vế (1) và (2) ta có:
DD’+ FF’=BH + HC
Vậy DD’ + FF’ = BC.
Qua bài giảng Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Bài 8 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Cho tam giác ABC và tam giác NPM có BC = PM, \(\widehat B = \widehat P = {90^0}\). Cần thêm điều kiện gì để tam giác ABC và tam giác NPM bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông?
Cho tam giác ABC và tam giác MNP có \(\widehat A = \widehat M = {90^0},\widehat C = \widehat P\). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn kề
Cho tam giác ABC và tam giác DEF có \(\widehat B = \widehat E = {90^0},AC = DF,\widehat A = \widehat F\). Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là đúng
Câu 4-9: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Bài 8để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 63 trang 136 SGK Toán 7 Tập 1
Bài tập 64 trang 136 SGK Toán 7 Tập 1
Bài tập 65 trang 137 SGK Toán 7 Tập 1
Bài tập 66 trang 137 SGK Toán 7 Tập 1
Bài tập 93 trang 151 SBT Toán 7 Tập 1
Bài tập 94 trang 151 SBT Toán 7 Tập 1
Bài tập 95 trang 151 SBT Toán 7 Tập 1
Bài tập 96 trang 151 SBT Toán 7 Tập 1
Bài tập 97 trang 151 SBT Toán 7 Tập 1
Bài tập 98 trang 151 SBT Toán 7 Tập 1
Bài tập 99 trang 151 SBT Toán 7 Tập 1
Bài tập 100 trang 151 SBT Toán 7 Tập 1
Bài tập 101 trang 151 SBT Toán 7 Tập 1
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Cho tam giác ABC và tam giác NPM có BC = PM, \(\widehat B = \widehat P = {90^0}\). Cần thêm điều kiện gì để tam giác ABC và tam giác NPM bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông?
Cho tam giác ABC và tam giác MNP có \(\widehat A = \widehat M = {90^0},\widehat C = \widehat P\). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn kề
Cho tam giác ABC và tam giác DEF có \(\widehat B = \widehat E = {90^0},AC = DF,\widehat A = \widehat F\). Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là đúng
Cho tam giác ABC và tam giác KHI có: \(\widehat A = \widehat K = {90^0},AB = KH,BC = HI\). Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng
Cho tam giác ABC và tam giác DEF có AB = DE, \(\widehat B = \widehat E,\widehat A = \widehat D = {90^0}\). Biết AC = 9cm. Độ dài DF là:
Cho tam giác DEF và tam giác HKI có \(\widehat D = \widehat H = {90^0},\widehat E = \widehat K\). Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc I là:
Cho hình vẽ sau. Chọn câu đúng
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Kho đó, tam giác ABC là tam giác gì?
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng d bất kì luôn đi qua A. Kẻ BH và CK vuông góc với đường thẳng d. Khi đó tổng BH2 + CK2 bằng
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (\(H \in BC\)). Chứng minh rằng:
a) HB = HC
b) \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)
Các tam giác vuông ABC và DEF có \(\widehat A = \widehat D = {90^o},AC = DF\). Hãy bổ sung thêm một điều kiện bằng nhau (về cạnh hay về góc) để \(\Delta ABC = \Delta D{\rm{EF}}\)
Cho tam giác ABC cân tại A (\(\widehat A < {90^o}\)). Vẽ \(BH \bot AC\,\,\left( {H \in AC} \right)\), \(CK \bot AB\,\,\left( {K \in AB} \right)\)
a) Chứng minh rằng AH = AK
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Tìm các tam giác bằng nhau trên hình 148:
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Kẻ \(AD\) vuông góc với \(BC.\) Chứng minh rằng \(AD\) là tia phân giác của góc \(A.\)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Kẻ \(BD\) vuông góc với \(AC,\) kẻ \(CE\) vuông góc với \(AB.\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE.\) Chứng minh rằng \(AK\) là tia phân giác của góc \(A.\)
Tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của \(BC, AM\) là tia phân giác của góc \(A.\) Kẻ \(MH\) vuông góc với \(AB, MK\) vuông góc với \(AC.\) Chứng minh rằng:
a) \(MH = MK\).
b) \(\widehat B = \widehat C\).
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Các đường trung trực của \(AB, AC\) cắt nhau ở \(I.\) Chứng minh rằng \(AI\) là tia phân giác của góc \(A.\)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Qua \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\), qua \(C\) kẻ đường vuông góc với \(AC\), chúng cắt nhau tại \(D\). Chứng minh rằng \(AD\) là tia phân giác của góc \(A.\)
Tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(AM\) là tia phân giác của góc \(A.\) Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác cân.
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của tia \(BC\) lấy điểm \(D\), trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BD = CE.\) Kẻ \(BH\) vuông góc với \(AD,\) kẻ \(CK\) vuông góc với \(AE.\) Chứng minh rằng:
a) \(BH = CK\)
b) \(∆ABH = ∆ACK\)
Cho tam giác \(ABC.\) Các tia phân giác của các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(I.\) Chứng minh rằng \(AI\) là tia phân giác của góc \(A.\)
Hướng dẫn: Từ \(I\) kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác \(ABC.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC.\) Tia phân giác của góc \(A\) cắt đường trung trực của \(BC\) tại \(I.\) Kẻ \(IH\) vuông góc với đường thẳng \(AB\), kẻ \(IK\) vuông góc với đường thẳng \(AC.\) Chứng minh rằng \(BH = CK.\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho tam giác ABC cân tại A (A<90°) ,vẽ BD⊥AC, CE⊥AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a) CMR: △ABD = △ACE
b) CM: △AED cân
c) CM: AH là đường trung trực của ED
d) Trên tia đối của tia DP lấy điểm K sao cho DK=DP. CMR: ∠ECB=∠DKC
GIÚP MK NHA MN☺
Câu trả lời của bạn
a) Xét \(\Delta ABD,\Delta ACE\) có :
\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\left(=90^{^O}\right)\)
\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\widehat{A}:chung\)
=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\) (cạnh huyền - góc nhọn) (*)
b) Từ (*) suy ra :
\(AE=AD\) (2 cạnh tương ứng)
=> \(\Delta AED\) cân tại A (đpcm)
c) Xét \(\Delta AEH,\Delta ADH\) có :
\(AE=AD\left(cmt\right)\)
\(\widehat{AEH}=\widehat{ADH}\left(=90^{^O}\right)\)
\(AH:Chung\)
=> \(\Delta AEH=\Delta ADH\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{EAH}=\widehat{DAH}\) (2 góc tương ứng)
=> AH là tia phân giác của \(\widehat{A}\)
Mà : \(\Delta AED\) là tam giác cân
Suy ra :AH là đường trung trực trong \(\Delta AED\)
Nên : \(\left\{{}\begin{matrix}AH\perp ED\\EH=HD\end{matrix}\right.\) (tính chất đường trung trực)
Do đó : AH là đường trung trực của ED (đpcm)
Cho góc xOy bé hơn 90 độ lấy A thuộc Ox, B thuộc Oy và AC vuông góc với Ox tại A.BD vuông góc với Oy tại B sao cho OA=OB . a) goi I là giao điểm của AC và BD.CHỨNG minh: tam giác OAI = tam giác OBI
Câu trả lời của bạn
Xét \(\Delta OAI;\Delta OBI\) có :
\(OA=OB\left(gt\right)\)
\(\widehat{OAI}=\widehat{OBI}\left(=90^o\right)\)
\(OI:chung\)
=> \(\Delta OAI=\Delta OBI\left(c.g.c\right)\)
=> đpcm
Cho \(\widehat{xOy}\) và A nằm trong góc xOy kẻ AH AK lần lượt vuông góc Ox Oy tại H và K Vẽ M và N sao cho H là trung điểm của MA , K là trung điểm của NA . Chứng minh OM = ON
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Xét tam giác $OMH$ và $OAH$
\(\left\{\begin{matrix} \angle MHO=\angle AHO=90^0\\ OH-\text{chung}\\ MH=AH\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle OMH=\triangle OAH(c.g.c)\)
\(\Rightarrow OM=OA(1)\)
Xét tam giác $OAK$ và $ONK$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \angle OKA=\angle OKN=90^0\\ OK-\text{chung}\\ AK=NK\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle OAK=\triangle ONK(c.g.c)\)
\(\Rightarrow OA=ON(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow OM=ON\) (đpcm)
Cho tam giác ABC vuông góc tại A, tia phân giác của góc B cắt AC tại E. Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF=BM
a, Chứng minh tam giác ABE bằng tam giác FBE
b,Chứng minh EF vuông góc với BC
c, Trên tia đối của EFF lấy điểm M sao cho ME=EC. Chứng minh 3 điểm B,A,M thẳng hàng
Câu trả lời của bạn
a.
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta FBE\) có :
Cạnh BE(chung)
góc ABE = góc FBE (gt)
=> tg ABE = tg FBE (ch-gn)
b. tg ABE = tg FBE => góc BAE = góc BFE = 90 độ
=> EF vuông góc BC .
c.
Xét \(\Delta EAM\) và \(\Delta EFC\) ; có :
EA = EF ( vì \(\Delta ABE=\Delta FBE\))
\(\widehat{AEM}=\widehat{FEC}\left(đ^2\right)\\ ME=EC\left(gt\right)\\ \Rightarrow\Delta EAM=\Delta EFC\left(c-g-c\right)\\ \Rightarrow\widehat{EAM}=\widehat{EFC}=90^0\\ \Rightarrow\widehat{BAM}=180^0\)
=> B; A ; M thẳng hàng
Cho t.g ABC (AB < AC). Tia phân giác góc B cắt A ở D. Kẻ DH vuông góc BC. Trên AC lấy E sao cho AB = AE. Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt DH ở K. CMR:
a) AB = BH
b) góc DBK = 45o
Câu trả lời của bạn
a, Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBD\) có:
\(\widehat{A}=\widehat{BHD}\left(=90^0\right)\)
BD chung
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) (BD là phân giác của góc B)
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta HBD\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow AB=BH\) (hai cạnh tương ứng)
Vậy...
b, Đường vuông góc vs AE k cắt DH.
Cho tam giác ABC cân tại A,D là một điểm trên ACsao cho AD=AE. Từ D và E hạ các đường DM và EN cùng vuông góc với BC. Chứng Minh: BM=CN
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC nhọn có AH là đường cao. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD=AC. Kẻ DE vuông góc với đường thẳng AH ở E. C/mR: A là trung điểm của EH
Câu trả lời của bạn
\(\Delta ABC\). Phân góc góc A và B cắt nhau tại I. Kẻ \(IM\perp AB\) ( \(M\in AB\)). Kẻ \(IN\perp BC\) ( \(N\in BC\)). Kẻ \(IQ\perp AC\)
( \(Q\in AC\))
a, Chứng minh: \(\Delta IMA=\Delta IQA\)
b, Chứng minh: IM=IQ
Câu trả lời của bạn
tự vẽ hình nha
a)Xét tam giác vuông IMA và tam giác vuông IQA có
góc A1=góc A2(AI là tia phân giác góc A)
AI chung
\(\Rightarrow\)\(\Delta IMA=\Delta IQA\left(ch-gn\right)\)
b)\(\Delta IMA=\Delta IQA\left(ch-gn\right)\)
nên IM=IQ
Cho tam giác ABC có Â= 90°. Kẻ AH vuông góc với BC( H€ BC), biết rằng HC - HB = AB.
CMR: BC= 2AB
Câu trả lời của bạn
Hình bạn tự vẽ nha
Lấy điểm \(D\in BC\) sao cho H là trung điểm của BD
Xét 2 t/g vuông: \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHD\), có:
cgv:AH:chung
cgv:HB=HD(H là trung điểm của BD)
Do đó: \(\Delta AHB=\Delta AHD\left(2cgv\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{HDA}\)(tương ứng)
Và \(AB=AD\)(tương ứng)
Đề bài cho:\(HC-HB=AB\)
Ta cũng có:\(HC-HD=DC\)
............Mà:\(HB=HD\left(cmt\right)\)(Nối 3 cái bằng dấu mốc)
\(\Rightarrow AB=DC\)
Mà \(AB=AD\left(cmt\right)\)(Nối 2 cái bằng dấu mốc)
\(\Rightarrow CD=AD\)
\(\Rightarrow\Delta ADC\) cân tại D
\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{C}\)(hai góc ở đáy)
Trong \(\Delta ABC\) vuông tại A, có:
\(\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{BAC}=90^0\)(trong t/g vuông hai góc nhọn phụ nhau)
Mà \(\widehat{C}=\widehat{DAC}\left(cmt\right)\)(Nối 2 cái bằng dấu mốc)
\(\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{DAC}=\widehat{BAC}=90^0\)
Mà \(\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=\widehat{BAC}=90^0\)(Nối 2 cái bằng dấu mốc)
\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{BAD}\)
Mà \(\widehat{B}=\widehat{ADB}\left(cmt\right)\)(cụ thể: \(\widehat{ADB}\) là \(\widehat{HDA}\))(Nối 2 cái bằng dấu mốc)
\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{ADB}=\widehat{BAD}\)
\(\Rightarrow\Delta ABD\) là t/g đều
\(\Rightarrow BD=AD\)(tương ứng)
Mà \(CD=AD\left(cmt\right)\)(Nối 2 cái bằng dấu mốc)
\(\Rightarrow BD=CD\)
Mà \(BD+CD=BC\)(Nối 2 cái bằng dấu mốc)
\(\Rightarrow2DC=BC\)
Mà \(CD=AB\left(cmt\right)\)(Nối 2 cái bằng dấu mốc)
\(\Rightarrow2AB=BC\) hay \(BC=2AB\left(đpcm\right)\)
Dấu mốc là dấu:\(\left\{{}\begin{matrix}\\\end{matrix}\right.\)nha
Cho tam giác ABC cân tại A.Kẻ AM vuông góc với BC
a.CM:MB=MC và MAB=MAC
b.Kẻ MI vuông góc với AB,MJ vuông góc với AC.CM:MI=MJ
c.Kẻ BK vuông góc với AC.Chứng minh:BK=MI+MJ
Câu trả lời của bạn
a.
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) cùng vuông tại M có:
AB = AC (gt)
AM cạnh chung
Do đó: \(\Delta ABM=\Delta ACM\) ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)
=> MB = MC ( 2 cạnh tương ứng)
và góc MAB = góc MAC ( 2 góc tương ứng)
b.
Xét \(\Delta AMI\) vuông tại I và \(\Delta AMJ\) vuông tại J có:
AM là cạnh chung
góc AMI = góc AMJ ( góc AMB = góc AMC)
Do đó: \(\Delta AMI=\Delta AMJ\) ( cạnh huyền - góc nhọn)
=> MI = MJ ( 2 cạnh tương ứng)
Cho tam giasc ABC cos AB=AC=5 cm, BC=8 cm. Kẻ AHvuông góc với BC( H thuộc BC).
a, Chứng minh HB=HC và góc BAH = góc CAH.
b, Tính độ dài AH.
c, Kẻ AD vuông góc với AB ( D thuộc AB); HE vuông góc với AC( E thuộc AC). CMR: tam giác HDE là tam giác cân
Câu trả lời của bạn
a) Xét \(\Delta ABH,\Delta ACH\) có :
\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\) (\(\Delta ABC\) là tam giác cân)
\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) là tam giác cân)
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)
=> \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}HB=HC\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right)\\\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\end{matrix}\right.\)
b)Ta có : \(HB=HC=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.8=4\left(cm\right)\)
Xét \(\Delta ABH\perp H\) có :
\(AH^2=AB^2-BH^2\) (định lí PYTAGO)
=> \(AH^2=5^2-4^2=9\)
=> \(AH=\sqrt{9}=3\)(cm)
c) Xét \(\Delta DBH,\Delta ECH\) có :
\(\widehat{DBH}=\widehat{ECH}\) (tam giác ABC cân tại A)
\(BH=CH\left(cmt\right)\)
\(\widehat{BDH}=\widehat{CEH}\left(=90^o\right)\)
=> \(\Delta DBH=\Delta ECH\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> HD = HE (2 cạnh tương ứng)
=> \(\Delta HDE\) cân tại H.
Cho tam giác ABC cắt tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I . Chứng minh : AI là tia phân giác của góc A
Câu trả lời của bạn
Ta có : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (Vì \(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\times\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}\times\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)
\(\Rightarrow\Delta IBC\) cân tại I
\(\Rightarrow\) BI = IC (1)
Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có :
AI : cạnh chung
BA = AC (Vì \(\Delta ABC\) cân tại A)
BI = IC (1)
\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\) (c . c . c)
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)
\(\Rightarrow\) AI à tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
cho tam giác ABC có AB=AC. vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông ABK và tam giác vuông ACD có AB=AK,AC=AD. Chứng minh tam giác ABK=ACD
Câu trả lời của bạn
Hình:
Lời giải:
Ta có:
\(AB=AC\left(gt\right)\)
Mà \(AB=AK\left(gt\right)\) và \(AC=AD\left(gt\right)\)
\(\Leftrightarrow AB=AC=AK=AD\) (*)
Xét tam giác ABK và tam giác ACD, có:
\(\widehat{KAB}=\widehat{DAC}=90^0\)
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(AK=AD\) (Theo *)
\(\Rightarrow\Delta ABK=\Delta ADC\) (Hai cạnh góc vuông)
=> Đpcm.
cho tam giác ABC có AB=AC. Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB (D thuộc AC), (E thuộc AB). Gọi O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng :
a) BD=CE
b) Tanm giác OEB=ODC
c)AO là phân giác của góc BAC.
d) ED//BC
Câu trả lời của bạn
a) Xét tam giác ABD và tam giác ACE có
góc ADB = góc AEC = 90 độ
AB=AC
góc A: chung
=> tam giác ABD = tam giác ACE (cạnh huyền - góc nhọn)
=> BD=CE và AD=AE
b) Vì AB=AC và AE=AD => AB-AE=AC-AD => BE=CD
Xét tam giác OEB và tam giác ODC có
góc OEB = góc ODC = 90 độ
BE=CD
góc BOE = góc COD (đối đỉnh)
=> tam giác OEB = tam giác ODC => OB=OC
c) Xét tam giác AOB và tam giác AOC có
AB=AC
OB=OC
AO: cạnh chung
=> tam giác AOB = tam giác AOC (c.c.c)
=> góc OAB=góc OAC
=> AO la tia phân giác góc BAC
Cho △ABC, Â = 90o, AB = AC, M là trung điểm của BC, E là một điểm bất kì nằm giữa M và C. Kẻ BH ⊥ AE, CK ⊥ AE (H, K trên đường thẳng AE). Chứng minh rằng:
a) BK = AK.
b) △MBH = △MAK.
c) △MHK vuông cân.
Có thể phải kẻ thêm nhưng đây là hình gốc nè:
Câu trả lời của bạn
- Không kẻ hình nữa nhé ~
Chứng minh :
a) \(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}+\widehat{BHA}=180^o\left(\text{đ/l tổng 3 góc của 1 t/g}\right)\)
Mà \(\widehat{BHA}=90^o\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=180^o-90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o\)
Mà \(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{HAC}\)
Xét △BHA vuông tại H và △AKC vuông tại K có:
BA = AC ( gt )
\(\widehat{ABH}=\widehat{HAC}\left(cmt\right)\)
⇒△BHA = △AKC ( ch - gn )
⇒ BH = AK ( tương ứng )
b) Nối A -> M ; K -> M
Xét △BMA và △CMA có:
BA = CA ( gt )
AM - cạnh chung
BM = CM ( gt )
⇒ △BMA = △CMA ( c.c.c )
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\left(\text{tương ứng}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BMA}=\widehat{AMC}\left(\text{tương ứng}\right)\)
Mà \(\widehat{BMA}+\widehat{AMC}=180^o\left(\text{kề bù}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BMA}=\widehat{AMC}=90^o\)
Có M là trung điểm của BC
⇒ Tia AM nằm giữa AB và AC
\(\Rightarrow\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=90^o\)
Mà \(\widehat{BAM}=\widehat{MAC}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{MAC}=45^o\)
Có \(\widehat{BAM}+\widehat{AMB}+\widehat{ABM}=180^o\left(\text{đ/l tổng 3 góc của 1 t/g}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABM}=180^o-90^o-45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABM}=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{ABM}\left(=45^o\right)\)
⇒ △ABM cân tại M
⇒ MB = MA
Có E nằm giữa M và C
⇒ Tia AE nằm giữa AC và AM
\(\Rightarrow\widehat{CAH}+\widehat{HAM}=\widehat{MAC}=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{HAM}=45^o-\widehat{CAH}\)
Có \(\widehat{ABH}+\widehat{HBE}=45^o\)
\(\Rightarrow\widehat{HBE}=45^o-\widehat{ABH}\)
Mà \(\widehat{CAH}=\widehat{ABH}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{HAM}=\widehat{HBE}\)
Xét △MBH và △MAK có :
BM = MA ( cmt )
\(\widehat{HAM}=\widehat{HBE}\left(cmt\right)\)
BH = AK ( cmt )
⇒ △MBH = △MAK ( c.g.c )
⇒ MH = MK ( tương ứng ) (1)
\(\Rightarrow\widehat{BMH}=\widehat{AMK}\left(\text{tương ứng}\right)\)
c)
Có\(\widehat{AMB}+\widehat{AMH}=\widehat{BMH}\)
\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{BMH}-90^o\)
Có \(\widehat{AMC}+\widehat{CMK}=\widehat{AMK}\)
\(\Rightarrow\widehat{CMK}=\widehat{AMK}-90^o\)
Mà\(\widehat{BMH}=\widehat{AMK}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{CMK}\)
Mà\(\widehat{AMH}+\widehat{HMC}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CMK}+\widehat{HMC}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{HMK}=90^o\)(2)
Từ (1) và (2) ⇒ △HMK vuông cân
Cho △ ABC cân ( AB =AC) và M là trung điểm của BC
a) CM: △ABM =△ACM
b)Gọi I là trung điểm của AM.
CM:IB=IC
c)Đường thẳng đi qua A và // BC cắt tia BI tại N
CM:IB=IN suy ra △NIC cân
d)CM:NC⊥BC
Câu trả lời của bạn
a) Xét \(\Delta ABM,\Delta ACM\) có :
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(AM:Chung\)
\(BM=CM\) (M là trung điểm của BC)
=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.c.c\right)\)
b) Ta có : \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\) (\(\Delta ABM=\Delta ACM\))
Mà : \(\widehat{AMB}+\widehat{ANC}=180^o\left(Kềbù\right)\)
=> \(\widehat{AMB}=\widehat{ANC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
Hay : \(\widehat{IMB}=\widehat{IMC}=90^o\)
Xét \(\Delta IBM,\Delta ICM\) có :
\(IM:Chung\)
\(\widehat{IMB}=\widehat{IMC}\left(=90^o\right)\)
BM = CM (M là trung điểm của BC)
=> \(\Delta IBM=\Delta ICM\) (2 cạnh góc vuông)
=> IB = IC (2 cạnh tương ứng)
c) Xét \(\Delta BIM,\Delta NIA\) có :
\(\widehat{BIM}=\widehat{NIA}\) (đối đỉnh)
\(IA=IM\left(gt\right)\)
\(\widehat{IBM}=\widehat{INA}\) (so le trong )
=> \(\Delta BIM=\Delta NIA\left(g.c.g\right)\)
=> \(IB=IN\) (2 góc tương ứng) (1)
Ta có : \(IB=IC\) (chứng minh câu b)
=> \(IN=IC\left(=IB\right)\)
=> \(\Delta NIC\) cân tại I.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB<AC , tia phân giác góc B cắt AC tại E. Kẻ EM vuông góc BC tại M
a) Chứng minh BA=BM
b) Kéo dài EM và AB cắt nhau tại N. Chứng minh tam giác EMC= tam giác EAN
c) Chứng minh BE vuông góc NC
Câu trả lời của bạn
a) xét ΔBAE và ΔBME có:
\(\widehat{ABE}\) = \(\widehat{MBE}\) ( BE là phân giác của \(\widehat{B}\))
BE chung
\(\widehat{BAE}\) = \(\widehat{BME}\) ( = 90\(^O\))
\(\Rightarrow\) ΔBAE = ΔBME ( cạnh huyền - góc nhọn )
\(\Rightarrow\) BA = BM ( hai cạnh tương ứng )
b) ta có :
ΔBAE = ΔBME ( cmt )
\(\Rightarrow\) AE = ME ( hai cạnh tương ứng )
xét ΔEMC và ΔEAN có :
\(\widehat{EMC}\) = \(\widehat{EAN}\) ( = 90\(^O\))
EM = EA (cmt)
\(\widehat{CEM}\) = \(\widehat{NEA}\) ( hai góc đối đỉnh )
\(\Rightarrow\) ΔEMC = ΔEAN ( cạnh huyền - góc nhọn )
c) ΔEMC = ΔEAN ( cạnh huyền - góc nhọn )
\(\Rightarrow\) \(\widehat{C}\) = \(\widehat{N}\) ( hai góc tương ứng )
xét ΔBEN và ΔBEC có:
\(\widehat{NBE}\) = \(\widehat{CBE}\) ( BE là phân giác của \(\widehat{B}\) )
BE chung
\(\widehat{C}\) = \(\widehat{N}\)( cmt )
\(\Rightarrow\) ΔBEN = ΔBEC ( g.c.g )
\(\widehat{BEN}\)+ \(\widehat{BEC}\) = 180\(^O\) ( hai góc kề bù )
mà \(\widehat{BEN}\) = \(\widehat{BEC}\) ( hai góc tương ứng của ΔBEN = ΔBEC )
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BEN}\) = \(\widehat{BEC}\)( = 90\(^O\) )
\(\Rightarrow\) BE \(\perp\) NC
Bài 2 : Cho tam giác ABC có AB = AC = 5cm , BC = 8cm . Kẻ AH vuông góc với BC ( H ∈∈ BC )
A ) Chứng minh HB = HC và ⌢BAHBAH⌢ = ˆCAHCAH^
B ) Tính độ dài đoạn thẳng AH ?
C ) Kẻ HD vuông góc với AB tại D, kẻ HE vuông góc với AC tại E. Chứng minh rằng tam giác HDE là tam giác cân ?
Câu trả lời của bạn
a) Ta có: \(\Delta\)ABC là tam giác cân vì AB=AC nên \(\widehat{B}\)=góc C (2 góc ở đáy)
- xét \(\Delta\)AHB và \(\Delta\)AHC có:
\(\widehat{AHB}\)=\(\widehat{AHC}\)(=90 độ)
AB=AC (gt)
góc B = góc C (cmt)
Do đó: \(\Delta\)AHB=\(\Delta\)AHC (cạnh huyền và góc nhọn)
=>HB=HC(2 cạnh tương ứng)
=>góc BAH= góc CAH (2 góc tương ứng)
b) Ta có HB=HC (cmt) và BC=8cm(gt)=>HB=HC=4cm
Ta lại có: \(AB^2\)=\(AH^2\)+\(BH^2\)
Thay số: \(5^2\)=\(AH^2\)+\(4^2\)
25=\(AH^2\)+16
=> \(AH^2\)= 25-16=9
=>AH =3 (cm)
c) Xét \(\Delta\)DAH và \(\Delta\)AHE có:
góc D= góc E (=90độ)
AH là cạnh chung
góc BAH=góc CAH (cmt)
do đó: \(\Delta\)DAH=\(\Delta\)EAH(cạnh huyền và góc nhọn)
=>DH=EH (2 canh tương ứng)
Vậy \(\Delta\)HDE cân tại H
8) Cho tam giác DEF vuông tại D, phân giác EB . Kẻ BI vuông góc với EF tại I . Gọi H là giao điểm của ED và IB .
Chứng minh : a) ΔEDB = Δ EIB ;
b) HB = BF
c) Gọi K là trung điểm của HF. Chứng minh 3 điểm E, B, K thẳng hàng ;
d) DI // HF
Câu trả lời của bạn
a, EB chung ; \(\widehat{E_1}=\widehat{E_2}\left(pg\right)\) \(\Delta EDB=\Delta EIB\left(ch-gn\right)\)
=> DB = BI ; ED = EI b, \(\Delta DBH=\Delta IBF\) ( DB = BI ; \(\widehat{D}=\widehat{I}=90^O\) ; \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\) ) => BH = BF và DH = FI c, Ta co: EH = ED + DH; EF = EI + IF mà ED= EI ; DH = IF => EH = EF => △EHF cân E có K là trung diem cua HF => EK là trung trực (1) Ta co: △HBF cân B ( HB = BF) có K là trung diem cua HF => BK là trung trực (2) (1,2) => E,B,K thẳng hang d, Gọi A là giao diem cua EK và DI △EID cần E ( ED = EI) có EA là pg đồng thời là đg trung trực => EA ⊥ DI hay EK ⊥DI (3) Ta co: EK ⊥ HF (4) (3,4) => DI // HFCho △ABC cân tại A. Kẻ BD⊥AC,CE⊥AB.BD và CE cắt nhau tại I
1.CM:△BDC=△CEB
2.So sánh góc IBE và góc ICD
3.AI cắt BC tại H.CM: AI⊥BC tại H
Câu trả lời của bạn
a) Xét tam giác BDC và tam giác CEB , có :
BC : chung
góc B = góc C ( tam giác ABC cân tại A )
góc E1 = góc D1 ( = 90o )
=> tam giác BDC = tam giác CEB ( cạnh huyền - góc nhọn)
Vậy tam giác BDC = tam giác CEB
b) Vì tam giác BDC = tam giác CEB ( chứng minh trên ) => góc DBC = góc ECB ( hai góc tương ứng ) mà góc B = góc C ( tam giác ABC cân tại A ) => góc IBE = góc ICD
Xét tam giác IBE và tam giác ICD , có :
EB = DC ( tam giác BDC = tam giác CEB )
góc E1 = góc D1 ( = 90o )
góc IBE = góc ICD ( chứng minh trên )
=> tam giác IBE = tam giác ICD ( cạnh góc vuông - góc nhọn kề )
=> góc IBE = góc ICD ( hai góc tương ứng )
Vậy góc IBE = góc ICD
c) Xét tam giác AHC và tam giác AHB , có
AH : chung
AC = AB ( tam giác ABC cân tại A )
góc B = góc C ( tam giác ABC cân tại A )
=> tam giác AHC = tam giác AHB ( c-g-c )
=> góc AHC = góc AHB ( hai góc tương ứng ) mà góc AHC + góc AHB = 180o => góc AHC = góc AHB ( = 90o ) hay AH vuông góc với BC tại H
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *