Nội dung bài Ôn tập chương V Đạo hàm sẽ giúp các em hệ thống những nội dung kiến thức trọng tâm của toàn chương từ đó làm nền tảng để các em có thể giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Đạo hàm là kiến thức nền tảng phục vụ cho chương trình Giải tích 12, nên đòi hỏi các em phải học thật tốt chương này và ghi nhớ được các công thức tính đạo hàm.
Hình 1: Hệ thống kiến thức chương đạo hàm
Hàm số | Hàm hợp tương ứng |
\({\left( C \right)^\prime } = 0\,\,\,\,\,;\,\,\,\,{\left( x \right)^\prime } = 1\) | |
\({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}\,\,,\,\,n \ge 2} \right)\) | \({\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u'\,\,\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N}\,\,,\,\,n \ge 2} \right)\) |
\({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\,\,,\,\,\left( {x > 0} \right)\) | \(\,\,\,{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'\,}}{{2\sqrt u }}\,\,\,\,\,,\,\,\left( {u > 0} \right)\) |
\({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\,\,\,\) | \({\left( {\sin u} \right)^\prime } = u.'\cos u\) |
\({\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x\,\) | \({\left( {\cos u} \right)^\prime } = - u'.\sin u\) |
\({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\) | \(\,\,{\left( {\tan u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\,\) |
\({\left( {\cot x} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,\,\) | \(\,\,{\left( {\cot u} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\,\) |
Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 4\) b) \(y = \sin x - \cos x + \tan x\)
c) \(y = {x^4} + 2\sqrt x \) d) \(y = \cot x - 3x + 2\)
Hướng dẫn:
a) \(y' = \left( {{x^3} - 2{x^2} + 3x + 4} \right)' = 3{x^2} - 4x + 3\)
b) \(y' = \left( {\sin x - \cos x + \tan x} \right)' = \cos x + \sin x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
c) \(y' = \left( {{x^4} + 2\sqrt x } \right)' = 4{x^3} + \frac{1}{{\sqrt x }}\)
d) \(y' = \left( {\cot x - 3x + 2} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 3\)
Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số tại các điểm tương ứng
a) \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 1\) tại \({x_0} = - 1\)
b) \(y = \sin 2x + \cos x\) tại \({x_0} = - \frac{\pi }{4}\)
c) \(y = \sqrt x - 2x\) tại \({x_0} = 2\)
Hướng dẫn:
\(\begin{array}{l}
a) y' = \left( { - {x^3} + 3{x^2} - 4x + 1} \right)' = - 3{x^2} + 6x - 4\\
\Rightarrow y'\left( { - 1} \right) = - 3 - 6 - 4 = - 13
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
b) y' = \left( {\sin 2x + \cos x} \right)' = 2\cos 2x - \sin x\\
\Rightarrow y'\left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = 2\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) - \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
c) y' = \left( {\sqrt x - 2x} \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }} - 2\\
\Rightarrow y'\left( 2 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} - 2 = \frac{{1 - 4\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}
\end{array}\)
Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số
\(\begin{array}{l}
{\rm{a) }}y = \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}\\
{\rm{b) }}y = \sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)\\
{\rm{c) }}y = \sqrt {{x^2} + 4x + 1} \\
{\rm{d) }}y = \tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x + 1} \right)
\end{array}\)
Hướng dẫn:
a) \({\rm{ }}y' = \left( {\frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{x + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
b) \(y' = \left( {\sin \left( {2x + 1} \right) + \cos \left( {1 - x} \right)} \right)' = 2\cos \left( {2x + 1} \right) + \sin \left( {1 - x} \right)\)
c) \(y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 4x + 1} } \right)' = \frac{{2x + 4}}{{2\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }} = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 1} }}\)
\(\begin{array}{l}
d) y' = \left( {\tan \left( {{x^2} + 2\sqrt x + 1} \right)} \right)' = \frac{{\left( {{x^2} + 2\sqrt x + 1} \right)'}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x + 1} \right)}}\\
= \frac{{2x + \frac{1}{{\sqrt x }}}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2x\sqrt x + 1}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {{x^2} + 2\sqrt x + 1} \right)}}
\end{array}\)
Ví dụ 4: Chứng minh \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\) với \(y = \cot 2x\)
Hướng dẫn:
Ta có \(y' = - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}}\)
Khi đó \(y' + 2{y^2} + 2 = - \frac{2}{{{{\sin }^2}2x}} + \frac{{2{{\cos }^2}2x}}{{{{\sin }^2}2x}} + 2 = \frac{{ - 2 + 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)}}{{{{\sin }^2}2x}} = 0\) (đpcm)
Trên đây, bài viết đã giới thiệu đến các em những nội dung kiến thức trọng tâm của chương V Đại số và Giải tích 11. Từ đó làm nền tảng để các em có thể giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương V - Toán 11để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Đạo hàm của hàm số f(t)=a3t4-2at2+3t-5a bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 4}}{{ - 2x + 1}}\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm cuả hàm số \(y = \left( {\frac{3}{x} - 2x} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)\) bằng biểu thức nào sau đây?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương V - Toán 11 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 176 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 177 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 9 trang 177 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 10 trang 177 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 11 trang 177 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 12 trang 177 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 13 trang 177 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5.112 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.113 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.114 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.115 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.116 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.117 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.118 trang 217 SBT Toán 11
Bài tập 5.119 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.120 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.121 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.122 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.123 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.124 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.125 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.126 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.127 trang 218 SBT Toán 11
Bài tập 5.128 trang 219 SBT Toán 11
Bài tập 5.129 trang 219 SBT Toán 11
Bài tập 5.130 trang 219 SBT Toán 11
Bài tập 5.131 trang 219 SBT Toán 11
Bài tập 49 trang 220 SGK Toán 11 NC
Bài tập 50 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 51 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 52 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 53 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 54 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 55 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 56 trang 221 SGK Toán 11 NC
Bài tập 57 trang 222 SGK Toán 11 NC
Bài tập 58 trang 222 SGK Toán 11 NC
Bài tập 59 trang 222 SGK Toán 11 NC
Bài tập 60 trang 222 SGK Toán 11 NC
Bài tập 61 trang 222 SGK Toán 11 NC
Bài tập 62 trang 223 SGK Toán 11 NC
Bài tập 63 trang 223 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Đạo hàm của hàm số f(t)=a3t4-2at2+3t-5a bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 3x + 4}}{{ - 2x + 1}}\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm cuả hàm số \(y = \left( {\frac{3}{x} - 2x} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số \(y = x\cos 2x - \frac{{\sin 3x}}{x}\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đạo hàm của hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{t + \tan t}}{{t - 1}}\) bằng biểu thức nào sau đây?
Cho hàm số f(x)=|x-1|. Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{5}{x^5} - \frac{2}{3}m{x^3} + 2mx - 5x\)
Tập hợp các giá trị của m sao cho \(f'\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt là:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 3} \). Giá trị của \(x.f\left( 1 \right) - \left( {x - 1} \right).f'\left( 1 \right) - 16f''\left( 1 \right)\) bằng biểu thức nào sau đây?
Cho hàm số f(x)=x3+(m-1) x2+3x+2. Tập hợp các giá trị của m sao cho f'(x) > 0,∀x∈R là:
Cho parabol có phương trình y=x2-5x+6. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol biết tiếp điểm có hoành độ x = 2
Cho parabol (P) : y = x2. Gọi M1 và M2 là hai điểm thuộc (P), lần lượt có hoành độ là x1 = - 2 và x2 = 1.
Hãy tìm trên (P) một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với cát tuyến M1M2. Viết phương trình của tiếp tuyến đó.
Một chất điểm chuyển động có phương trình S = t3 − 3t2 − 9t + 2, t > 0, t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m)
a. Tính vận tốc tại thời điểm t = 2
b. Tính gia tốc tại thời điểm t = 3
c. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0
d. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 0.
Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai ?
a. Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định
b. Hàm số \(y = \sqrt x \) có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định
c. Hàm số y = |x| có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{4}{{x - 1}}\) tại điểm với hoành độ x = -1 có phương trình là
A. y = −x–3
B. y = −x+2
C. y = x–1
D. y = x+2
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {2x} }}\) tại điểm với hoành độ \(x = \frac{1}{2}\) có phương trình là :
A. \(2x-2y = - 1\)
B. \(2x-2y = 1\)
C. \(2x + 2y = 3\)
D. \(2x + 2y = - 3\)
Hàm số có đạo hàm bằng \(2x + \frac{1}{{{x^2}}}\) là :
A. \(y = \frac{{{x^3} + 1}}{x}\)
B. \(y = \frac{{{x^3} + 5x - 1}}{x}\)
C. \(y = \frac{{3\left( {{x^2} + x} \right)}}{{{x^3}}}\)
D. \(y = \frac{{2{x^2} + x - 1}}{x}\)
Đạo hàm cấp 2010 của hàm số y = cosx là :
A. sinx
B. – sinx
C. cosx
D. – cosx
Điền nội dung thích hợp vào chỗ trống.
a. Hàm số hợp của hàm số y = cotu và hàm số trung gian \(u = \sqrt x \) là y = …………….
b. Hàm số hợp của hàm số y = un và hàm số trung gian u = cosx + sinx là y = ………….
c. Hàm số y = tan3x là hàm số hợp của hàm số y = ………….. và hàm số trung gian u = ………….
d. Hàm số \(y = \sqrt {\cos x} \) là hàm số hợp của hàm số y = ………….. và hàm số trung gian u = ………….
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho hàm số \(y=x^3-3x^2+1\) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 9
Câu trả lời của bạn
Ta có \(y'=3x^2-6x\)
Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm \(\Rightarrow\) Tiếp tuyến tại M có hệ số góc \(k=f'(x_0)=3x_0^2-6x_0\)
Theo giả thiết , tiếp tuyến có hệ số góc \(k=9\Rightarrow 3x^2_0-6x_0=9\Leftrightarrow x^2_0-2x_0-3=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x_0=-1\Rightarrow M(-1;-3)\\ x_0=3\Rightarrow M(3;1) \end{matrix}\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(M(-1;-3)\) là \(y=9(x+1)-3\Leftrightarrow y=9x+6\)
Phương trình tiếp tuyến của M(C) tại (3;1) là \(y=9(x-3)+1\Leftrightarrow y=9x-26\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-2}\) tại điểm có tung độ bằng 3
Câu trả lời của bạn
Tập xác định của hàm số là D = R \{2}
Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có y0 = 3 nên \(\frac{2x_0+1}{x_0-2}=3\), nghĩa là \(x_0=7\)
Ta có \(y'=\frac{-5}{(x-2)^2}\)
nên hệ số góc của tiếp tuyến là \(k=y'(x_0)=y'(7)=-\frac{1}{5}\)
Phương trình tiếp tuyến là \(y-y_0=k(x-x_0)\Leftrightarrow y-3=-\frac{1}{5}(x-7)\) nghĩa là \(y=-\frac{1}{5}x+\frac{22}{5}\)
Cho hàm số \(y=x^3-3x^2-3x-2\) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Câu trả lời của bạn
Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung. Suy ra A(0;-2)
\(y'=3x^2-6x-3\)
\(y'(0)=-3\)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(0;-2) là \(y=y'(0)(x-0)-3=-3x-2\)
Cho hàm số \(y=\frac{x}{x+1}\). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tạo với trục tọa độ một tam giác cân.
Câu trả lời của bạn
Tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ một tam giác cân, thì hệ số góc tiếp tuyến bằng \(\pm 1\)
\(M(x_0;y_0)\), suy ra \(\frac{1}{(x_0+1)^2}=\pm 1\Leftrightarrow x_0=0\) hoặc \(x_0=-2\)
x0 = 0, suy ra y0 = 0; tiếp tuyến là y = x đi qua gốc tọa độ, không thỏa mãn yêu cầu.
x0 = -2, suy ra y0 = 2, tiếp tuyến là y = x + 4, thỏa mãn yêu cầu.
Vậy, điểm cần tìm là:M(-2;2). (Nếu không loại tiếp tuyến y = x thì trừ 0,25 điểm)
Help me!
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) có phương trình \(y=x^3-3x^2+2\) tại điểm có hoành độ bằng 2.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(y'=3x^2-6x\)
Giả sử M(xo; yo) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).
với \(x_0=2\Rightarrow y_0=y(2)=-2;y'(2)=0\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(2; -2) là
\(y=0(x-2)-2\) hay \(y=-2\)
Help me!
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^3-4x^2+x+1\) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Câu trả lời của bạn
Ông ở trên đạo hàm còn sai thì giải cái gì ?
Ta có: \(y' = 9x^2 - 8x + 1\)
x0 = 1 ⇒ y0 = 1 ⇒ Tiếp điểm M(1; 1)
Hệ số góc của tiếp tuyến M là y' (1) = 2
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cần tìm là: y = 2x - 1
Cứu với mọi người!
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^4+2x^2\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=8x\)
Câu trả lời của bạn
................
\(y'=4x^3+4x\)
Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm.
Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^4+2x^2\) song song với đường thẳng y = 8x nên ta có \(4x_0^3+4x_0=8\Leftrightarrow x_0=1\)
PT tiếp tuyến cần tìm là: \(y=8(x-1)+3=8x-5\)
Cứu với mọi người!
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y=x^3+3x^2-2\), biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:x+9y-3=0\).
Câu trả lời của bạn
Đường thẳng d có hệ số góc là \(k_d=-\frac{1}{9}\). Do tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là \(k_{tt}=-\frac{1}{k_d}=9\)
Khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
\(y'=k_{tt}\Leftrightarrow 3x^2+6x=9\Leftrightarrow x^2+2x-3=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\\ x=-3 \end{matrix}\)
Với \(x=1\Rightarrow y=2\), tiếp điểm (1;2). Phương trình tiếp tuyến là y = 9x - 7
Với \(x=-3\Rightarrow y=-2\), tiếp điểm (3; 2). Phương trình tiếp tuyến là y = 9x + 25
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{x+1}{x-2}\) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Câu trả lời của bạn
Gọi M là tiếp điểm suy ra M(1; -2)
Ta có: \(y'=\frac{-3}{(x-2)^2}\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y'(1) = -3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là: y = -3(x - 1) - 2 hay y = -3x + 1
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=3x^3-4x^2+x+1\) tại điểm có hoành độ bằng 1.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(y'=9x^2-8x+1\)
\(x_0=1\Rightarrow y_0=1\Rightarrow\) tiếp điểm M(1;1)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là y'(1) = 2
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *