Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta luôn có:
a) \({1^2} + {2^2} + ... + {(n - 1)^2} + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
b) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{n}{{{3^n}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\)
a) Bước 1: Với \(n = 1\) ta có:
\(VT = {1^2} = 1,{\rm{ }}VP = \frac{{1(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6} = 1 \Rightarrow VT = VP\)
\( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:
\({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\) (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh:
\({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 1)(2k + 3)}}{6}\) (2).
Thật vây:
\(VT(2) = \left[ {{1^2} + {2^2} + ... + {k^2}} \right] + {(k + 1)^2}\)\(\mathop = \limits^{{\rm{do }}(1)} \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\)
\( = (k + 1)\left[ {\frac{{2{k^2} + k}}{6} + k + 1} \right] = \frac{{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)}}{6}\)
\( = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6} = VP(2)\)
\( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \)đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).
b) * Với \(n = 1\) ta có \(VT = 1 = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\)
* Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}}\) (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh
\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}}\) (2).
Thật vậy:\(VT(2) = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = VP(2)\)
\( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng.
Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}} + \sqrt {{u_{n - 1}}} {\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy tăng và bị chặn.
Ta chứng minh dãy \(({u_n})\) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp
* Dễ thấy: \({u_1} < {u_2} < {u_3}\).
* Giả sử \({u_{k - 1}} < {u_k}{\rm{ }}\forall k \ge 2\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} < {u_k}\). Thật vậy:
\({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k}} + \sqrt {{u_{k - 1}}} > \sqrt {{u_{k - 1}}} + \sqrt {{u_{k - 2}}} = {u_k}\)
Vậy \(({u_n})\) là dãy tăng.
Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được \({u_n} < 4{\rm{ }}\forall n\), hơn nữa \({u_n} > 0\)
Nên dãy \(({u_n})\) là dãy bị chặn.
Chứng minh rằng :
a) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSC thì \(9ab = 2{a^3} + 27c\)
b) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSN thì \(c(c{a^3} - {b^3}) = 0\)
a) Giả sử phương trình có ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSC
Suy ra: \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\) (1)
Mặt khác: \({x^3} - a{x^2} + bx - c = (x - {x_1})(x - {x_2})(x - {x_3})\)
\( = {x^3} - ({x_1} + {x_2} + {x_3}){x^2} + ({x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1})x - {x_1}{x_2}{x_3}\)
Suy ra \({x_1} + {x_2} + {x_3} = a\) (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra \(3{x_2} = a\) hay \({x_2} = \frac{a}{3}\)
Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \frac{a}{3}\), tức là:
\({\left( {\frac{a}{3}} \right)^3} - a{\left( {\frac{a}{3}} \right)^2} + b\left( {\frac{a}{3}} \right) - c = 0 \Leftrightarrow - \frac{{2{a^3}}}{{27}} + \frac{{ba}}{3} - c = 0 \Leftrightarrow 9ab = 2{a^3} + 27c\)
Ta có đpcm.
b) Giả sử ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSN, suy ra \({x_1}{x_3} = x_2^2\)
Theo phân tích bài trên, ta có: \({x_1}{x_2}{x_3} = c \Rightarrow x_2^3 = c \Rightarrow {x_2} = \sqrt[3]{c}\)
Hay phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \sqrt[3]{c}\), tức là:
\({\left( {\sqrt[3]{c}} \right)^3} - a{\left( {\sqrt[3]{c}} \right)^2} + b\sqrt[3]{c} - c = 0 \Leftrightarrow b\sqrt[3]{c} = a\sqrt[3]{{{c^2}}} \Leftrightarrow c(c{a^3} - {b^3}) = 0\)
Bài toán được chứng minh.
a) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\)
\(\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \cos A;\cos B;\cos C\) lập thành cấp số cộng.
b) Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng \(\cot \frac{A}{2};\cot \frac{B}{2};\cot \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \sin A;\sin B;\sin C\) lập thành cấp số cộng.
a) Ta có: \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng
\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2} = 2\tan \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin (\frac{A}{2} + \frac{C}{2})}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{2} = \frac{{1 - \cos B}}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos A + \cos C} \right]\)
\( \Leftrightarrow \cos B = \frac{{\cos A + \cos C}}{2} \Leftrightarrow \cos A,\cos B,\cos C\) lập thành CSC.
b) Ta có: \(\cot \frac{A}{2} - \cot \frac{B}{2} = \cot \frac{B}{2} - \cot \frac{C}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} - \cos \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}} = \frac{{\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} - \cos \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow \sin \frac{{B - A}}{2}\cos \frac{{B + A}}{2} = \sin \frac{{C - B}}{2}.\cos \frac{{C + B}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin B - \sin A = \sin C - \sin B \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B\).
Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương IIIđể kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho một cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 1\) và tổng 100 số hạng đầu bằng \(24850\). Tính \(S = \frac{1}{{u_1^{}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\)
Dãy số \({u_n} = - 3n + 1\) có phải là cấp số cộng không? Nếu phải hãy xác định số công sai?
Dãy số \({u_n} = \frac{2}{n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương III sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 9 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 10 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 11 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 12 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 13 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 14 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 15 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 16 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 17 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 18 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 19 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.37 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 3.38 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 3.39 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.40 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.41 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.42 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.43 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.44 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.45 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.46 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.47 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.48 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.49 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.50 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.51 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.52 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.53 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.54 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.55 trang 135 SBT Toán 11
Bài tập 3.56 trang 135 SBT Toán 11
Bài tập 44 trang 122 SGK Toán 11 NC
Bài tập 45 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 46 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 47 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 48 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 49 trang 124 SGK Toán 11 NC
Bài tập 50 trang 124 SGK Toán 11 NC
Bài tập 51 trang 124 SGK Toán 11 NC
Bài tập 52 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 53 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 54 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 55 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 56 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 57 trang 125 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Cho một cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 1\) và tổng 100 số hạng đầu bằng \(24850\). Tính \(S = \frac{1}{{u_1^{}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\)
Dãy số \({u_n} = - 3n + 1\) có phải là cấp số cộng không? Nếu phải hãy xác định số công sai?
Dãy số \({u_n} = \frac{2}{n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = {3^{\frac{n}{2} + 1}}.\) Tìm công bội của dãy số (un).
Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng \( - 9\) và tổng các bình phương của chúng bằng 29.
Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_7} - {u_3} = 8}\\{{u_2}.{u_7} = 75}\end{array}} \right.\). Tìm \({u_1},d\)?
Cho các số \(5x - y,{\rm{ }}2x + 3y,{\rm{ }}x + 2y\) lập thành cấp số cộng ; các số \({\left( {y + 1} \right)^2},xy + 1,{\left( {x - 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân.Tính \(x,y\)
Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: \( - 1,3,19,53\). Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
Số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}?\)
Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?
Cho cấp số nhân có u1 < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:
a) q > 0
b) q < 0
Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.
Cho hai cấp số nhân có cùng có các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:
a) 13n -1 chia hết cho 6
b) 3n3 + 15n chia hết cho 9
Cho dãy số (un), biết u1 = 2, un+1= 2un – 1 (với n ≥ 1)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy
b) Chứng minh: un = 2n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:
a) \(u_n=n+\frac{1}{n}\)
b) \(u_n=(-1)^{n-1}sin\frac{1}{n}\)
c) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un) biết:
a) \(\left\{\begin{matrix} 5u_1+10u_n=0\\ s_4=14 \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} u_7+u_{15}=60\\ u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170 \end{matrix}\right.\)
Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân (un) biết:
a) \(\left\{\begin{matrix} u_6=192\\ u_7=384 \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{\begin{matrix} u_1-u_2=72\\ u_5-u_3=144 \end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{\begin{matrix} u_2+u_5-u_4=10\\ u_3+u_6-u_5=20 \end{matrix}\right.\)
Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp 4 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.
Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.
Người ta thiết kế một tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12 288m2. Tính diện tích mặt trên cùng.
Chứng minh rằng nếu các số a2, b2, c2 lập thành một cấp số cộng (abc ≠ 0) thì các số \(\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}\) cũng lập thành một cấp số cộng.
Cho dãy số (un), biết un = 3n. Hãy chọn phương án đúng:
a) Số hạng un+1 bằng:
A. 3n+1 B. 3n + 3 C. 3n.3 D. 3(n+1)
b) Số hạng u2n bằng:
A. 2.3n B. 9n C. 3n + 3 D. 6n
c) Số hạng un-1 bằng :
A. 3n -1 B. \(\frac{1}{3}.3^n\) C. 3n – 3 D. 3n – 1
d) Số hạng u2n-1 bằng:
A. 32.3n -1 B. 3n.3n-1 C. 32n – 1 D. 32n – 1
Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó là:
(A) \((-1)^{n+1}.sin\frac{\pi }{2}\)
(B) \((-1)^{2n}.(5^n+1)\)
(C) \(\frac{1}{\sqrt{n+1}+n}\)
(D) \(\frac{n}{n^2+1}\)
Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A. x = -6, y = -2 B. x = 1, y = 7
C. x = 2, y = 8 D. x = 2, y = 10
Cho cấp số nhân -4, x, -9. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A. x = 36 B. x = -6,5 C. x = 6 D. x -36
Cho cấp số cộng (un). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A. \(\frac{u_{10}+u_{20}}{2}=u_5+u_{10}\)
B. \(u_{90}+u_{210}=2 u_{150}\)
C. \(u_{10}.u_{30}=u_{20}\)
D. \(\frac{u_{10}.u_{30}}{2}=u_{20}\)
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:
(A) \(\left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_{n+1}=u^2_n \end{matrix}\right.\)
(B) \(\left\{\begin{matrix} u_1=-1\\ u_{n+1}=3u_n \end{matrix}\right.\)
(C) \(\left\{\begin{matrix} u_1=3\\ u_{n+1}=u_n+1 \end{matrix}\right.\)
(D) \(7,77,777,...,\underbrace{77...7}_{n \ chu \ so \ 7}\)
Chứng minh rằng
a) n5 − n chia hết cho 5 với mọi n ∈ N∗;
b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 ;
c) n3 − n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N∗;
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_2} + {u_5} - {u_4} = 10 \hfill \cr
{u_3} + {u_6} - {u_5} = 20 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.q + {u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^3} = 10 \hfill \cr
{u_1}.{q^2}+u_1.q^5-u_1.q^4 = 20 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}q(1 + {q^3} - {q^2}) = 10 \,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
{u_1}q^2(1 + {q^3} - {q^2}) = 20\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: \(q = 2\) thế vào (1)
(1) \(⇔ 2u_1(1 + 8 – 4) = 10 ⇔ u_1= 1\)
Vậy \(u_1= 1\) và \(q = 2\).
Câu trả lời của bạn
Theo giả thiết ta có: \(A, B, C, D\) là một cấp số cộng và \(\widehat C = 5\widehat A\)
Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: \(d\). Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
\(\widehat B=\widehat A+d\), \(\widehat C=\widehat A+2d\), \(\widehat D=\widehat A+3d\)
\(\Rightarrow \widehat A+2d= 5\widehat A\)
\(\Leftrightarrow 4\widehat A-2d=0\) (1)
Mà tổng bốn góc của tứ giác bằng \(360^0\) nên:
\(\widehat A+\widehat B+ \widehat C+\widehat D=360^0 \)
\( \Leftrightarrow \widehat A + \left( {\widehat A + d} \right) + \left( {\widehat A + 2d} \right) + \left( {\widehat A + 3d} \right) = {360^0}\)
\(\Leftrightarrow 4\widehat A +6d=360^0\) (2)
Lấy \((2)-(1)\) ta được: \(8d=360^0\Rightarrow d=45^0\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 4\widehat A - {2.45^0} = 0\\
\Leftrightarrow \widehat A = 22,{5^0} = {22^0}30'\\
\widehat B = \widehat A + {45^0} = {67^0}30'\\
\widehat C = \widehat A + {2.45^0} = {112^0}30'\\
\widehat D = \widehat A + {3.45^0} = {157^0}30'
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q\) ta có: \(y = x.q\) và \(z = y.q = x.q^2\).
Ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng nên:
\(x + 3z = 2. 2y \)
\(⇔ x + 3.(xq^2) = 4.(xq)\)
\( \Leftrightarrow x + 3x{q^2} - 4xq = 0\)
\(⇔ x. (1 + 3q^2– 4q) = 0 \)
\(⇔ x = 0\) hoặc \(3q^2– 4q + 1 = 0\)
Nếu \(x = 0\) thì \(x = y= z= 0\), \(q\) không xác định (loại)
Nếu \(x ≠ 0\) thì \(3q^2- 4q + 1 = 0⇔\left[ \matrix{q = 1 \hfill \cr q = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Gọi diện tích đáy tháp là S0; diện tích mặt trên của tầng 1; tầng 2; tầng 3; … lần lượt là S1; S2; S3; …; S11.
Ta có:
Diện tích đế tháp: \({S_0} = 12288\,{m^2}\)
Diện tích tầng 1: \({S_1} = \frac{1}{2}{S_0} = \frac{1}{2}.12288\,{m^2} = 6144\,{m^2}\)
Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới.
Do đó \((S_n)\) là CSN có số hạng đầu \({S_1} = 6144\,{m^2}\) công bội \(q = \frac{1}{2}\).
Diện tích tầng 11 là \({S_{11}} = {S_1}{q^{10}} = 6144.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{10}} = 6\,{m^2}\)
Câu trả lời của bạn
Ta phải chứng minh: \(\displaystyle {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \)
Thật vậy,
\(\eqalign{
& {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a - b - c} \over {(c + a)(b + c)}} = {{a + b - c - a} \over {(c + a)(a + b)}} \cr
& \Leftrightarrow {{a - b} \over {b + c}} = {{b - c} \over {a + b}}\cr & \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {b - c} \right)\cr &\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {b^2} - {c^2}\cr} \)
(đúng do \(a^2, b^2,c^2\) lập thành CSC)
Vậy (1) đúng nên \(\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) là cấp số cộng.
A. \(3^n+1\)
B. \(3^n+ 3\)
C. \(3^n.3\)
D. \(3(n+1)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_{n + 1}} = {\rm{ }}{3^{n + 1}} = {\rm{ }}{3^n}.3\)
Chọn đáp án C.
A. \(2.3^n\)
B. \(9^n\)
C. \(3^n+ 3\)
D. \(6n\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_{2n}} = {\rm{ }}{3^{2n}} = {\rm{ }}{({3^2})^n} = {\rm{ }}{9^n}\),
Chọn đáp án B.
A. \(3^n-1\)
B. \({1\over 3}.3^n\)
C. \(3^n– 3\)
D. \(3n – 1\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_{n - 1}} = {3^{n - 1}} = {3^n}{.3^{ - 1}} = {{{3^n}} \over 3}\)
Chọn đáp án B.
A. \(3^2.3^n-1\)
B. \(3^n.3^{n-1}\)
C. \(3^{2n}- 1\)
D. \(3^{2(n-1)}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_{2n - 1}} = {\rm{ }}{3^{2n - 1}}=3^n.3^{n-1}\)
Chọn đáp án B.
A. \({( - 1)^{n + 1}}.\sin {\pi \over n}\)
B. \({( - 1)^{2n}}({5^n} + 1)\)
C. \(\displaystyle{1 \over {\sqrt {n + 1} + n}}\)
D. \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}}\)
Câu trả lời của bạn
Xét từng phương án ta có:
_ Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử \({\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\) nên các số hạng sẽ đan dấu, do đó, \(u_n\) không thể là dãy số tăng.
_ Phương án C:
\(\eqalign{
& {u_3} = {1 \over {\sqrt {3 + 1} + 1}} = {1 \over 3} \cr
& {u_8} = {1 \over {\sqrt {8 + 1} + 1}} = {1 \over 4} \cr} \)
\(⇒ u_8 < u_3 ⇒ u_n\) không là dãy số tăng \(⇒\) loại đáp án C
_ Phương án D: \({u_1} = {1 \over 2},{u_2} = {2 \over 5}\)
\(⇒ u_2< u_1⇒ u_n\) không là dãy số tăng \(⇒\) loại phương án D
Chọn đáp án B.
A. \(x = -6, y = -2\)
B. \(x = 1, y = 7\)
C. \(x = 2, y = 8\)
D. \(x = 2, y = 10\)
Câu trả lời của bạn
Theo giả thiết: \(-2, x, 6, y\) là cấp số cộng
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x = ( - 2) + 6 \hfill \cr
2.6 = x + y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 10 \hfill \cr} \right.\)
Chọn đáp án D.
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm
B. Dãy số giảm
D. Cả A,B,C đều sai
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_n} = \dfrac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}} = 3n - 5 + \dfrac{6}{{n + 1}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} = 3(n + 1) - 5 + \dfrac{6}{{n + 2}} = 3n - 2 + \dfrac{6}{{n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 3 + \dfrac{6}{{n + 2}} - \dfrac{6}{{n + 1}}\\ = \dfrac{{3({n^2} + 3n + 2) - 6}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{3{n^2} + 9n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\end{array}\)
Dãy số tăng.
Chọn đáp án A.
A. \({u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{{(n + 1)}^2}}}{{n + 2}}\)
B. \({u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{{(n + 1)}^2}}}{{n + 1}}\)
C. \({u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{n^2} + 1}}{{n + 1}}\)
D. \({u_{n + 1}} = \dfrac{{a.{n^2}} }{ {n + 2}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_n} = \dfrac{{a{n^2}}}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{a{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{n + 2}}\)
Chọn đáp án A.
\(A. x = 36\)
\(B. x = -6,5\)
\(C. x = 6\)
\(D. x =-36\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(-4, x, -9\) là ba số hạng của một cấp số nhân nên:
\(x^2= (-4). (-9) = 36 ⇔ x = 6\) hoặc x = - 6.
Chọn đáp án C.
A. \({u_n} = 5(n - 1)\)
B. \({u_n} = 5.n + 1\)
C. \({u_n} = 5 + n\)
D. \({u_n} = 5n\)
Câu trả lời của bạn
Số hạng tổng quát của dãy số này là:\({u_n} = 5n\)
Chọn đáp án D.
A. Dãy số tăng
B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm
D. Cả A ,B,C đều sai
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \) \( \Rightarrow {u_{n + 1}} = n + 1 - \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1} = n + 1 - \sqrt {{n^2} + 2n} \)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1 - \sqrt {{n^2} + 2n} } \right) \, - \left( {n - \sqrt {{n^2} - 1} } \right)\)\( = \sqrt {{n^2} - 1} - \sqrt {{n^2} + 2n} + 1 < 0\)
Dãy số giảm.
Chọn đáp án B.
A. \({u_n} = - \dfrac{{n - 1}}{n}\)
B. \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{n}\)
C. \(u_n=\dfrac{1}{n}\)
D. \({u_n} = - \dfrac{{n + 1}}{n}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - \dfrac{2}{1}\\{u_2} = - \dfrac{3}{2}\\{u_3} = - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\quad \Rightarrow {u_n} = - \dfrac{{n + 1}}{n}\)
Chọn đáp án D.
A. \({u_n} = \dfrac{{(n - 1)n}}{2}\)
C. \({u_n} = 5 + \dfrac{{(n + 1)n}}{2}\)
B. \({u_n} = 5 + \dfrac{{(n - 1)n}}{2}\)
D. \({u_n} = 5 + \dfrac{{(n + 1)(n + 2)}}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = 6\\{u_3} = 8\\{u_4} = 11\end{array} \right.\quad \Rightarrow {u_n} = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)
Chọn đáp án B.
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm
B. Dãy số giảm
D. Cả A , B, C đều sai
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_n} = \dfrac{{n + {{( - 1)}^n}}}{{{n^2}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{n + 1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{n + {{( - 1)}^n}}}{{{n^2}}}\)
\(= \dfrac{{{n^3} + {n^2} - {n^2}{{\left( { - 1} \right)}^n} - \left( {{n^3} + 2{n^2} + n} \right) - {{\left( { - 1} \right)}^n}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)
\( = \dfrac{{ - {n^2} - {{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {2{n^2} + 2n + 1} \right) - n}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)
+ n lẻ ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{ - {n^2} + 2{n^2} + 2n + 1 - n}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} > 0\)
+ n chẵn ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{ - {n^2} - 2{n^2} - 2n - 1 - n}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)\(\, = \dfrac{{ - 3{n^2} - 3n - 1}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0\)
Dãy số không tăng không giảm.
Chọn đáp án C.
A. \({u_n} = 7n + 7\)
B. \({u_n} = 7n\)
C. \({u_n} = 7n + 1\)
D. không viết được dưới dạng công thức.
Câu trả lời của bạn
Số hạng tổng quát của dãy số này là \({u_n} = 7n + 1\)
Chọn đáp án C.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *