Tìm m để phương trình \({x^4} - (3m + 5){x^2} + {(m + 1)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.
Đặt \({x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)\)
Phương trình trở thành:
\({t^2} - \left( {3m + 5} \right)t + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\,\,( * )\)
Để phương trình đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt:
\(\begin{array}{l}
{\rm{\Delta }} = {\left( {3m + 5} \right)^2} - 4{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\
\Leftrightarrow 5{m^2} + 22m + 21 > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m < - 3\\
m > - \frac{7}{5}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Giả sử hai nghiệm dương của phương trình (*) là \({t_1},{t_2}({t_1} < {t_2})\)
Bốn nghiệm của phương trình ban đầu lần lượt là: \( - \sqrt {{t_2}} ; - \sqrt {{t_1}} ;\sqrt {{t_1}} ;\sqrt {{t_2}} \)
Điều kiện để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng là:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {{t_2}} - \sqrt {{t_1}} = 2\sqrt {{t_1}} \\
\Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}
\end{array}\)
Kết hợp với hệ thức Vi – ét ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} = 3m + 5\\
{t_1}{t_2} = {\left( {m + 1} \right)^2}\\
{t_2} = 9{t_1}
\end{array} \right.\)
Giải hệ phương trình được và \(m = - \frac{{25}}{{19}}\).
-- Mod Toán 11