Cho dãy số (
{u_1} = \frac{1}{3}\\
{u_{n + 1}} = \frac{{(n + 1){u_n}}}{{3n}},\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;
b) Lập dãy số (
) với \({v_n} = \frac{{{u_n}}}{n}\);Chứng minh dãy số (
) là cấp số nhânc) Tìm công thức tính
theoa) Năm số hạng đầu của dãy số là \(\frac{1}{3},\frac{2}{9},\frac{1}{9},\frac{4}{{81}},\frac{5}{{243}}\)
b) Để chứng minh (
) là cấp số nhân ta chỉ ra tỉ số \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}}\) là hằng sốTa có:
\(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}:\frac{{{u_n}}}{n} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}.\frac{n}{{n + 1}}\,\,\left( 1 \right)\)
Mà theo giả thiết ta có:
\({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}} \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}\)
Suy ra \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}.\frac{n}{{n + 1}} = \frac{1}{3}\)
Do đó, (
) là cấp số nhân có \({v_1} = \frac{1}{3},q = \frac{1}{3}\)c) Để tính
ta viết tích của tỉ số:\(\frac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}}.\frac{{{v_{n - 1}}}}{{{v_{n - 2}}}}...\frac{{{v_3}}}{{{v_2}}}.\frac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} \Rightarrow \frac{{{v_n}}}{{{v_1}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\)
Suy ra \({v_n} = \frac{1}{3}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{3^n}}} \Rightarrow \frac{{{u_n}}}{n} = \frac{1}{{{3^n}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\)
-- Mod Toán 11