Chứng minh rằng
a) n5 − n chia hết cho 5 với mọi n ∈ N∗;
b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 ;
c) n3 − n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N∗;
a) Đặt
Với
, ta có:Giả sử đã có
Ta chứng minh với
mệnh đề vẫn đúng.Thật vậy, ta có:
Vậy
chia hết cho 5 với mọib) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là
Đặt
Giả sử đã có
Ta chứng minh
. Tức làTa có:
Vậy ta được điều phải chứng minh
c) Đặt
Với
, ta có:Giả sử đã có
Ta chứng minh với
mệnh đề vẫn đúng.Thật vậy, ta có:
Vì
là tích hai số tự nhiên liên tiếp nênVậy
chia hết cho với mọi-- Mod Toán 11