Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1,{u_2} = 2\\
{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1,\,\,n \ge 2
\end{array} \right.\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;
b) Lập dãy số (vn) với vn = un+1−un
Chứng minh dãy số (vn) là cấp số cộng
c) Tìm công thức tính un theo n
a) Năm số hạng đầu là 1, 2, 4, 7, 11
b) Từ công thức xác định dãy số ta có
un+1 = 2un – un-1 + 1 hay un+1 − un = un − un−1 + 1 (1)
Vì vn = un+1 − un nên từ (1), ta có
vn = vn−1 + 1 với n ≥ 2
Vậy (vn) là cấp số cộng với v1 = u2 − u1 = 1 công sai d = 1.
c) Để tính
, ta viết:\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{v_1} = 1}\\
{{v_2} = {u_3} - {u_2}}\\
{{v_3} = {u_4} - {u_3}}\\
{...}\\
{{v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}}\\
{{v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}}
\end{array}\)
Cộng từng vế của phương trình ta có:
\(\begin{array}{l}
{v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}} = 1 - {u_2} + {u_n} = {u_n} - 1\\
\Rightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = {u_n} - 1\\
\Rightarrow {u_n} = 1 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}
\end{array}\)
(Vế phải là tổng
số hạng đầu của cấp số cộng ).-- Mod Toán 11