Cùng nhau ôn tập lại chương Hình trụ - Hình nón - Hình Cầu một cách tổng quát nhất, qua đó giúp các em hình thành khái niệm về hình học không gian, nắm chắc kiến thức để lên các lớp trên.
a. Diện tích xung quanh hình trụ
Với bán kính đáy r và chiều cao h, ta có:
Diện tích xung quanh: \(S_{xq}=2\pi rh\)
Diện tích toàn phần: \(S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2\)
b. Thể tích hình trụ
Thể tích hình trụ được cho bởi công thức: \(V=Sh=\pi r^2h\)
a. Diện tích xung quanh của hình nón
Công thức: \(S_{xq}=\pi rl\)
Trong đó: r là bán kính của đáy; l là độ dài đường sinh
Vậy ta suy ra công thức diện tích toàn phần:
\(S_{tp}=S_{xq}+S_{day}=\pi rl+\pi r^2\)
b. Thể tích hình nón
Bằng thực nghiệm, ta có thể tích hình nón là: \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)
Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt
Ta có các công thức sau:
\(S_{xq}=\pi (r_1+r_2)l\)
\(V=\frac{1}{3}\pi h(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_1r_2)\)
a. Diện tích mặt cầu
Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới, ta có công thức sau:
\(S=4\pi R^2=\pi d^2\) (với R là bán kính, d là đường kính của mặt cầu)
b. Thể tích mặt cầu
Công thức tính thể tích mặt cầu:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
Bài 1: Hình trụ có chu vi đường tròn là \(20\pi cm\), chiều cao là \(4cm\). Thể tích hình trụ là:
Hướng dẫn: Từ chu vi của đường tròn, ta suy ra \(R=10 cm\); Vậy Thể tích là \(V=\pi R^2h=\pi.10^2.4=400 \pi (cm^3)\)
Bài 2:
Cho hình vẽ:
Cho biết \(OB=5cm, AB=13cm\). Thể tích của hình nón trên là:
Hướng dẫn:
Bằng định lí Pytago, ta suy ra được \(OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=12cm\)
Vậy \(V=\frac{1}{3}.OA.\pi.OB^2=\frac{1}{3}.12.5^2.\pi=100 \pi(cm^3)\)
Bài 3: Diện tích xung quanh của hình nón cụt có bán kính đáy lớn đáy nhỏ lần lượt là \(14cm, 8cm\) và có đường sinh bằng \(9cm\) là:
Hướng dẫn: \(S_{xq}=\pi(R+r)l=\pi(14+8).9=198\pi (cm^2)\)
Bài 4: Mô tả hình bên được tạo nên bởi một hình nón có đường sinh là \(13cm\), bán kính là \(5cm\) và một nửa mặt cầu. Hãy tính thể tích khối hình.
Hướng dẫn:
Dễ dàng tính được đường cao của hình nón bằng định lí Pytago: \(h=\sqrt{13^2-5^2}=12cm\)
Vậy thể tích của hình nón là: \(V_{non}=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\pi.5^2.12=100\pi (cm^3)\)
Thể tích nửa mặt cầu là: \(V_(nuacau)=\frac{2}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi.5^3=\frac{250}{3}\pi(cm^3)\)
Vậy thể tích khối hình là \(100\pi+\frac{250}{3}\pi=\frac{550}{3} \pi(cm^3)\)
Qua bài giảng giúp các em nắm được các nội dung:
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Chương 4 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hình sinh ra khi quay quanh cạnh FI là:
Tỷ số thể tích của hình nón nội tiếp hình trụ và hình trụ là? (biết rằng chiều cao của nón bằng \(\frac{1}{2}\) đường cao hình trụ)
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Chương 4 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
Bài tập 38 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 39 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 40 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 41 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 42 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 43 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 44 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 42 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 43 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 44 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 45 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 46 trang 175 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 47 trang 175 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 48 trang 175 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 49 trang 175 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.1 trang 176 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.2 trang 176 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.3 trang 176 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.4 trang 177 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.5 trang 177 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.6 trang 177 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Hình sinh ra khi quay quanh cạnh FI là:
Tỷ số thể tích của hình nón nội tiếp hình trụ và hình trụ là? (biết rằng chiều cao của nón bằng \(\frac{1}{2}\) đường cao hình trụ)
Thể tích của khối hình trên là: (biết bán kính đáy là 5, đường cao hình nón là 12)
Tỷ số thể tích của hình nón nội tiếp hình trụ và hình trụ là? (biết rằng chiều cao của nón bằng \(\frac{1}{3}\) đường cao hình trụ)
Một hình khối được mô tả như hình bên:
Được cấu tạo bởi một hình trụ và hai nửa mặt cầu hai bên. Biết hình trụ có chiều dài là \(20\), bán kính mặt đáy hình trụ là \(4\). Hãy tính diện tích toàn phần của hình khối.
Hãy tính thể tích , diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình 114.
Một hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB > AD\), diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là \(2a^2\) và \(6a\). Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh \(AB\), ta được một hình trụ.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.
Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình 115.
Cho ba điểm \(A, O, B\) thẳng hàng theo thứ tự đó, \(OA = a, OB = b\) (\(a,b\) cùng đơn vị: cm).
Qua \(A\) và \(B\) vẽ theo thứ tự các tia \(Ax\) và \(By\) cùng vuông góc với \(AB\) và cùng phía với \(AB\). Qua \(O\) vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt \(Ax\) ở \(C\), \(By\) ở \(D\) (xem hình 116).
a) Chứng minh \(AOC\) và \(BDO\) là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích \(AC.BD\) không đổi.
b) Tính diện tích hình thang \(ABDC\) khi \(\widehat {COA} = {60^0}\)
c) Với \(\widehat {COA} = {60^0}\) cho hình vẽ quay xung quanh \(AB\). Hãy tính tỉ số tích các hình do các tam giác \(AOC\) và \(BOD\) tạo thành
Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.117).
Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.118) (đơn vị : cm).
Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) và \(GEF\) là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, \(EF\) là dây song song với \(AB\) (h.119). Cho hình đó quay quanh trục \(GO\). Chứng minh rằng:
a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.
b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.
Độ dài các cạnh của một tam giác ABC vuông tại A, thỏa mãn các hệ thức sau:
BC = AB + 2a (1)
AC = 1/2.(BC + AB) (2)
a là một độ dài cho trước
a) Tính theo a, độ dài các cạnh và chiều cao AH của tam giác
b) Tam giác ABC nội tiếp được trong nửa hình tròn tâm O. Tính diện tích của phần thuộc nửa đường tròn nhưng ở ngoài tam giác đó
c) Cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh huyền BC. Tính tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung AB và AC tạo ra
Với một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r (cm) và chiều cao 2r (cm) và một hình cầu bán kính r (cm). Hãy tính:
a) Diện tích mặt cầu, biết diện tích toàn phần của hình nón là 21,06 cm2
b) Thể tích hình nón, biết thể tích hình cầu là 15,8 cm3
Một cái hộp hình trụ được làm ra sao cho một quả bóng hình cầu đặt vừa khít vào hộp đó (h.111)
Tỉ số VCầu/Vtrụ là:
(A) \(\frac{3}{4}\)
(B) \(\frac{4}{3}\)
(C) \(\frac{3}{2}\)
(D) \(\frac{2}{3}\)
Hãy chọn kết quả đúng.
Một hình trụ được “đặt khít” vào bên trong một hình cầu bán kính r = 12cm như hình 112. Hãy tính:
a) Diện tích xung quanh của hình trụ, biết chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy của nó.
b) Thể tích hình cầu.
c) Diện tích mặt cầu.
ho bán kính của Trái Đất và Mặt Trăng tương ứng là 6371 và 1738 kilomet. Trong các số sau đây, số nào là tỉ số thể tích giữa Trái Đất và Mặt Trăng?
(A) 3.67 (C) 15,63
(B) 4,93 (D) 49,26
Với nửa hình cầu bán kính r và một hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng h
a) Khi r = 12 (cm) và thể tích hai hình bằng nhau thì giá trị h (cm) làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất là bao nhiêu?
b) Khi h = 12 (cm) và tổng diện tích nửa mặt cầu và diện tích “hình tròn đáy” gấp ba lần diện tích toàn phần của hình trụ thì r (cm) bằng bao nhiêu?
Hình bên (h.113) gồm một hình nón được đặt khít vào bên trong một cốc hình trụ, chúng có cùng đáy, cùng chiều cao. Người ta đổ vào đó một lượng nước lên đến một nửa chiều cao của hình. (Giả sử rằng nước không rò rỉ, không thẩm thấu vào bên trong hình nón)
Hãy chọn đúng tỉ số giữa các đoạn thẳng QR/XY
(A) \(\frac{1}{2}\);
(B) \(\frac{1}{3}\);
(C) \(\frac{2}{3}\)
(D) Không tính được, vì câu hỏi phụ thuộc vào bán kính đáy
Hai cái lọ có dạng hình trụ, các kích thước như ở hình 114. Lọ nào có dung tích lớn hơn?
Một bể nước hình trụ có bán kính đáy là 0,8 m và chiều cao là 1,2 m. Người ta muốn làm một bể nước hình trụ mới có thể tích gấp 2 lần bể nước cũ. Bạn An nói: Bể nước mới cần có bán kính dài gấp 2 lần bán kính bể nước cũ. Bạn Ngọc nói: Bể nước mới cần có chiều cao gấp lần chiều cao của bể nước cũ.
Bạn Vân nói: Bể nước mới cần có cả chiều cao và bán kính đáy tương ứng gấp 2 lần chiều cao và bán kính đáy của bể nước cũ.
Theo em, bạn nào nói đúng, tại sao?
Quan sát hình trụ ở hình bs.30 rồi điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau (lấy π = 3,14)
Thể tích của một hình nón thay đổi thế nào nếu:
a) Gấp đôi chiều cao của hình nón
b) Gấp đôi bán kính của hình nón
c) Gấp đôi cả chiều cao và bán kính đáy của hình nón
Thể tích và diện tích của hình cầu thay đổi thế nào nếu bán kính hình cầu:
a) Tăng gấp 2 lần?
b) Tăng gấp 3 lần?
c) Giảm đi 2 lần?
Quan sát hình nón ở hình bs.31 (Sbt) rồi điền số thích hợp và các ô trống trong bảng sau (lấy π = 3,14)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hình 113 : Gồm một hình nón được đặt khít vào bên trong một cốc hình trụ, chúng có cùng đáy, cùng chiều cao. Người ta đổ vào trong đó một lượng nước lên đến một nửa chiều cao của bình (giả sử rằng nước không rò rỉ, không thẩm thấu vào bên trong nón) Hãy chọn đúng tỉ số giữa đoạn thẳng \(\dfrac{QR}{XY}\) (A) \(\dfrac{1}{2}\) (C) \(\dfrac{2}{3}\)
Câu trả lời của bạn
(A) \(\dfrac{1}{2}\)
Với nửa hình cầu bán kính r và một hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng h a) Khi r = 12 (cm) và thể tích hai hình bằng nhau thì giá trị h(cm) làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất là bao nhiêu ? b) Khi h = 12 (cm) và tổng diện tích nửa mặt cầu và diện tích "hình tròn đáy" gấp ba lần diện tích toàn phần của hình trụ thì r (cm) bằng bao nhiêu ?
Câu trả lời của bạn
a) Giá trị gần đúng của h là : 10,5 cm
b) Giá trị của r là : 24 cm
Cho bán kính Trái Đất và Mặt Trăng tương ứng là 6371 km và 1738 km. Trong các số sau đây, số nào là tỉ số thể tích giữa Trái Đất và Mặt Trăng ? (A) 3,67 (B) 4,93 (C) 15,63 (D) 49,26
Câu trả lời của bạn
Chọn (D)
Quan sát hình nón ở hình bs.32 rồi điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau (lấy \(\pi\approx3,14\)
Câu trả lời của bạn
Quan sát hình nón ở hình bs.31 rồi điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau (lấy \(\pi\approx3,14\)
Câu trả lời của bạn
Thể tích và diện tích của hình cầu thay đổi như thế nào nếu bán kính hình cầu :
a) tăng gấp 2 lần
b) tăng gấp 3 lần
c) giảm đi hai lần
Câu trả lời của bạn
Thể tích của một hình nón thay đổi như thế nào nếu :
a) gấp đôi chiều cao của hình nón
b) gấp đôi bán kính của hình nón
c) gấp đôi cả chiều cao và bán kính đáy của hình nón
Câu trả lời của bạn
Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương.Tìm GTNN của biểu thức :
\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{b+a}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{b+a}{c}\)
Bài 2: Cho các số thực x,y thỏa mãn \(0\le x\le3\)và x+y=11. Tìm GTLN của P=xy
(chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy)
Câu trả lời của bạn
Câu 1:
Ta có: Áp dụng BĐT phụ \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)
=> \(2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\)
=> \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge4,5\) (*)
và BĐT Cau -chy ta có:
\(P+3=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{a+c}+\dfrac{a+b+c}{a+b}\)
\(+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
<=> \(P+3\ge\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)
\(+2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}+2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}\)
<=> \(P+3\ge4,5+6=10,5\) ( Theo (*)) => \(P\ge7,5\)
=> Dấu = xảy ra <=> a = b = c
Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu
Câu trả lời của bạn
Theo đề ra, ta có:
\(\overline{abcd}=k^2\left(k\in N|32\le k\le81\right)\\ \overline{\left(a+3\right)\left(b+3\right)\left(c+3\right)\left(d+3\right)}=h^2\left(h\in N|66\le h\le99\right)\Rightarrow\overline{abcd}+3333=h^2\\ \Leftrightarrow k^2+3333=h^2\Rightarrow h^2-k^2=3333\Rightarrow\left(h-k\right)\left(h+k\right)=3\cdot11\cdot101\\ \)Dựa vào ĐK của k; h
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}h-k=101\\h+k=33\end{matrix}\right.\Rightarrow k=34\Rightarrow\overline{abcd}}=1156\\ \)
Cho tam giác ABC có 2 cạnh là a, b, c có chu vi bằng 2.
CMR : \(\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc< 2\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Đặt biểu thức là $A$
Vế đầu tiên:
Áp dụng BĐT Schur bậc 3 ta có:
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq (a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq (2-2a)(2-2b)(2-2c)\)
Thực hiên khai triển:
\(abc\geq 8-8(a+b+c)+8(ab+bc+ac)-8abc\)
\(\Leftrightarrow 9abc\geq 8(ab+bc+ac)-8\) \(\Rightarrow 2abc\geq \frac{16}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)
Do đó:
\(A=a^2+b^2+c^2+2abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)
\(\Leftrightarrow A\geq (a+b+c)^2-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}\)
\(\Leftrightarrow A\geq 4-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)-\frac{16}{9}=\frac{20}{9}-\frac{2}{9}(ab+bc+ac)\)
Mà theo hệ quả của BĐT Am-Gm:
\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow A\geq \frac{20}{9}-\frac{2}{9}.\frac{4}{3}=\frac{52}{27}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vế sau:
Ta có: \(A<2\Leftrightarrow 2A<4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)+4abc<4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+4abc< 2(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+8abc<2(ab+bc+ac)(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+2abc< ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\)
\(\Leftrightarrow a(ab+ac-a^2-bc)+b(ab+bc-b^2-ac)+c^2(b+c-a)>0\)
\(\Leftrightarrow a(a-c)(b-a)+b(b-c)(a-b)+c^2(a+b-c)>0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(b-a)(a+b-c)+c^2(a+b-c)>0\)
\(\Leftrightarrow (a+b-c)[(c^2-(a-b)^2]>0\)
BĐT trên luôn đúng do với $a,b,c$ là ba cạnh tam giác thì \(a+b>c\) và \(c>|a-b|\)
Do đó ta có đpcm.
CMR :
a) \(n^2+7n-40⋮̸121\forall n\in N\)
b)\(a^2+\left(a+1\right)^2+\left(a+2\right)^2+\left(a+3\right)^2+\left(a+4\right)^2⋮̸25\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
b) Giả sử phản chứng, nghĩa là
\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\vdots 25\)
Thực hiện khai triển bằng hằng đẳng thức, ta có:
\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\)
\(=5a^2+20a+30\)
Khi đó:
\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\vdots 25\)
\(\Leftrightarrow 5a^2+20a+30\vdots 25\)
\(\Leftrightarrow a^2+4a+6\vdots 5\)
Xét \(a\equiv 0\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 6\not\equiv 0\pmod 5\)
Xét \(a\equiv 1\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 1+4+6\not\equiv 0\pmod 5\)
Xét \(a\equiv 2\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 18\not\equiv 0\pmod 5\)
Xét \(a\equiv 3\pmod {5}\rightarrow a^2+4a+6=27\not\equiv 0\pmod {5}\)
Xét \(a\equiv 4\pmod 5\Rightarrow a^2+4a+6\equiv 38\not\equiv 0\pmod 5\)
Do đo, \(a^2+4a+6\not\vdots 5\), nghĩa là điều giả sử là sai. Ta có đpcm.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R , hai tiếp tuyến Ax, By của (O) cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB. Tiếp tuyến tại M tùy ý của ( O) cắt Ax , By lần lượt tại C, D ( M \(\ne\) A,B )
a ) C/m tứ giác ACMO và BDMO nội tiếp .
b ) C/m OC vuông góc OD và AC .BD= R2
c ) Gọi N là giao điểm của AD và BC , MN cắt AB tại H . C/m MN // AC và N là trung điểm của MH.
d ) Tính \(S_{\Delta MAB}\) biết \(AB=5cm\) và \(S_{ABDC}=20cm.\)
Câu trả lời của bạn
a) xét tứ giác ACMO ta có : CMO = 90 (CM là tiếp tuyến)
CAO = 90 (CA là tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\) CMO + CAO = 180
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác ACMO nội tiếp
xét tứ giác BDMO ta có : DMO = 90 (DM là tiếp tuyến)
DBO = 90 (DB là tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\) DMO + DBO = 180
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau \(\Rightarrow\) tứ giác BDMO nội tiếp
b) ta có : MDO = MBO (2 góc nội tiếp cùng chắng cung OM của tứ giác BDMO)
MCO = MAO (2 góc nội tiếp cùng chắng cung OM của tứ giác ACMO)
xét \(\Delta\) AMB và \(\Delta\) COD : ta có : MDO = MBO (chừng minh trên)
MCO = MAO (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) AMB đồng dạng \(\Delta\) COD
\(\Leftrightarrow\) COD = AMB = 90
\(\Leftrightarrow\) COD = 90 \(\Leftrightarrow\) CO \(\perp\) OD
ta có : \(\Delta\) vuông COD có đường cao OM (CD là tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\) CM.DM = OM2 (hệ thức lượng)
ta có : AC = MC (tính chất tiếp tuyến)
BD = MD (tính chất tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\) AC.BD = MC.MD
mà MC.MD = OM2 (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\) AC.BD = OM2 \(\Leftrightarrow\) AC.BD = R2 (OM = R)
1.Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn
\(a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=m\left(m>0\right).\)
Tính \(m\)
2. Cho x,y,z thỏa mãn x^3=3x-1;y^3=3y-1;z^3=3z-1
Tính A=x^2+y^2+z^2
3. Cho a+b+c=0 thỏa mãn \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{x+y}{c}\). Chứng minh
\(xa^2+yb^2=\left(x+y\right).c^2\)
Câu trả lời của bạn
Giúp được bài nào hay bài đó nha mọi người
Cho tam giác ABC có AB=3cm,BC=5cm,AC=4cm
a)Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
b)Tính độ dài đường cao AH
c)Từ H lần lượt dựng các đường thẳng song song với AB và AC.CÁC đường thẳng này cắt AB tại E và cắt AC tại F.Chứng minh tam giác BEH và HFC đồng dạng.Từ đó suy ra BE.HC=HB.HF
Câu trả lời của bạn
hình :
a) ta có : \(AB^2+AC^2=3^2+4^2=25=5^2=BC^2\)
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\) (đúng với định lí pitago)
\(\Rightarrow\) tam giác ABC là tam giác vuông
vậy tam giác ABC là tam giác vuông (đpcm)
b) áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông cho tam giác vuông ABC
ta có \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow3.4=5.AH\Rightarrow AH=\dfrac{3.4}{5}=\dfrac{12}{5}\)
vậy \(AH=\dfrac{12}{5}\)
c) xét \(\Delta\) \(BEH\) và \(\Delta\) \(HFC\)
ta có : \(\widehat{EBH}=\widehat{FHC}\) (AP//FH)
\(\widehat{FCH}=\widehat{EHB}\) (AC//EH)
\(\Rightarrow\) \(\Delta BEH\) đồng dạng \(\Delta HFC\) \(\Leftrightarrow\dfrac{BE}{HF}=\dfrac{HB}{HC}\)
\(\Leftrightarrow BE.HC=HB.HF\)
CMR : \(2^{2^{2n}}+5⋮7\) với mọi \(n\in N\) (Dùng quy nạp)
Câu trả lời của bạn
\(A=\left(2^{2^{2n}}+5\right)⋮7,\forall n\in N\) (1)
- Với n=0 ta có \(A=2^{2^{2n}}+5=7⋮7\)
Vậy (1) đúng với n=0
- Giả sử (1) cũng đúng với n=k, hay \(\left(2^{2^{2k}}+5\right)⋮7\)
\(\Rightarrow2^{2^{2k}}=7m-5\left(m\in N\right)\)
- Ta sẽ c/m (1) cũng đúng với n=k+1, tức là phải c/m:
\(\left(2^{2^{2k+2}}+5\right)⋮7\)
\(A=2^{2^{2k+2}}+5=2^{2^{2k}.4}=\left(2^{2^{2k}}\right)^4+5=\left(7m-5\right)^4+5\)
\(=\left(7K+25\right)^2+5=7M+25^2+5=7M+630\)
Dễ thấy \(\left(7M+630\right)⋮7\)
Hay (1) đúng với n=k+1
Ta có (1) đúng với n=0; với n=k; với n=k+1 nên theo nguyên lý quy nạp (1) đúng \(\forall n\in N\)
p/s: mk ko chắc lắm đâu, nếu có sai sót bn để lại bình luận nhé!
Cho các số liên tiếp : 111, 112, ..., 888. Viết các số trên cạnh nhau ta đc A = 111112...87888.
CMR : A chia hết cho 1998
Câu trả lời của bạn
~ Viết các số 111,112,113,...,887,888 liên tiếp nhau ta được số - Số học - Diễn đàn Toán học~
Cho góc nhọn \(\alpha\). So sánh \(sin\alpha\) với \(tg\alpha\)
Câu trả lời của bạn
Bài này giải nhanh thôi
Do \(\alpha\) là góc nhọn nên \(1>sin\alpha;cos\alpha>0;tan\alpha>0\)
Mà \(tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}>sin\alpha\)
Vậy \(tan\alpha>sin\alpha\)
Cho đường tròn (O;R) có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Gọi M là 1 điển trên bán kính OB sao cho OM = R2/3 , đường thẳng CM cắt đường tròn (O;R) tại N và cắt đường thẳng BD tại K
a, Chứng minh tứ giác OMND nội tiếp
b, Chứng minh K là trung điểm của BD và KC.KN=R2/2
c, tính độ dài đoạn thẳng DN theo R
Câu trả lời của bạn
đề phải là OM=R/3 mới đúng chứ bạn
bạn tự vẽ hình theo đề OM=R/3 nha:
a) có \(\widehat{CND}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
hay \(\widehat{MND}=90^o\)
tứ giác OMND có \(\widehat{MND}+\widehat{MOD}=90^o+90^o=180^o\)
=> tứ giác OMND nội tiếp đường tròn
b)Có OM=R/3=OB/3 => BM=2/3 OB
tam giác CBD có BO là trung tuyến và BM=2/3 BO
=> M là trọng tâm của tam giác CBD
=> CM là trung tuyến của tam giác CBD
hay CK là trung tuyến
=> K là trung điểm của BD
\(\Delta KCB\) và\(\Delta KDN\) có:
\(\widehat{CKB}=\widehat{DKN}\)(2 góc đối đỉnh)
\(\widehat{KCB}=\widehat{KDN}\)(cùng chắn cung BN)
\(\Rightarrow\Delta KCB\sim\Delta KDN\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{KC}{KD}=\dfrac{KB}{KN}\)
=> KC.KN=KB.KD
tam giác OBD vuông tại O
\(\Rightarrow BD=\sqrt{OB^2+OD^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}\)
=> \(KB=KD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\)
=> KC.KN=\(\dfrac{R\sqrt{2}}{2}.\dfrac{R\sqrt{2}}{2}=\dfrac{R^2}{2}\left(đpcm\right)\)
c) tam giác COM vuông tại O
\(\Rightarrow CM=\sqrt{CO^2+OM^2}=\sqrt{R^2+\left(\dfrac{R}{3}\right)^2}=\dfrac{R\sqrt{10}}{3}\)
\(\Delta COM\) và \(\Delta CND\) có:
\(\widehat{OCM}chung\)
\(\widehat{COM}=\widehat{CND}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta COM\sim\Delta CND\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{OM}{DN}=\dfrac{CM}{CD}\)
\(\Rightarrow DN=\dfrac{OM.CD}{CM}=\dfrac{\dfrac{R}{3}.2R}{\dfrac{R\sqrt{10}}{3}}=\dfrac{R\sqrt{10}}{5}\)
Cho \(a,b,c>0\) và \(a+b+c=1\)
Chứng minh : \(\sqrt{2015a+1}+\sqrt{2015b+1}+\sqrt{2015c+1}< 78\)
Câu trả lời của bạn
Đặt \(M=\sqrt{2015a+1}+\sqrt{2015b+1}+\sqrt{2015c+1}\)
\(\Rightarrow M^2\le\left(1+1+1\right)\left(2015a+1+2015b+1+2015c+1\right)\) (bđt Cauchy Shwarz)
\(=6048\) \(\left(a+b+c=1\right)\)
\(\Rightarrow M\le\sqrt{6048}< \sqrt{6084}=78\) (đpcm)
Câu 2: Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức E = \(\dfrac{x^3+2000}{x}\)
Câu trả lời của bạn
x^3+2000/x=x^2+2000/x=x^2+1000/x+1000/....
áp dụng bđt cosy cho 3 số ta được
x^2+1000/x+1000/x>=3 căn bậc 3 của x^2.1000/x.1000/x=600
dấu bằng xảy ra khi x^2=1000/x=1000/x suy ra x=10
Min = 600 khi và chỉ khi x=10
Tick mình nhé!
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *