Có thể nói, chương Góc với đường tròn là một chương có lượng lý thuyết và bài tập rất trọng tâm, có tầm ảnh hưởng quan trọng đến kì thi chuyển cấp, các kiến thức về góc chắn cung, về tứ giác nội tiếp để chứng minh bài toán, hay quỹ tích tập hợp điểm tạo nên một đường tròn, đường thẳng...
Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm.
Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
- \(\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}\Rightarrow AB=CD\)
- \(AB=CD\Rightarrow\stackrel\frown{AB}=\stackrel\frown{CD}\)
Với hai cung nhỏ trong cùng một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
- \(\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\Rightarrow AB>CD\)
- \(AB>CD\Rightarrow\stackrel\frown{AB}>\stackrel\frown{CD}\)
Định nghĩa
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.
Góc \(\widehat{BAC}\) được gọi là góc nội tiếp, cung bị chắn là cung \(BC\)
Định lí
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
VD: Ở hình trên, góc nội tiếp \(\widehat{BAC}\) bằng nửa số đo cung bị chắn \(BC\), tức là \(\widehat{BAC}=\frac {1}{2}\)sđ\(\stackrel\frown{BC}\)
Hệ quả
Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
Khái niệm
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh của góc gồm một tia là tiếp tuyến với đường tròn, tia còn lại chứa dây cung.
Góc \(\widehat{BAx}\) (hoặc \(\widehat{BAy}\)) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
Định lí
Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn
Cụ thể ở hình trên, \(\widehat{BAx}=\frac {1}{2}\)sđ\(\stackrel\frown{AB}\) (ở đây là cung AB nhỏ)
Hệ quả
Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
ĐỊNH LÍ: Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bẳng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Góc \(\widehat{BEC}\) là góc có đỉnh \(E\) nằm bên trong đường tròn nên \(\widehat{BEC}=\frac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown{BnC}\)+sđ\(\stackrel\frown{AmD}\))
ĐỊNH LÍ: Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
Góc \(\widehat{AED}\) có đỉnh \(E\) bên ngoài đường tròn nên \(\widehat{AED}=\frac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown{BnC}-\)sđ\(\stackrel\frown{AmD}\))
Với đoạn thẳng \(AB\) và góc \(\alpha(0^0<\alpha<180^0)\) cho trước thì quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat{AMB}=\alpha\) là hai cung chứa góc \(\alpha\) dựng trên đoạn \(AB\)
- Hai cung chứa góc \(\alpha\) nói trên là hai cung đối xứng với nhau qua \(AB\)
- Hai điểm \(A,B\) được coi là thuộc quỹ tích
- Trường hợp \(\alpha=90^0\) thì quỹ tích trên là hai nửa đường tròn đường kính \(AB\)
Khái niệm
Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hay tứ giác nội tiếp)
Chẳng hạn, tứ giác \(ABCD\) có bốn đỉnh \(A,B,C,D\) cùng nằm trên một đường tròn nên \(ABCD\) được gọi là tứ giác nội tiếp.
Định lí: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800
\(ABCD\) là tứ giác nội tiếp nên ta có \(\widehat{A}+\widehat{C}=\widehat{B}+\widehat{D}=180^0\)
Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn
Cụ thể ở hình trên, nếu có \(\widehat{A}+\widehat{C}=180^0\) hoặc \(\widehat{B}+\widehat{D}=180^0\) thì tứ giác \(ABCD\) nội tiếp được đường tròn.
"Độ dài đường tròn" được kí hiệu là C, hay còn gọi là chu vi hình tròn được tính bằng công thức \(C=2\pi R\) với \(R\) là bán kính của đường tròn
Trên đường tròn bán kính \(R\), độ dài \(l\) cả một cung \(n^0\) được tính theo công thức \(l=\frac{\pi Rn}{180}\)
\(S=\frac{\pi R^2n}{360}\) hoặc \(S=\frac{lR}{2}\)
Bài 1: Cho đường tròn (O) có đường kính AB bằng 12cm. Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) ở M và cắt tiếp tuyến của đường tròn tại B ở N. Gọi I là trung điểm của MN. Biết rằng AI=13cm,độ dài đoạn thẳng AM là:
Hướng dẫn:
Đặt \(AM=x, MI=NI=y (0
Khi đó theo đề bài ta có \(x+y=13\) (1) (AI=13cm)
Mặt khác áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABN với đường cao BM ta có \(AB^2=AM.AN\) hay \(12^2=x(x+2y)\) (2)
Từ (1) ta có \(y=13-x\) thế vào (2) ta được: \(x(x+2(13-x))=12^2\Leftrightarrow -x^2+26x-144=0\)
Dễ dàng giải phương trình trên bằng công thức nghiệm ta được \(x=18 ,x=8\)
Kết hợp với điều kiện ta suy ra AM=8cm
Bài 2: Cho viên gạch men được mô phỏng như hình, hãy tính diện tích bị tô màu, biết viên gạch hình vuông có cạnh là 40cm
Hướng dẫn: Ta có diện tích của viên gạch hình vuông là \(S_{hv}=40.40=1600(cm^2)\)
Bốn góc không tô màu chính là diện tích hình tròn có bán kính bằng 20cm.
Vậy, diện tích phần không tô màu là: \(S_{ktm}=\pi r^2=20.20.\pi=400\pi(cm^2)\)
Diện tích phần tô màu là: \(S=1600-400\pi\approx 344(cm^2)\)
Bài 3: Đồ thị trên biểu diễn hình quạt phân phối học sinh của một trường thuộc vùng quê, trong đó, màu xanh hiển thị học sinh cấp 1, màu vàng hiển thị cấp 2 và màu đỏ hiển thị cấp 3.
biết rằng giá trị góc \(\alpha=30^{\circ}\) và tổng học sinh cấp 2 và cấp 3 chỉ bằng \(\frac{1}{4}\) học sinh cấp 1. Tổng số học sinh trong trường là 720 em. Tính số học sinh mỗi cấp.
Hướng dẫn:
Ta thấy rằng số học sinh cấp 2 và 3 có tổng là \(\frac{1}{4}\) nên số học sinh của hai cấp này là \(\frac{720}{4}=180\) em.
Số học sinh cấp 1 của trường này là \(720-180=540\) em
Vì góc \(\alpha =30^{\circ}\Rightarrow\) số học sinh cấp 3 bằng \(\frac{30}{90}=\frac{1}{3}\) số học sinh của cấp 2 và 3.
Số học sinh cấp 3 là: \(\frac{180}{3}=60\) em.
Số học sinh cấp 1 là \(180-60=120\) em
Bài 4: Cho đường tròn (O). Vẽ hai dây cung AC và BD bằng nhau và vuông góc với nhau tại điểm I (B thuộc cung nhỏ AC). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Hướng dẫn:
Gọi giao điểm của AC và BD là H
Ta có hai dây AC và BD bằng nhau và cùng vuông góc với nhau nên:
sđAD=sđBC.
Suy ra hai tam giác HCD và HAB đều vuông cân tại H
\(\widehat{BDC}=\widehat{ABD}\)
ABCD là hình thang.
Lưu ý: Hình thang nội tiếp đường tròn luôn là hình thang cân
Bài 5: Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). M là điểm chính giữa cung nhỏ BC, AM cắt BC tại E. chứng minh \(AB.BM=AM.BE\)
Hướng dẫn:
Ta có, M là điểm chính giữa cung BC nên \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)
Mặc khác tam giác ABC đều nên AM chính là đường trung trực của BC.
Và AM chính là đường kính của đường tròn (O)
\(\Rightarrow \widehat{MBA}=90^o\)
Dễ dàng chứng minh \(\Delta ABM\sim \Delta BEM(g.g)\)
Nên \(\frac{AB}{BE}=\frac{AM}{BM}\Leftrightarrow AB.BM=AM.BE\)
Qua bài giảng giúp các em nắm được các nội dung:
Góc ở tâm
Góc nội tiếp
Góc có đỉnh bên trong đường tròn
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Chương 3 Bài 11để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho đường tròn đường kính AB và dây AC sao cho số đo cung AC là 60 độ. Số đo góc OCB là:
Cho hình vẽ:
Biết rằng tam giác OAC đều. Giá trị của \(\widehat{ODE}\) là?
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho đường tròn đường kính AB và dây AC sao cho số đo cung AC là 60 độ. Số đo góc OCB là:
Cho hình vẽ:
Biết rằng tam giác OAC đều. Giá trị của \(\widehat{ODE}\) là?
Cho đường tròn (O;R). Vẽ dây AB sao cho số đo cung nhỏ AB bằng \(\frac{1}{2}\) số đo cung lớn AB. Diện tích tam giác AOB là:
Cho viên gạch men được mô phỏng như hình, diện tích bị tô màu là bao nhiêu? (biết viên gạch hình vuông có cạnh là 80cm)
Cho biết tam giác OBC đều, hai đoạn thẳng OB và CD tạo với nhau một góc bao nhiêu độ \((\leq 90^{\circ})\)
Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây:
(Ví dụ. góc trên hình 66b) là góc nội tiếp).
Trong hình 67, cung \(AmB\) có số đo là \(66^0\). Hãy:
a) Vẽ góc ở tâm chắn cung \(AmB\). Tính góc \(AOB\).
b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh \(C\) chắn cung \(AmB\). Tính góc \(ACB\).
c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến \(Bt\) và dây cung \(BA\). Tính góc \(ABt\).
d) Vẽ góc \(ADB\) có đỉnh \(D\) ở bên trong đường tròn. So sánh \(\widehat {A{\rm{D}}B}\) với \(\widehat {ACB}\) .
e) Vẽ góc \(AEB\) có đỉnh \(E\) ở bên ngoài đường tròn (\(E\) và \(C\) cùng phía đối với \(AB\)). So sánh \(\widehat {A{\rm{E}}B}\) với \(\widehat {ACB}\)
a) Vẽ hình vuông cạnh \(4cm\).
b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính \(R\) của đường tròn này.
c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính \(r\) của đường tròn này.
Trong hình 68, đường tròn tâm O có bán kính \(R = 2cm\), góc \(AOB = 75^0\).
a) Tính số đo cung \(ApB\).
b) Tính độ dài hai cung \(AqB\) và \(ApB\).
c) Tính diện tích hình quạt tròn \(OAqB\)
Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài: cm).
Có ba bánh xe răng cưa \(A, B, C\) cùng chuyển động ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe \(A\) có \(60\) răng, bánh xe B có \(40\) răng, bánh xe \(C\) có \(20\) răng. Biết bán kính bánh xe \(C\) là \(1\)cm. Hỏi:
a) Khi bánh xe \(C\) quay \(60\) vòng thì bánh xe \(B\) quay mấy vòng?
b) Khi bánh xe \(A\) quay \(80\) vòng thì bánh xe \(B\) quay mấy vòng?
c) Bán kính của các bánh xe \(A\) và \(B\) là bao nhiêu?
Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (h.72). Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Có phải \(\displaystyle {1 \over 2}\) số học sinh là học sinh ngoại trú không?
b) Có phải \(\displaystyle {1 \over 3}\) số học sinh là học sinh bán trú không?
c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?
d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là \(1800\) em.
Các đường cao hạ từ \(A\) và \(B\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\) (góc \(C\) khác \(90^0\)) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Chứng minh rằng:
a) \(CD = CE\) ;
b) \(ΔBHD\) cân ;
c) \(CD = CH\).
Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\) và tia phân giác của góc \(A\) cắt đường tròn tại \(M\). Vẽ đường cao \(AH\). Chứng minh rằng:
a) \(OM\) đi qua trung điểm của dây \(BC\).
b) \(AM\) là tia phân giác của góc \(OAH\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\). Trên \(AC\) lấy một điểm \(M\) và vẽ đường tròn đường kính \(MC\). Kẻ \(BM\) cắt đường tròn tại \(D\). Đường thẳng \(DA\) cắt đường tròn tại \(S\). Chứng minh rằng:
a) \(ABCD\) là một tứ giác nội tiếp;
b) \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{D}}}\) ;
c) \(CA\) là tia phân giác của góc \(SCB\)
Cho đường tròn \((O)\) và một điểm \(A\) cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm \(M\) của dây \(AB\) khi điểm \(B\) di động trên đường tròn đó.
Dựng \(ΔABC\), biết \(BC = 6cm\), góc \(\widehat{BAC} = 80^0\), đường cao \(AH\) có độ dài là \(2cm\).
Cho đường tròn đường kính \(AB.\) Qua \(A\) và \(B\) kẻ hai tiếp tuyến của đường tròn đó. Gọi \(M\) là một điểm trên đường tròn. Các đường thẳng \(AM\) và \(BM\) cắt các tiếp tuyến trên lần lượt tại \(B’\) và \(A’.\)
\(a)\) Chứng minh rằng \({\rm{AA}}'.BB' = A{B^2}\)
\(b)\) Chứng minh rằng \(A'{A^2} = A'M.A'B\)
Cho lục giác \(ABCDEF.\) Chứng minh rằng đường chéo \(BF\) chia \(AD\) thành hai đoạn thẳng theo tỉ số \(1: 3.\)
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Dựng điểm \(M\) nằm trong tam giác \(ABC\) sao cho \(\widehat {AMB} = \widehat {BMC} = \widehat {CMA}\)
Hai ròng rọc có tâm \(O, O’\) và bán kính \(R = 4a,\) \(R’ = a.\) Hai tiếp tuyến chung \(MN\) và \(PQ\) cắt nhau tại \(A\) theo góc \(60^\circ.\) Tìm độ dài của dây cua- roa mắc qua hai ròng rọc.
Tính diện tích phần gạch sọc trên hình sau (theo kích thước đã cho trên hình)
Cho tam giác \(AHB\) có \(\widehat H = 90^\circ ,\widehat A = 30^\circ \) và \(BH = 4cm.\) Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AH\) tại \(O.\) Vẽ đường tròn \((O; OH)\) và đường tròn \((O; OA).\)
\(a)\) Chứng minh đường tròn \((O; OH)\) tiếp xúc với cạnh \(AB.\)
\(b)\) Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên.
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB.\) Gọi \(C\) là một điểm chạy trên nửa đường tròn đó. Trên \(AC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD = CB.\) Qua \(A\) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn rồi lấy \(AE = AB\) (\(E\) và \(C\) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ \(AB\))
\(a)\) Tìm quỹ tích điểm \(D\)
\(b)\) Tính diện tích phần chung của hai nửa hình tròn đường kính \(AB\) và \(AE.\)
Cho tam giác đều \(ACB\) và \(ACD,\) cạnh \(a.\) Lần lượt lấy \(B\) và \(D\) làm tâm vẽ hai đường tròn bán kính \(a.\) Kẻ các đường kính \(ABE\) và \(ADF.\) Trên cung nhỏ \(CE\) của đường tròn tâm \(B\) lấy điểm \(M\) (không trùng với \(E\) và \(C\)). Đường thẳng \(CM\) cắt đường tròn tâm \(D\) tại điểm thứ hai là \(N.\) Hai đường thẳng \(EM\) và \(NF\) cắt nhau tại điểm \(T.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AT\) và \(MN.\) Chứng minh:
\(a)\) \(MNT\) là tam giác đều.
\(b)\) \(AT = 4AH.\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Giúp mình làm mấy bài này với
Câu trả lời của bạn
từ một điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O vẽ hai tia tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. trên cung nhỏ AB lấy một điểm C. vẽ CD, CE lần lượt vuông góc với AB, MA. chứng minh: a, AECD là tứ giác nội tiếp , b, ABC=EDC
Câu trả lời của bạn
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}CD\perp AB\\CE\perp MA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ADC}=90^o\\\widehat{AEC}=90^o\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{ADC}+\widehat{AEC}=180^o\)
Xét tứ giác AECD có: \(\widehat{ADC}+\widehat{AEC}=180^o\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác AECD nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{EDC}\) ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC) (1)
Xét (O) có:
\(\widehat{EAC}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và \(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp cùng chắn cung AC
\(\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{ABC}\) ( Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{EDC}\)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) (AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K; CP cắt AB tại F và cắt DA tại I.
a. Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp được và IK // AB.
b. Chứng minh: AP2 = PE .PD = PF . PC
c. Chứng minh: AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AED.
d. Gọi R1, R2 là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác AED và BED.
Chứng minh:
R1+R2=\(\sqrt{4R^2-PA^2}\)
Câu trả lời của bạn
a;* ta có : P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB
\(\Rightarrow\) cung PA = cung PB
\(\Rightarrow\) ADP = PCB (2 góc nội tiếp chắng 2 cung bằng nhau)
\(\Leftrightarrow\) IDK = ICK
xét tứ giác CKID có :
IDK = ICK (chứng minh trên)
mà IDK và ICK là 2 góc kề nhau cùng chắng cung IK của tứ giác CKID
\(\Rightarrow\) tứ giác CKID là tứ giác nội tiếp (đpcm)
* ta có : CDA = CBA (2 góc nội tiếp cùng chắng cung CA của (o))
mà CDI = CKI (2 góc nội tiếp cùng chắng cung IC của tứ giác CKID)
\(\Rightarrow\) CKI = CBA
mà CKI và CBA nằm ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow\) AB//IK (đpcm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Xác định vị tri của điểm M trong tam giác sao cho MA+MB+MC nhỏ nhất.
Câu trả lời của bạn
Trước tiên ta phát biểu và chứng minh một bổ đề:
Bổ đề. "Cho tam giác ABCABC và một điểm MM nằm trong tam giác. Chứng minh rằng MB+MC<AB+ACMB+MC<AB+AC."
Chứng minh. Kéo dài BMBM về phía MM cắt cạnh ACAC tại điểm NN. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
$$AN+AB>BN=BM+MN\\
MN+NC>MC$$
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và trừ đi hai vế cho MNMN ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Ta xét hai trường hợp:
a) Tam giác ABCABC có ba góc nhỏ hơn 120∘120∘.
Ta dựng tam giác đều BCDBCD ở phía ngoài tam giác ABCABC.
Gọi TT là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCDBCD với ADAD. Dễ dàng chứng minh rằng TT nhìn ba cạnh của tam giác ABCABC dưới ba góc bằng nhau. Ta chứng minh rằng với một điểm MM tùy ý ở trong tam giác ABCABC khác điểm TT thì ta cóMA+MB+MC>TA+TB+TCMA+MB+MC>TA+TB+TC
Thật vậy ta có MB+MC≥MDMB+MC≥MD và do đóMA+MB+MC≥MA+MD≥AD (1)MA+MB+MC≥MA+MD≥AD (1)
Mặt khác TA+TB+TC=TA+TDTA+TB+TC=TA+TD, do TT nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCDBCD. Và cuối cùng làTA+TB+TC=TA+TD=AD (2)TA+TB+TC=TA+TD=AD (2)
Từ (1)(1) và (2)(2) suy raMA+MB+MC≥TA+TB+TCMA+MB+MC≥TA+TB+TC
Đẳng thức xảy ra khi M≡TM≡T (điểm TT được gọi là điểm Toricenli của tam giác ABCABC).
b) Tam giác ABCABC có một góc, chẳng hạn ˆB≥120∘B^≥120∘.
Dựng tam giác đều BCDBCD ở phía ngoài của tam giác ABCABC.
Do ˆB≥120∘B^≥120∘ nên với mọi điểm MM tùy ý ở trong tam giác ABCABC, điểm BB nằm trong tam giác MDAMDA.
Ta có MB+MC≥MDMB+MC≥MD. Mặt khác theo bổ đề trên đối với tam giác MDAMDA ta có MA+MD≥BA+BDMA+MD≥BA+BD.
Từ đó ta cóOA+OB+OC≥OA+OD≥BA+BD=BA+BCOA+OB+OC≥OA+OD≥BA+BD=BA+BC
Như vậy khi M≡BM≡B thì tổng khoảng cách từ MM đến các đỉnh còn lại của tam giác ABCABC là nhỏ nhất. Tóm lại trong trường hợp tam giác ABCABC có một đỉnh không nhỏ hơn 120∘120∘ thì chỉnh đỉnh này là đỉnh cần tìm.
cho đường tròn ( O ; R ) và 1 điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó . 2 dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau : a) chứng minh rằng AB2 + CD2 không đổi ; b) chứng minh rằng PA2 + PB2 + PC2 + PD2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm P .
Câu trả lời của bạn
a) AB2 + CD2 = (2. MA)2 + (2. ND)2 = 4 (MA2 + ND2) = 4 [ (OA2 - OM2) + (OD2 - ON2)
= 4 [ 2R2 - (OM2 + ON2) ] = 4 [2R2 - (OM2 + MP2) = 4 [2R2 - OP2 ]
=> Tổng trên không phụ thuộc vào vị trí các dây cung AB và CD, miễn là chúng đi qua P và vuông góc với nhau
b) Nối CO cắt đường tròn tại Q, ta có góc CDQ = CAQ = 90 (góc chắn nửa đường tròn)
=> DQ // AB => BD = AQ (hai dây chắn bởi 2 đường song song)
PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = (PA2 + PC2) + (PB2 + PD2) = AC2 + BD2 = AC2 + AQ2 = CQ2 = (2R)2
Tổng trên không phụ thuộc vào điểm P.
Bài 74 (Sách bài tập - tập 2 - trang 114)
Cho lục giác đều ABCDEF. Chứng minh rằng đường chéo BF chia AD thành hai đoạn thẳng theo tỉ số 1 : 3 ?
Câu trả lời của bạn
Bài 73 (Sách bài tập - tập 2 - trang 113)
Cho đường tròn đường kính AB. Qua A và B kẻ hai tiếp tuyến của đường tròn đó. Gọi M là một điểm trên đường tròn. Các đường thẳng AM và BM cắt các tiếp tuyến trên lần lượt tại B' và A'
a) Chứng minh rằng \(AA'.BB'=AB^2\)
b) Chứng minh rằng \(A'A^2=A'M.A'B\)
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC cố định vuông tại A , đường cao AD . Vẽ (O) ngoại tiếp tam giác ABD và (O') ngoại tiếp tam giác ACD . Qua A kẻ đường thẳng d bất kì không cắt đoạn BC . Gọi giap điểm của D với đường tròn (O) là E và (O') là F . Gọi M là giao điểm của DE với AB và N là giao điểm của DF với AC .
a, Chứng minh góc EDF =90 độ
b, chứng minh MN song song EF
Câu trả lời của bạn
xét tứ giác AMDN có : MAN = 90o ; MDN = 90o
\(\Rightarrow\) MAN + MDN = 180o
mà MAN và MDN là 2 góc đối nhau
\(\Rightarrow\) tứ giác AMDN là tứ giác nội tiếp
ta có : MND = MAD (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MD)
mà BAD = BED (2 góc nội tiếp cùng chắng cung BD)
\(\Rightarrow\) MND = BED
mà BED = EFD (cùng phụ DEF)
\(\Rightarrow\) MND = EFD
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow\) MN//EF (đpcm)
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O) .Qua M vẽ các tiếp tuyến MA,MB ( A,B là các tiếp điểm ) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại C,D ( C nằm giữa M và D). Đoạn thẳng OM cắt AB và (O) theo thứ tự tại H và I.chứng minh rằg: a)tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn b) góc MAC = góc ADC từ đó suy ra MC.MD=MH.MO c)CI là tia phân giác của MCH
Câu trả lời của bạn
a,vì AM và BM là hai tiếp tuyến đường tròn (O) căt nhau tại M nên
MA\(\perp\)AO ; MB\(\perp\)OB =>^MAO=^MBO=900
Mà ^MAO+^MBO=900+900=1800
=>Tứ giác AOBM nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 1800)
b,Có ^MAC=^MDA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC )
xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MDA\)
^AMC chung
^MAC=^MDA
=>\(\Delta MAC\) đồng dạng \(\Delta MDA\)(g.g)
=>\(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{MD}{AM}\Rightarrow AM^2=MC.MD\)(1)
Vì AM và BM là 2 tiếp tuyến đường tròn(O)cắt nhau tại M nên MA=MB. Lại có AO=BO (bán kính )
=>MO là đường trung trực AB =>AH\(\perp MO\)
Xét \(\Delta AOM\) vuông tại A có AH là đường cao
=> AM2=MH.MO(2)
Từ (1),(2) suy ra MC.MD=MH.MO
Cho đường tròn O và điểm M nằm ngoài đường tròn.Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F(EM<FM).Vẽ cát tuyến MAB và tieeps tuyến MC của (O) ( C là tiếp điểm;A nằm giữa M và B ; A và C nằm khác phía đối vs đường thẳng MO.
1)CMR: MA.MB = ME . MF(câu này làm đc r nhé)
2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C trên đường thẳng MO.CMR :AHOB là tứ giác nội tiếp.
(làm ơn trình bày câu này kĩ kĩ nhé,chứ méo hiểu j thì chết,t rất ngu)
3)TRên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng MO có chứa điểm A,vẽ nữa đương tròn đường kính MF.Nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của ( O) tại K .Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KC> CMR: đường thẳng MS vuông góc vs đường thẳng KC.
4)Gọi P,Q lần lượt là tâm đường tròn nghoại tiếp ccas tam gaics É<ABS< và T là trung điểm của KS .CMR : P , Q ,T thẳng hàng.
Câu trả lời của bạn
2/ Ta có: \(\Delta MCA\simeq\Delta MBC\) (dùng cái đó làm ký hiệu đồng dạng đi nhá). Với lại 2 tam giác này nhìn vô là thấy đồng dạng rồi nên t không chứng minh đâu đấy).
\(\Rightarrow\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{MA}{MC}\Rightarrow MC^2=MA.MB\left(1\right)\)
\(\Delta MCO\) vuông tại C có CH là đường cao:
\(\Rightarrow\Delta MCH\simeq\Delta MOC\)
\(\Rightarrow\dfrac{MC}{MO}=\dfrac{MH}{MC}\Rightarrow MC^2=MO.MH\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MA.MB=MO.MH\)
\(\Rightarrow\dfrac{MA}{MO}=\dfrac{MH}{MB}\)
\(\Rightarrow\Delta MAH\simeq\Delta MOB\)
\(\Rightarrow\widehat{MHA}=\widehat{MBO}\)
\(\Rightarrow AHOB\) nội tiếp đường tròn.
3/ S là giao điểm của CO, KF mới đúng chớ.
Ta có: \(\widehat{MKF}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta MKF\) vuông tại K có KE là đường cao.
Giống như trên sẽ chứng minh được: \(MK^2=ME.MF\left(3\right)\)
\(\Delta MCE\simeq\Delta MFC\)
\(\Rightarrow\dfrac{MC}{MF}=\dfrac{ME}{MC}\Rightarrow MC^2=MF.ME\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow MK^2=MC^2\Rightarrow MK=MC\left(5\right)\)
\(\Delta MKS\) và \(\Delta MCS\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}MK=MC\\\widehat{MKS}=\widehat{MCS}=90^o\\MS\left(chung\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MKS=\Delta MCS\)
\(\Rightarrow\widehat{KMS}=\widehat{CMS}\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) \(\Rightarrow\) MJ là đường cao của \(\Delta MCK\)
\(\Rightarrow MS\perp CK\)
Câu 4 sửa đề đi t làm nốt cho.
PS: Thân lắm t mới giải hình cho mầy đấy. Phải nhớ cảm ơn đàng hoàng đấy
Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Vẽ đường cao AH, đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại E và cắt AC tại điểm F.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI vuông góc với EF
d) Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC. Tính diện tích hình tròn tâm K.
Giải giúp mình với mai kiểm tra rồi
Câu trả lời của bạn
c; đặt AI cắt EF tai G
ta có : ACB = AEG (cùng + FEB = 180o)
\(\Delta\) ABC vuông tại A (giả thiết)
AI là trung tuyến (M là trung điểm của CB)
\(\Rightarrow\) AI = 1/2 CB (tính chất đường trung tuyến ứng cạnh huyền)
\(\Leftrightarrow\) AI = IB \(\Rightarrow\) \(\Delta\) AIB cân tại I
\(\Leftrightarrow\) IAB = IBA
mà ACB = AEG (chứng minh trên)
đồng thời ACB + ABI = 90o (\(\Delta\) ABC vuông tại A)
\(\Rightarrow\) IAB + AEG = 90o
\(\Leftrightarrow\) GAE + GEA = 90o
xét \(\Delta\) GAE có AGE = 180o- (GAE + GEA)
= 180o- 90o= 90o
\(\Rightarrow\) AGE = 90o \(\Leftrightarrow\) AI vuông góc với EF (đpcm)
Bài 79 (Sách bài tập - tập 2 - trang 114)
Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi C là một điểm chạy trên nửa đường tròn đó. Trên AC lấy điểm D sao cho AD = CB. Qua A kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn rồi lấy AE = AB (E và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)
a) Tìm quỹ tích điểm D
b) Tính diện tích phần chung của hai nửa đường tròn đường kính AB và AE
Câu trả lời của bạn
Bài 78 (Sách bài tập - tập 2 - trang 114)
Cho tam giác AHB có \(\widehat{H}=90^0,\widehat{A}=30^0,BH=4cm\). Tia phân giác của góc B cắt AH tại O. Vẽ đường tròn (O; OH) và đường tròn (O; OA)
a) Chứng minh đường tròn (O; OH) tiếp xúc với cạnh AB
b) Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên
Câu trả lời của bạn
Bài 77 (Sách bài tập - tập 2 - trang 114)
Tính diện tích của phần gạch sọc trên hình 15 (theo kích thước đã cho trên hình)
Câu trả lời của bạn
Bài 76 (Sách bài tập - tập 2 - trang 114)
Hai ròng rọc có tâm O, O' và bán kính R = 4a, R'=a. Hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A theo góc \(60^0\) (h.14). Tìm độ dài của dây curoa mắc qua hai ròng rọc ?
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *