Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta luôn có:
a) \({1^2} + {2^2} + ... + {(n - 1)^2} + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
b) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{n}{{{3^n}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\)
a) Bước 1: Với \(n = 1\) ta có:
\(VT = {1^2} = 1,{\rm{ }}VP = \frac{{1(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6} = 1 \Rightarrow VT = VP\)
\( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:
\({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\) (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh:
\({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 1)(2k + 3)}}{6}\) (2).
Thật vây:
\(VT(2) = \left[ {{1^2} + {2^2} + ... + {k^2}} \right] + {(k + 1)^2}\)\(\mathop = \limits^{{\rm{do }}(1)} \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\)
\( = (k + 1)\left[ {\frac{{2{k^2} + k}}{6} + k + 1} \right] = \frac{{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)}}{6}\)
\( = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6} = VP(2)\)
\( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \)đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).
b) * Với \(n = 1\) ta có \(VT = 1 = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\)
* Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}}\) (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh
\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}}\) (2).
Thật vậy:\(VT(2) = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = VP(2)\)
\( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng.
Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}} + \sqrt {{u_{n - 1}}} {\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy tăng và bị chặn.
Ta chứng minh dãy \(({u_n})\) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp
* Dễ thấy: \({u_1} < {u_2} < {u_3}\).
* Giả sử \({u_{k - 1}} < {u_k}{\rm{ }}\forall k \ge 2\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} < {u_k}\). Thật vậy:
\({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k}} + \sqrt {{u_{k - 1}}} > \sqrt {{u_{k - 1}}} + \sqrt {{u_{k - 2}}} = {u_k}\)
Vậy \(({u_n})\) là dãy tăng.
Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được \({u_n} < 4{\rm{ }}\forall n\), hơn nữa \({u_n} > 0\)
Nên dãy \(({u_n})\) là dãy bị chặn.
Chứng minh rằng :
a) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSC thì \(9ab = 2{a^3} + 27c\)
b) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSN thì \(c(c{a^3} - {b^3}) = 0\)
a) Giả sử phương trình có ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSC
Suy ra: \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\) (1)
Mặt khác: \({x^3} - a{x^2} + bx - c = (x - {x_1})(x - {x_2})(x - {x_3})\)
\( = {x^3} - ({x_1} + {x_2} + {x_3}){x^2} + ({x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1})x - {x_1}{x_2}{x_3}\)
Suy ra \({x_1} + {x_2} + {x_3} = a\) (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra \(3{x_2} = a\) hay \({x_2} = \frac{a}{3}\)
Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \frac{a}{3}\), tức là:
\({\left( {\frac{a}{3}} \right)^3} - a{\left( {\frac{a}{3}} \right)^2} + b\left( {\frac{a}{3}} \right) - c = 0 \Leftrightarrow - \frac{{2{a^3}}}{{27}} + \frac{{ba}}{3} - c = 0 \Leftrightarrow 9ab = 2{a^3} + 27c\)
Ta có đpcm.
b) Giả sử ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSN, suy ra \({x_1}{x_3} = x_2^2\)
Theo phân tích bài trên, ta có: \({x_1}{x_2}{x_3} = c \Rightarrow x_2^3 = c \Rightarrow {x_2} = \sqrt[3]{c}\)
Hay phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \sqrt[3]{c}\), tức là:
\({\left( {\sqrt[3]{c}} \right)^3} - a{\left( {\sqrt[3]{c}} \right)^2} + b\sqrt[3]{c} - c = 0 \Leftrightarrow b\sqrt[3]{c} = a\sqrt[3]{{{c^2}}} \Leftrightarrow c(c{a^3} - {b^3}) = 0\)
Bài toán được chứng minh.
a) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\)
\(\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \cos A;\cos B;\cos C\) lập thành cấp số cộng.
b) Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng \(\cot \frac{A}{2};\cot \frac{B}{2};\cot \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \sin A;\sin B;\sin C\) lập thành cấp số cộng.
a) Ta có: \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng
\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2} = 2\tan \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin (\frac{A}{2} + \frac{C}{2})}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{2} = \frac{{1 - \cos B}}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos A + \cos C} \right]\)
\( \Leftrightarrow \cos B = \frac{{\cos A + \cos C}}{2} \Leftrightarrow \cos A,\cos B,\cos C\) lập thành CSC.
b) Ta có: \(\cot \frac{A}{2} - \cot \frac{B}{2} = \cot \frac{B}{2} - \cot \frac{C}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} - \cos \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}} = \frac{{\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} - \cos \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow \sin \frac{{B - A}}{2}\cos \frac{{B + A}}{2} = \sin \frac{{C - B}}{2}.\cos \frac{{C + B}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin B - \sin A = \sin C - \sin B \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B\).
Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương IIIđể kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho một cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 1\) và tổng 100 số hạng đầu bằng \(24850\). Tính \(S = \frac{1}{{u_1^{}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\)
Dãy số \({u_n} = - 3n + 1\) có phải là cấp số cộng không? Nếu phải hãy xác định số công sai?
Dãy số \({u_n} = \frac{2}{n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương III sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 9 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 10 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 11 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 12 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 13 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 14 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 15 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 16 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 17 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 18 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 19 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.37 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 3.38 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 3.39 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.40 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.41 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.42 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.43 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.44 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.45 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.46 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.47 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.48 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.49 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.50 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.51 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.52 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.53 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.54 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.55 trang 135 SBT Toán 11
Bài tập 3.56 trang 135 SBT Toán 11
Bài tập 44 trang 122 SGK Toán 11 NC
Bài tập 45 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 46 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 47 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 48 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 49 trang 124 SGK Toán 11 NC
Bài tập 50 trang 124 SGK Toán 11 NC
Bài tập 51 trang 124 SGK Toán 11 NC
Bài tập 52 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 53 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 54 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 55 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 56 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 57 trang 125 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Cho một cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 1\) và tổng 100 số hạng đầu bằng \(24850\). Tính \(S = \frac{1}{{u_1^{}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\)
Dãy số \({u_n} = - 3n + 1\) có phải là cấp số cộng không? Nếu phải hãy xác định số công sai?
Dãy số \({u_n} = \frac{2}{n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = {3^{\frac{n}{2} + 1}}.\) Tìm công bội của dãy số (un).
Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng \( - 9\) và tổng các bình phương của chúng bằng 29.
Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_7} - {u_3} = 8}\\{{u_2}.{u_7} = 75}\end{array}} \right.\). Tìm \({u_1},d\)?
Cho các số \(5x - y,{\rm{ }}2x + 3y,{\rm{ }}x + 2y\) lập thành cấp số cộng ; các số \({\left( {y + 1} \right)^2},xy + 1,{\left( {x - 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân.Tính \(x,y\)
Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: \( - 1,3,19,53\). Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
Số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}?\)
Chứng minh các đẳng thức sau với n ∈ N∗
a) \({A_n} = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + ... + \frac{1}{{n(n + 1)(n + 2)}} = \frac{{n(n + 3)}}{{4(n + 1)(n + 2)}}\)
b) \({B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + \frac{{n(n + 1)}}{2} = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{6}\)
c) \({S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx = \frac{{\sin \frac{{nx}}{2}.\sin \frac{{(n + 1)x}}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}}\)
Chứng minh các bất đẳng thức sau
a) 3n − 1 > n(n + 2) với n ≥ 4 ;
b) 2n − 3 > 3n − 1 với n ≥ 8
Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1,{u_2} = 2\\
{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1,\,\,n \ge 2
\end{array} \right.\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;
b) Lập dãy số (vn) với vn = un+1−un
Chứng minh dãy số (vn) là cấp số cộng
c) Tìm công thức tính un theo n
Cho dãy số (
{u_1} = \frac{1}{3}\\
{u_{n + 1}} = \frac{{(n + 1){u_n}}}{{3n}},\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;
b) Lập dãy số (
Chứng minh dãy số (
c) Tìm công thức tính
Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820?
Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.
Chứng minh rằng nếu ba số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau.
Cho cấp số nhân (
Chứng minh rằng \(q = \frac{{{S_c}}}{{{S_l}}}\)
Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng.
Tính tổng
a) \(\frac{1}{2} + \frac{3}{{{2^2}}} + \frac{5}{{{2^3}}} + ... + \frac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\)
b) \({1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {( - 1)^{n - 1}}.{n^2}\)
Tính tổng
a) \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\)
b) \(
Tìm m để phương trình \({x^4} - (3m + 5){x^2} + {(m + 1)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.
Trong các dãy số (
A. \({u_n} = \sin n\)
B. \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{n}\)
C. \({u_n} = \sqrt n - \sqrt {n - 1} \)
D. \({u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)\)
Trong các dãy số (
A. \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \)
B. \({u_n} = n + \frac{1}{n}\)
C. \({u_n} = {2^n} + 1\)
D. \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\)
Cho cấp số nhân (
A. \({u_5} = - 24\)
B. \({u_5} = 48\)
C. \({u_5} = - 48\)
D. \({u_5} = 24\)
Trong các dãy số (
A. \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = u_n^3 - 1
\end{array} \right.\)
B.
{u_1} = 2\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + n
\end{array} \right.\)
C.
{u_1} = - 1\\
{u_{n + 1}} - {u_n} = 2
\end{array} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3}\\
{{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1}
\end{array}} \right.\)
Cho cấp số cộng
A.
B.
C.
D.
Cho cấp số nhân
A.
B.
C.
D.
Cho dãy số (
A. \(\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = {u_5}\)
B. \(\frac{{{u_2}{u_4}}}{2} = {u_3}\)
C. \(1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{100}} = \frac{{{u_{100}} - 1}}{2}\)
D. \({u_1}{u_2}...{u_{100}} = {u_{5050}}\)
Chứng minh rằng:
\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right).{n^2} = \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}}{{12}}\) (1)
Với mọi số nguyên n ≥ 2.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Gọi q là công bội của cấp số nhân (un)
Ta có 15u1 – 4u2 + u3 = 45 – 12q + 3q2 = 3(q – 2)2 + 33 ≥ 33 ∀ q
⇒ min(15u1 – 4u2 + u3) = 33 khi q = 2
Suy ra u13 = u1q12 = 3.212 = 12288.
Câu trả lời của bạn
u1 = 18, u2 = 54 ⇒ q = 3
un = 39366 ⇔ u1.qn-1 = 39366 ⇔ 18.3n-1 = 39366 ⇔ 3n-1 = 37 ⇔ n = 8.
Vậy \({S_8} = 18.\frac{{1 - {3^8}}}{{1 - 3}} = 59040\)
Câu trả lời của bạn
Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác.
Chu vi của tam giác: x + y + z = 3a (1)
Tính chất của cấp số cộng có x + z = 2y (2)
Vì tam giác vuông nên có: x2 + y2 = z2 (3)
Thay (2) vào (1) được 3y = 3a hay y = a, thay y = a vào (2) được: x + z = 2a hay x = 2a - z
Thay x và y vào (3) được: (2a – z)2 + a2 = z2 ⇔ 5a2 – 4az = 0 ⇔ \(z = \frac{{5a}}{4} \Rightarrow x = \frac{{3a}}{4}\)
Độ dài ba cạnh của tam giác thỏa yêu cầu: 3a/4, a, 5a/4
Vậy độ dài cạnh lớn nhất của tam giác là 5a/4
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Xét cấp số cộng \((u_n)\) với \(u_{n+1}= u_n+ d\), ta có: \(u_{n+1}– u_n= d\)
+) \(u_{n+1}> u_n\) nếu \(d > 0\)
+) \(u_{n+1}< u_n\) nếu \(d < 0\)
Vậy cấp số cộng \((u_n)\)
+) Tăng nếu \(d > 0\)
+) Giảm nếu \(d < 0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(u_n=u_1q^{n-1}\)
\(q > 0 \Rightarrow {q^{n - 1}} > 0 \Rightarrow {u_1}.{q^{n - 1}} < 0\)
(vì \(u_1 < 0\))
\( \Rightarrow {u_n} < 0,\forall n\)
Câu trả lời của bạn
Do q < 0 nên:
+ Nếu n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ qn – 1 < 0
⇒ u1.qn – 1 > 0 (vì u1 < 0).
⇒ un > 0.
+ Nếu n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ qn – 1 > 0
⇒ u1.qn – 1 < 0 (Vì u1 < 0).
⇒ un < 0.
Vậy nếu q < 0, u1 < 0 thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm.
Câu trả lời của bạn
Giả sử có hai cấp số cộng (un) với công sai d1 và (vn) với công sai d2.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = {d_1}\\{v_{n + 1}} - {v_n} = {d_2}\end{array} \right.\)
Xét dãy (an) với an = un + vn
Ta có: an + 1 – an = (un + 1 + vn + 1) – (un + vn)
= (un+1 – un ) + (vn+1 - vn)
= d1 + d2 = const
Vậy \((a_n)\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(a_1=u_1+v_1\) và công sai là \(d_1+d_2\)
Ví dụ:
\(1, 3, 5, 7 ,...\) là cấp số cộng có \(u_1=1\) và \(d_1= 2\)
\(0, 5, 10, 15,...\) là cấp số cộng có \(v_1=0\) và \(d_2= 5\)
\(⇒ (a_n):1, 8, 15, 22 ,...\) là cấp số cộng có \(a_1=1+0=1\) và \(d = d_1+d_2= 2 + 5 = 7\).
Câu trả lời của bạn
Gọi \((a_n)\) là cấp số nhân công bội \(q_1\) và \((b_n)\) là cấp số nhân công bội \(q_2\) tương ứng.
Xét \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {a_n}.{b_n}\)
Ta có:
\({u_{n + 1}} = {a_{n + 1}}.{b_{n + 1}} \)
\(\Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{a_{n + 1}}{b_{n + 1}}}}{{{a_n}{b_n}}} = \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}.\frac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} = {q_1}{q_2}\)
Vậy dãy số \((u_n)\) là một cấp số nhân có công bội : \(q = q_1q_2\)
Ví dụ:
\(1, 2, 4 ,...\) là cấp số nhân có công bội \(q_1= 2\)
\(3, 9, 27, ...\) là cấp số nhân có công bội \(q_2= 3\)
Suy ra: \(3, 18, 108...\) là cấp số nhân có công bội: \(q = q_1q_2= 2.3 = 6\).
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 1\), ta có: \(13^1– 1 = 13– 1 = 12 \,\,⋮\,\, 6\)
Giả sử: \(13^k- 1\) \( ⋮ \) \(6\) với mọi \(k ≥ 1\)
Ta chứng minh: \(13^{k+1}– 1\) chia hết cho \(6\)
Thật vậy:
\({13^{k + 1}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{13^{k + 1}}-{\rm{ }}{13^k} + {\rm{ }}{13^k} - 1{\rm{ }} \)
\(\begin{array}{l}
= \left( {{{13}^{k + 1}} - {{13}^k}} \right) + \left( {{{13}^k} - 1} \right)\\
= {13^k}\left( {13 - 1} \right) + \left( {{{13}^k} - 1} \right)
\end{array}\)
\(= {\rm{ }}{12.13^k} + {13^k}-{\rm{ }}1\)
Vì : \(12.13^k\) \(⋮\) \(6\) và \(13^k– 1\) \(⋮\) \(6\) (theo giả thiết quy nạp)
Nên : \(13^{k+1}– 1\) \(⋮\) \(6\)
Vậy \(13^n-1\) chia hết cho \(6\) với mọi \(n \in N^*\).
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 1\), ta có: \(3.1^3+ 15.1 = 18\) \(⋮\) \(9\)
Giả sử: \(3k^3+ 15k\) \(⋮\) \(9\) \(\forall k \ge 1\).
Ta chứng minh: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)
Thật vậy:
\(3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) \)
\(= 3.{\rm{ }}({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)\)
\(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18\)
\(= (3k^3+ 15k ) + 9(k^2+ k + 2)\)
Vì \(3k^3 + 15k\) \(⋮ \) \(9\) (theo giả thiết quy nạp) và \(9(k^2+ k + 2)\) \(⋮\) \(9\)
Nên: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\)
Vậy: \(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
{u_2} = 2{u_1} - 1 = 3\\
{u_3} = 2{u_2} - 1 = 5\\
{u_4} = 2{u_3} - 1 = 9\\
{u_5} = 2{u_4} - 1 = 17
\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
Với \(n = 1\), ta có: \(u_1= 2^{1-1}+ 1 = 2\) công thức đúng
Giả sử công thức đúng với mọi \(n = k\ge 1\). Nghĩa là: \({u_k} = {\rm{ }}{2^{k - 1}} + {\rm{ }}1\)
Ta chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta phải chứng minh:
\({u_{k + 1}} = {\rm{ }}{2^{\left( {k + 1} \right) - 1}} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^k} + {\rm{ }}1\)
Ta có: \({u_{k + {\rm{ }}1}} = 2{u_k} - 1 = 2({2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}1) - 1 \)\(= {2.2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}2-1 = {2^k} + 1\) (đpcm)
Vậy \(u_n= 2^{n-1}+ 1\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\).
Câu trả lời của bạn
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,{u_{n + 1}} - {u_n}\\
= \left( {n + 1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + \frac{1}{n}} \right)\\
= n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - n - \frac{1}{n}\\
= 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}\\
= \frac{{{n^2} + n + n - n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0\,\,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)
Do \(n^2+n-1 \ge 1^2+1-1=1>0\) và n(n+1) > 0 với \(\forall n\in N^*\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng.
Mặt khác: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}} = 2,\forall n \in {N^*}\) \(\Rightarrow u_n\) là dãy số bị chặn dưới.
Khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên.
Vậy \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới.
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(u_1= (-1)^{1-1}\sin 1 = \sin 1 > 0\)
\(\eqalign{& {u_2} = {\left( { - 1} \right)^{2-1}}.\sin {1 \over 2} = - \sin {1 \over 2} < 0 \cr & {u_3} = {( - 1)^{3-1}}.\sin {1 \over 3} = \sin {1 \over 3} > 0 \cr} \)
\(⇒ u_1> u_2\) và \(u_2< u_3\)
Vậy \(u_n\) là dãy số không tăng không giảm.
Ta lại có: \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}} \right| = \left| {\sin \frac{1}{n}} \right| \le 1 \)\(\Leftrightarrow - 1 \le {u_n} \le 1\)
Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn.
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\({u_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \) \( = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \)\(= {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \) \(= {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
Xét hiệu:
\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& = {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr} \)
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
\sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr
\sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \)
\( \Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \)
\(\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\)
⇒ un là dãy số giảm.
Mặt khác: \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N^*\) \(\Rightarrow\) un là dãy số bị chặn dưới.
Ta lại có: với n ≥ 1 thì \(\sqrt {n + 1} + \sqrt n \ge \sqrt 2 + 1\)
\(\Rightarrow {u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2 + 1}}\)
Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên.
Vậy \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{u_7} + {u_{15}} = 60 \hfill \cr
u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
({u_1} + 6d) + ({u_1} + 14d) = 60\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
{({u_1} + 3d)^2} + {({u_1} + 11d)^2} = 1170\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)
\((1) ⇔ 2u_1+ 20d = 60 ⇔ u_1= 30 – 10d\) thế vào \((2)\)
\((2) ⇔[(30 – 10d) + 3d]^2+ [(30 – 10d) + 11d]^2= 1170\)
\(⇔ (30 – 7d)^2+ (30 + d)^2= 1170\)
\(⇔900 – 420d + 49d^2+ 900 + 60d + d^2= 1170\)
\(⇔ 50d^2– 360d + 630 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
d = 3 \Rightarrow {u_1} = 0 \hfill \cr
d = {{21} \over 5} \Rightarrow {u_1} = - 12 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(\left\{ \matrix{{u_1} = 0 \hfill \cr d = 3 \hfill \cr} \right.\) hoặc \(\left\{ \matrix{{u_1} = - 12 \hfill \cr d = {{21} \over 5} \hfill \cr} \right.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
5{u_1} + 10{u_5} = 0\\
{S_4} = 14
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5{u_1} + 10\left( {{u_1} + 4d} \right) = 0\\
\frac{{\left( {2{u_1} + 3d} \right).4}}{2} = 14
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
15{u_1} + 40d = 0\\
2{u_1} + 3d = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 8\\
d = - 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy số hạng đầu \(u_1= 8\), công sai \(d = -3\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_2} + {u_5} - {u_4} = 10 \hfill \cr
{u_3} + {u_6} - {u_5} = 20 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.q + {u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^3} = 10 \hfill \cr
{u_1}.{q^2}+u_1.q^5-u_1.q^4 = 20 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}q(1 + {q^3} - {q^2}) = 10 \,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr
{u_1}q^2(1 + {q^3} - {q^2}) = 20\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: \(q = 2\) thế vào (1)
(1) \(⇔ 2u_1(1 + 8 – 4) = 10 ⇔ u_1= 1\)
Vậy \(u_1= 1\) và \(q = 2\).
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{u_4} - {u_2} = 72\\
{u_5} - {u_3} = 144
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}{q^3} - {u_1}q = 72\\
{u_1}{q^4} - {u_1}{q^2} = 144
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 72\\
{u_1}{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 144
\end{array} \right. \\\Rightarrow \frac{{{u_1}{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right)}} = \frac{{144}}{{72}} \\\Leftrightarrow q = \frac{{144}}{{72}} = 2\\
\Rightarrow {u_1}.2.\left( {{2^2} - 1} \right) = 72 \\\Leftrightarrow {u_1}.6 = 72 \Leftrightarrow {u_1} = 12
\end{array}\)
Vậy \(u_1= 12\) và \(q = 2\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *