Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta luôn có:
a) \({1^2} + {2^2} + ... + {(n - 1)^2} + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
b) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{n}{{{3^n}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\)
a) Bước 1: Với \(n = 1\) ta có:
\(VT = {1^2} = 1,{\rm{ }}VP = \frac{{1(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6} = 1 \Rightarrow VT = VP\)
\( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:
\({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\) (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh:
\({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 1)(2k + 3)}}{6}\) (2).
Thật vây:
\(VT(2) = \left[ {{1^2} + {2^2} + ... + {k^2}} \right] + {(k + 1)^2}\)\(\mathop = \limits^{{\rm{do }}(1)} \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\)
\( = (k + 1)\left[ {\frac{{2{k^2} + k}}{6} + k + 1} \right] = \frac{{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)}}{6}\)
\( = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6} = VP(2)\)
\( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \)đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).
b) * Với \(n = 1\) ta có \(VT = 1 = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\)
* Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}}\) (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh
\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}}\) (2).
Thật vậy:\(VT(2) = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = VP(2)\)
\( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng.
Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}} + \sqrt {{u_{n - 1}}} {\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy tăng và bị chặn.
Ta chứng minh dãy \(({u_n})\) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp
* Dễ thấy: \({u_1} < {u_2} < {u_3}\).
* Giả sử \({u_{k - 1}} < {u_k}{\rm{ }}\forall k \ge 2\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} < {u_k}\). Thật vậy:
\({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k}} + \sqrt {{u_{k - 1}}} > \sqrt {{u_{k - 1}}} + \sqrt {{u_{k - 2}}} = {u_k}\)
Vậy \(({u_n})\) là dãy tăng.
Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được \({u_n} < 4{\rm{ }}\forall n\), hơn nữa \({u_n} > 0\)
Nên dãy \(({u_n})\) là dãy bị chặn.
Chứng minh rằng :
a) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSC thì \(9ab = 2{a^3} + 27c\)
b) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSN thì \(c(c{a^3} - {b^3}) = 0\)
a) Giả sử phương trình có ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSC
Suy ra: \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\) (1)
Mặt khác: \({x^3} - a{x^2} + bx - c = (x - {x_1})(x - {x_2})(x - {x_3})\)
\( = {x^3} - ({x_1} + {x_2} + {x_3}){x^2} + ({x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1})x - {x_1}{x_2}{x_3}\)
Suy ra \({x_1} + {x_2} + {x_3} = a\) (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra \(3{x_2} = a\) hay \({x_2} = \frac{a}{3}\)
Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \frac{a}{3}\), tức là:
\({\left( {\frac{a}{3}} \right)^3} - a{\left( {\frac{a}{3}} \right)^2} + b\left( {\frac{a}{3}} \right) - c = 0 \Leftrightarrow - \frac{{2{a^3}}}{{27}} + \frac{{ba}}{3} - c = 0 \Leftrightarrow 9ab = 2{a^3} + 27c\)
Ta có đpcm.
b) Giả sử ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSN, suy ra \({x_1}{x_3} = x_2^2\)
Theo phân tích bài trên, ta có: \({x_1}{x_2}{x_3} = c \Rightarrow x_2^3 = c \Rightarrow {x_2} = \sqrt[3]{c}\)
Hay phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \sqrt[3]{c}\), tức là:
\({\left( {\sqrt[3]{c}} \right)^3} - a{\left( {\sqrt[3]{c}} \right)^2} + b\sqrt[3]{c} - c = 0 \Leftrightarrow b\sqrt[3]{c} = a\sqrt[3]{{{c^2}}} \Leftrightarrow c(c{a^3} - {b^3}) = 0\)
Bài toán được chứng minh.
a) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\)
\(\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \cos A;\cos B;\cos C\) lập thành cấp số cộng.
b) Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng \(\cot \frac{A}{2};\cot \frac{B}{2};\cot \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \sin A;\sin B;\sin C\) lập thành cấp số cộng.
a) Ta có: \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng
\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2} = 2\tan \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin (\frac{A}{2} + \frac{C}{2})}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{2} = \frac{{1 - \cos B}}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos A + \cos C} \right]\)
\( \Leftrightarrow \cos B = \frac{{\cos A + \cos C}}{2} \Leftrightarrow \cos A,\cos B,\cos C\) lập thành CSC.
b) Ta có: \(\cot \frac{A}{2} - \cot \frac{B}{2} = \cot \frac{B}{2} - \cot \frac{C}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} - \cos \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}} = \frac{{\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} - \cos \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow \sin \frac{{B - A}}{2}\cos \frac{{B + A}}{2} = \sin \frac{{C - B}}{2}.\cos \frac{{C + B}}{2}\)
\( \Leftrightarrow \sin B - \sin A = \sin C - \sin B \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B\).
Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương IIIđể kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho một cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 1\) và tổng 100 số hạng đầu bằng \(24850\). Tính \(S = \frac{1}{{u_1^{}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\)
Dãy số \({u_n} = - 3n + 1\) có phải là cấp số cộng không? Nếu phải hãy xác định số công sai?
Dãy số \({u_n} = \frac{2}{n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương III sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 9 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 10 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 11 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 12 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 13 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 14 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 15 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 16 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 17 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 18 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 19 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3.37 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 3.38 trang 132 SBT Toán 11
Bài tập 3.39 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.40 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.41 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.42 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.43 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.44 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.45 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.46 trang 133 SBT Toán 11
Bài tập 3.47 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.48 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.49 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.50 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.51 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.52 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.53 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.54 trang 134 SBT Toán 11
Bài tập 3.55 trang 135 SBT Toán 11
Bài tập 3.56 trang 135 SBT Toán 11
Bài tập 44 trang 122 SGK Toán 11 NC
Bài tập 45 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 46 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 47 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 48 trang 123 SGK Toán 11 NC
Bài tập 49 trang 124 SGK Toán 11 NC
Bài tập 50 trang 124 SGK Toán 11 NC
Bài tập 51 trang 124 SGK Toán 11 NC
Bài tập 52 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 53 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 54 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 55 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 56 trang 125 SGK Toán 11 NC
Bài tập 57 trang 125 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Cho một cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 1\) và tổng 100 số hạng đầu bằng \(24850\). Tính \(S = \frac{1}{{u_1^{}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\)
Dãy số \({u_n} = - 3n + 1\) có phải là cấp số cộng không? Nếu phải hãy xác định số công sai?
Dãy số \({u_n} = \frac{2}{n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = {3^{\frac{n}{2} + 1}}.\) Tìm công bội của dãy số (un).
Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng \( - 9\) và tổng các bình phương của chúng bằng 29.
Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_7} - {u_3} = 8}\\{{u_2}.{u_7} = 75}\end{array}} \right.\). Tìm \({u_1},d\)?
Cho các số \(5x - y,{\rm{ }}2x + 3y,{\rm{ }}x + 2y\) lập thành cấp số cộng ; các số \({\left( {y + 1} \right)^2},xy + 1,{\left( {x - 1} \right)^2}\) lập thành cấp số nhân.Tính \(x,y\)
Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: \( - 1,3,19,53\). Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
Số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ mấy của dãy số \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}?\)
Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 2 và \({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}\) với mọi n ≥ 2
Chứng minh rằng:
\({u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\) (1)
Với mọi số nguyên dương n.
Cho các dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}\) và \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}\) và \({v_n} = \frac{{2n}}{{n + 1}}\)
a. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (an) với an = un + vn
b. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (bn) với bn = un – vn
c. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (cn) với cn = un.vn
d. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (dn) với \({d_n} = \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)
Chú ý
Các dãy số (an), (bn), (cn), (dn) nêu trên thường được kí hiệu tương ứng bởi (un + vn), (un – vn), (un.vn), \(\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\).
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.
a. Dãy số (un) với un = 8n + 3
b. Dãy số (un) với un = n2+n+1
c. Dãy số (un) với un = 3.8n
d. Dãy số (un) với un = (n+2).3n
Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :
a. Dãy số (un) xác định bởi
u1 = 3 và un+1 = un+5 với mọi n ≥ 1
là một cấp số cộng.
b. Dãy số (un) xác định bởi
u1 = 3 và un+1 = un+n với mọi n ≥ 1,
là một cấp số cộng.
c. Dãy số (un) xác định bởi
u1 = 4 và un+1 = 5un với mọi n ≥ 1,
là một cấp số nhân.
d. Dãy số (un) xác định bởi
u1 = 1 và un+1 = nun với mọi n ≥ 1
là một cấp số nhân.
Cho dãy hình vuông H1, H2, …, Hn,… Với mỗi số nguyên dương n, gọi un, pn và Sn lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông Hn.
a. Giả sử dãy số (un) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (pn) và (Sn) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?
b. Giả sử dãy số (un) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (pn) và (Sn) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?
Cho dãy số (un) xác định bởi:
u1 = 3 và \({u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} \) với mọi n ≥ 1
Chứng minh rằng (un) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.
Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:
- Ở Cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.
- Ở Cơ sở B: Giá của mỗi mét khoan đầu tiên là 6 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.
Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un và vn tương ứng là giá trị của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và của cơ sở B.
a. Hãy tính u2, u3, v2, v3.
b. Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng và dãy số (vn) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.
c. Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở nào, nếu chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau?
d. Cũng câu hỏi như phần c, với giả thiết độ sâu của giếng khoan là 25 mét.
Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai :
a. Tồn tại một cấp số nhân (un) có u5 < 0 và u75 > 0
b. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0 thì các số \{a^2},{b^2},{c^2}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
c. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số \{a^2},{b^2},{c^2}\) theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.
Cho dãy số (un) xác định bởi : \({u_1} = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = \frac{1}{2}\) với mọi n ≥ 2.
Khi đó u50 bằng :
A. 1274,5
B. 2548,5
C. 5096,5
D. 2550,5
Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = −1 và \[{u_1} = - 1\) với mọi n ≥ 2.
Khi đó u11 bằng :
A. 210.11!
B. -210.11!
C. 210.1110
D. - 210.1110
Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 150 và \({u_1} = 150\) với mọi n ≥ 2.
Khi đó tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đó bằng
A. 150
B. 300
C. 29850
D. 59700
Cho cấp số cộng (un) có : u2 = 2001 và u5 = 1995.
Khi đó u1001 bằng
A. 4005
B. 4003
C. 3
D. 1
Cho cấp số nhân (un) có u2 = -2 và u5 = 54.
Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng
A. \(\frac{{1 - {3^{1000}}}}{4}\)
B. \(\frac{{{3^{1000}} - 1}}{2}\)
C. \(\frac{{{3^{1000}} - 1}}{6}\)
D. \(\frac{{1 - {3^{1000}}}}{6}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_n} = {( - 1)^n}\)
+ Với n lẻ ta có \({u_n} = - 1\)
+ Với n chẵn ta có: \({u_n} = 1\)
Vậy \({u_n} \in \left\{ { - 1;1} \right\}\)
Chọn đáp án A.
A. 2
B. 4
C. 1
D. Không có
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}} = \dfrac{{{n^2} + 2n + 1 + n + 6}}{{n + 1}} = n + 2 + \dfrac{5}{{n + 1}}\)
Nhận thấy chỉ có \({u_4}\) nhận giá trị nguyên
Chọn đáp án C.
A. Dãy số tăng, bị chặn
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
D. Cả A, B, C đều sai
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng
\({u_n} < 1 + \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \ldots + \dfrac{1}{{\left( {n - 1} \right)n}} = 2 - \dfrac{1}{n}\)
\( \Rightarrow 1 < {u_n} < 2 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) bị chặn
Chọn đáp án A.
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A,B,C đều sai
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = n + 3 - \dfrac{1}{{n + 2}} - n - 2 + \dfrac{1}{{n + 1}} \)\(\,= 1 + \dfrac{1}{{n + 1}} - \dfrac{1}{{n + 2}} \)\(\,= 1 + \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
Dãy số tăng
Ta có: \({u_n} > \dfrac{{{n^2} + 2n + 1}}{{n + 1}} = n + 1 \ge 2 \to \left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Chọn đáp án B.
A. \({u_n} = 1\)
B. \({u_n} = - 1\)
C. \({u_n} = {( - 1)^n}\)
D. \({u_n} = {( - 1)^{n + 1}}\)
Câu trả lời của bạn
Số hạng tổng quát của dãy số là \({u_n} = {( - 1)^n}\)
Chọn đáp án C.
A. \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{n}\)
B. \({u_n} = \dfrac{n}{{n + 1}}\)
C. \({u_n} = \dfrac{{ 1}}{n}\)
D. \({u_n} = \dfrac{{{n^2} - n}}{{n + 1}}\)
Câu trả lời của bạn
\({u_1} = \dfrac{1}{{1 + 1}};{u_2} = \dfrac{2}{{2 + 1}};{u_3} = \dfrac{3}{{3 + 1}};...\)
Chọn đáp án B.
A. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng không giảm
B. Dãy số giảm
D. Cả A, B, C đều sai
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_n} = \dfrac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{{2^{n + 1}}}} = \dfrac{{{{3.3}^n} - 1}}{{{{2.2}^n}}}\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{{{3.3}^n} - 1}}{{{{2.2}^n}}} - \dfrac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}} \)\(\,= \dfrac{{{{3.3}^n} - 1 - 2\left( {{3^n} - 1} \right)}}{{{{2.2}^n}}} = \dfrac{{{3^n} + 1}}{{{{2.2}^n}}} > 0\)
Dãy số tăng.
Chọn đáp án A.
A. Tăng
C. Không tăng, không giảm
B. Giảm
D. A, B, C đều sai
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_2} = \sqrt[3]{2}\\{u_3} = \sqrt[3]{3}\\{u_4} = \sqrt[3]{4}\end{array} \right. \Rightarrow {u_n} = \sqrt[3]{n}\)
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \sqrt[3]{{n + 1}} - \sqrt[3]{n}>0 \)
Dãy số tăng.
Chọn đáp án A.
A. \({u_n} = \dfrac{5}{2} - n\)
B. \({u_n} = \dfrac{5}{2} - 2n\)
C. \({u_n} = 2n - \dfrac{5}{2}\)
D. \({u_n} = n - \dfrac{5}{2}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\{u_2} = - \dfrac{3}{2}\\{u_3} = - \dfrac{7}{2}\end{array} \right.\quad \Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{2} - 2(n - 1)\)
Chọn đáp án B.
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(0 < {u_n} < \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \ldots + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 1 - \dfrac{1}{{n + 1}} < 1\)
Dãy số bị chặn.
Chọn đáp án A.
A. Năm số hạng đầu của dãy là: \( - 1;\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 1}}{3};\dfrac{{ - 1}}{4};\dfrac{{ - 1}}{5}\)
B. Bị chặn trên bởi số M = -1
C. Bị chặn trên bởi số M = 0
D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m = -1
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{u_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \dfrac{1}{n}} \right) = 0\)
Dãy số bị chặn trên bởi \(M=0\)
Chọn đáp án B.
A. \({u_n} = 1 + \dfrac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
C. \({u_n} = 1 + \dfrac{{n(n - 1)(2n - 1)}}{6}\)
B. \({u_n} = 1 + \dfrac{{n(n - 1)(2n + 2)}}{6}\)
D. \({u_n} = 1 + \dfrac{{n(n + 1)(2n - 2)}}{6}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_2} = 2\\{u_3} = 6\\{u_4} = 15\end{array} \right.\quad \Rightarrow {u_n} = 1 + \dfrac{{n(n - 1)(2n - 1)}}{6}\)
Chọn đáp án C.
A. Không có giá trị nào của \(x\)
C. \(x = \pm 1\)
B. \(x = \pm 2\)
D. \(x = 0\)
Câu trả lời của bạn
Theo yêu cầu bài toán: \(\dfrac{{1 - x + 1 + x}}{2} = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Chọn đáp án C.
A. 1,6
B. 6
C. 0,5
D. 0,6
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_7} = {u_1} + d\left( {7 - 1} \right) = - 0,1 + 0,1.6 = 0,5\)
Chọn đáp án C.
A. Dãy số \(\dfrac{{ - 1}}{2};0;\dfrac{1}{2};1;\dfrac{3}{2};...\)là một cấp số cộng: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{{ - 1}}{2}\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
B. Dãy số \(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{{{2^2}}};\dfrac{1}{{{2^3}}};...\) là một cấp số cộng: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\d = \dfrac{1}{2};n = 3\end{array} \right.\)
C. Dãy số \( - 2; - 2; - 2; - 2;...\) là một cấp số cộng: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 2\\d = 0\end{array} \right.\)
D. Dãy số \(0,1;\,\,\,0,01;\,\,\,0,001;\,\,\,0,0001;...\) không phải là một cấp số cộng.
Câu trả lời của bạn
Khẳng định sai là Dãy số \(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{{{2^2}}};\dfrac{1}{{{2^3}}};...\) là một cấp số cộng: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\d = \dfrac{1}{2};n = 3\end{array} \right.\)
Chọn đáp án B.
A. \(d = 5\)
B. \(d = 7\)
C. \(d = 6\)
D. \(d = 8\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_n} = {u_1} + d\left( {n - 1} \right)\)
Khi đó ta có: \({u_6} = {u_1} + d\left( {6 - 1} \right) \Leftrightarrow 5d = {u_6} - {u_1} = 30 \Leftrightarrow d = 6\)
Chọn đáp án C.
A. \(S = 673015\)
B. \(S = 6734134\)
C. \(S = 673044\)
D. \(S = 2023736\)
Câu trả lời của bạn
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\2{u_1} + 8d = 26\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\)
Khi đó \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}\)
\(= {u_1} + {u_1} + 3d + {u_1} + 6d + \ldots + {u_1} + 2010d\)
\( = 671{u_1} + 3d\left( {1 + 2 + 3 + \ldots + 670} \right) \)
\(= 671.1 + 3.3.\dfrac{{670.671}}{2}\)
\(=2023736\)
Chọn đáp án D
A. 1, 5, 6, 8
B. 2, 4, 6, 8
C. 1, 4, 6, 9
D. 1, 4, 7, 8
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + d\\{u_3} = {u_1} + 2d\\{u_4} = {u_1} + 3d\end{array} \right.\)
Theo giải thiết ra có: \(\left\{ \begin{array}{l}4{u_1} + 6d = 20\\{u_1}^2 + {\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 2d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 3d} \right)^2} = 120\end{array} \right.\)
Giải hệ có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = 2\end{array} \right.\)
Chọn đáp án B.
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6
B. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là:0,5
C. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6
D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({u_n} = - 0,1 + n - 1 = n - 1,1\)
Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6
Chọn đáp án C.
A. \(S = \dfrac{9}{{246}}\)
B. \(S = \dfrac{4}{{23}}\)
C. \(S = 123\)
D. \(S = \dfrac{{49}}{{246}}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({S_n} = \dfrac{{2{u_1} + d\left( {n - 1} \right)}}{2}.n\)
\(\Rightarrow {S_{100}} = \dfrac{{2\left( 1 \right) + d.\left( {100 - 1} \right)}}{2}.100 = 24850\)
Khi đó ta có:
\(S = \dfrac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \dfrac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \dfrac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}} \)
\( = \dfrac{1}{{{u_1}\left( {{u_1} + d} \right)}} + \dfrac{1}{{{u_2}\left( {{u_2} + d} \right)}} + ... + \dfrac{1}{{{u_{49}}\left( {{u_{49}} + d} \right)}}\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{{{u_k}\left( {{u_k} + d} \right)}} = \dfrac{1}{d}.\dfrac{d}{{{u_k}\left( {{u_k} + d} \right)}}\) \( = \dfrac{1}{d}.\dfrac{{\left( {{u_k} + d} \right) - {u_k}}}{{{u_k}\left( {{u_k} + d} \right)}}\)\( = \dfrac{1}{d}\left( {\dfrac{{{u_k} + d}}{{{u_k}\left( {{u_k} + d} \right)}} - \dfrac{{{u_k}}}{{{u_k}\left( {{u_k} + d} \right)}}} \right)\) \( = \dfrac{1}{d}\left( {\dfrac{1}{{{u_k}}} - \dfrac{1}{{{u_k} + d}}} \right)\) \( = \dfrac{1}{d}\left( {\dfrac{1}{{{u_k}}} - \dfrac{1}{{{u_{k + 1}}}}} \right)\)
Suy ra:
\(S= \dfrac{1}{d}\left( {\dfrac{1}{{{u_1}}} - \dfrac{1}{{{u_2}}} + \dfrac{1}{{{u_2}}} - \dfrac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \dfrac{1}{{{u_{49}}}} - \dfrac{1}{{{u_{50}}}}} \right)\)
\( \;\;\;= \dfrac{1}{5}\left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{{1 + 5.49}}} \right) = \dfrac{{49}}{{246}}\)
Chọn đáp án D.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *