Nội dung bài Một số phương trình lượng giác thường gặp sẽ giới thiệu đên các em dạng và phương pháp giải các Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác, Phương trình bậc hai đối với sin-cos-tan-cot, Phương trình bậc nhất với sinx và cosx. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải các em sẽ nắm vững được nội dung phần này, tạo nên tảng để giải các phương trình lượng giác từ cơ bản đến nâng cao.
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng \(at + b = 0\) trong đó a,b là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\)và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ: \(2\sin x - 1 = 0\,;\,\,\,c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0;\,\,\,3\tan x - 1 = 0;\,\,\sqrt 3 \cot x + 1 = 0\)
b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\end{array}\)
Đặt:
\(t = \sin x{\rm{ ( - 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\)
\(\begin{array}{l}t = \cos x{\rm{ ( - 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\\t = \tan x\\t = \cot x\end{array}\)
\(a\sin x + b\cos x = c{\rm{ (1)}}\)
Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)
Phương trình trở thành:
\(\sin x\sin \varphi + \cos x\cos \varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Đặt \(\cos \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.
Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)
Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi + cosxsin\varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
· Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) không
· Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Phương trình trở thành:
\(a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c \Leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0{\rm{ (2)}}\)
Giải (2) theo t, tìm được t thay vào \(t = \tan \frac{x}{2}\) suy ra x
Nếu \(a \ne 0\) chia 2 vế cho a rồi ta đặt \(\tan \alpha = \frac{b}{a}\) \(\left( { - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\)
Phương trình trở thành: \(\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{c{\rm{os}}\alpha }}\cos x = \frac{c}{a}\)
\( \Leftrightarrow c{\rm{os}}\alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha \)
Đặt \(\sin \varphi = \frac{c}{a}\cos \alpha \) ta được phương trình lượng giác cơ bản \(\sin (x + \alpha ) = \sin \varphi \).
Giải các phương trình sau:
a) \(2\sin x - 1 = 0\,.\)
b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0.\)
c) \(3\tan x - 1 = 0.\)
d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.\)
e) \(2\cos x - \sin 2x = 0\)
a) \(2\sin x - 1 = 0\, \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)
\( \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(3\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)\)
d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
e) \(\cos x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \cos x - 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\1 - 2\sin x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + l\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)
Giải các phương trình sau:
a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\)
b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\)
c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x - 3 = 0\)
d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)
a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0(1)\)
Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (1) trở thành:
\(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Với t=1, ta được \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\left( 2 \right)\)
Đặt \(t = c{\rm{os}}x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (2) trở thành:
\({t^2} + 3t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được \(c{\rm{os}}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \arccos \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 7\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\3\cos 2x - 7 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
*) Giải phương trình:\(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
*) Giải phương trình: \(3\cos 2x - 7 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)
Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x - 7 = 0\) vô nghiệm.
Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)
Điều kiện: \(\cos x \ne 0\) (*)
(3)\( \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0\)
Đặt \(t = \tan x\)
Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t - \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)
+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
+ Với \(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \),
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)
b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \)
c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)
a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)
(1)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (1) là \(x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)
Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)
Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\)
Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Phương trình (2) trở thành: \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t - 1 + {t^2} = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t + 3 + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\end{array}\)
+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
+ Với\(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\) (3)
(3)\( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x = 3 + \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos 2x = 3 - \sqrt 2 \)
Điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} \ge {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow 5 - 2\sqrt 2 \ge 11 - 6\sqrt 2 \) (không thỏa)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về một số phương trình lượng giác thường gặp. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số lượng giác mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình lượng giác, sự đơn điệu của hàm số lượng giác,....các em cần tìm hiểu thêm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Giải phương trình \(2\cos x - \sqrt 3 = 0.\)
Giải phương tình \(\sqrt 3 \tan 3x - 3 = 0.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng về nghiệm của phương trình \(2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 1.25 trang 37 SBT Toán 11
Bài tập 1.26 trang 37 SBT Toán 11
Bài tập 1.27 trang 37 SBT Toán 11
Bài tập 1.28 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.29 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.30 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.31 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.32 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.33 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.34 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.35 trang 39 SBT Toán 11
Bài tập 1.38 trang 39 SBT Toán 11
Bài tập 1.36 trang 39 SBT Toán 11
Bài tập 1.37 trang 39 SBT Toán 11
Bài tập 27 trang 41 SGK Toán 11 NC
Bài tập 28 trang 41 SGK Toán 11 NC
Bài tập 29 trang 41 SGK Toán 11 NC
Bài tập 30 trang 41 SGK Toán 11 NC
Bài tập 31 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 32 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 33 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 34 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 35 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 36 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 37 trang 46 SGK Toán 11 NC
Bài tập 38 trang 46 SGK Toán 11 NC
Bài tập 39 trang 46 SGK Toán 11
Bài tập 40 trang 46 SGK Toán 11 NC
Bài tập 41 trang 47 SGK Toán 11 NC
Bài tập 42 trang 47 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Giải phương trình \(2\cos x - \sqrt 3 = 0.\)
Giải phương tình \(\sqrt 3 \tan 3x - 3 = 0.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng về nghiệm của phương trình \(2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0.\)
Giải phương trình \(\sqrt 3 {\tan ^2}x - (1 + \sqrt 3 )\tan x + 1 = 0.\)
Giải phương trình \(3\cos x + 4\sin x = - 5.\)
Giải phương trình \(5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13.\)
Giải phương trình \(2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x.\cos x - {\cos ^2}x = 4.\)
Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình \(\cos x.\cos 5x = \cos 2x.cos4x.\)
Giải phương trình \(\sin x + \sin 2x = \cos x + \cos 2x.\)
Giải phương tình \(\tan x + \tan 2x = \sin 3x.\cos x.\)
Giải phương trình: \(\small sin^2x - sinx = 0\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\small 2cos^2x - 3cosx + 1 = 0\);
b) \(\small 2sin2x + \sqrt{2}sin4x = 0\).
Giải các phương trình sau:
a) \(sin^2(\frac{x}{2}) - 2cos(\frac{x}{2}) + 2 = 0\);
b) \(\small 8cos^2x + 2sinx - 7 = 0\);
c) \(\small 2tan^2x + 3tanx + 1 = 0\);
d) \(\small tanx -2cotx + 1 = 0\).
Giải các phương trình sau:
a) \(\small 2sin^ 2x + sinxcosx - 3cos^2x = 0\)
b) \(\small 3sin^2x - 4sinxcosx + 5cos^2x = 2\)
c) \(\small 3sin^2x - sin2x + 2cos^2x = \frac{1}{2}\)
d) \(\small 2cos^2x -3\sqrt{3}sin2x -4sin^2x = -4\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\small cosx - \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}\)
b) \(\small 3sin3x - 4cos3x = 5\)
c) \(\small 2sin2x + 2cos2x -\sqrt{2} = 0\)
d) \(\small 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0\)
Giải phương trình:
a. \(\small tan(2x + 1) tan(3x - 1) = 1\)
b. \(\small tanx + tan(x + \frac{\pi }{4}) = 1\)
Giải các phương trình sau
a) cos2x−sinx−1 = 0
b) cosxcos2x = 1+sinxsin2x
c) 4sinx.cosx.cos2x = −1
d) tanx = 3cotx
Giải các phương trình
a) 3cos2x−2sinx+2 = 0
b) 5sin2x+3cosx+3 = 0
c) sin6x+cos6x = 4cos22x
d) \( - \frac{1}{4} + {\sin ^2}x = {\cos ^4}x\)
Giải các phương trình sau
a) 2tanx−3cotx−2 = 0
b) cos2x = 3sin2x+3
c) cotx−cot2x = tanx+1
Giải các phương trình sau
a) cos2x+2sinxcosx+5sin2x = 2
b) 3cos2x−2sin2x+sin2x = 1
c) 4cos2x−3sinxcosx+3sin2x = 1
Giải các phương trình sau
a) 2cosx−sinx = 2
b) sin5x+cos5x = −1
c) 8cos4x−4cos2x+sin4x−4 = 0
d) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x + \frac{1}{2}\sin 4x = 0\)
Giải các phương trình sau
a) 1+sinx−cosx−sin2x + 2cos2x = 0
b) \(\sin x - \frac{1}{{\sin x}} = {\sin ^2}x - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
c) cosxtan3x = sin5x
d) 2tan2x+3tanx2cot2x+3cotx+2 = 0
Giải phương trình \(\cot x - \tan x + 4\sin 2x = \frac{2}{{\sin 2x}}\)
Nghiệm của phương trình \(3\cot x - \sqrt 3 = 0\) là
A. \(\frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
B. \(\frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
C. \(\frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
D. \(\frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k 2\in Z} \right)\)
Nghiệm của phương trình sau sin4x−cos4x = 0 là
A. \(\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\)
B. \(\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in Z\)
C. \(\frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},k \in Z\)
D. \(\frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\)
Cho phương trình \(4{\cos ^2}2x + 16\sin x\cos x - 7 = 0\) (1)
Xét các giá trị :
(I) \(\frac{\pi }{{12}} + k\pi \)
(II) \(\frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
(III) \(\frac{\pi }{{12}} + k\pi \)
Trong các giá trị trên giá trị nào là nghiệm của phương trình (1) ?
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II)
C. Chỉ (III)
D. (II) và (III)
Nghiệm của phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x là
A. \({\frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z}\)
B. \({-\frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z}\)
C. \({k\frac{\pi }{4},k \in Z}\)
D. \({k\frac{\pi }{3},k \in Z}\)
Cho phương trình \(\sqrt 3 \cos x + \sin x = 2{\rm{(*)}}\)
Xét các giá trị
(I) \(\frac{\pi }{2} + k2\pi \)
(II) \(\frac{\pi }{3} + k2\pi \)
(III) \(\frac{\pi }{6} + k2\pi \)
(\(k\in Z\))
Trong các giá trị trên, giá trị nào à nghiệm của phương trình (*)?
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II)
C. Chỉ (III)
D. (I) và (III)
Nghiệm của phương trình 3tan2x+6cotx = −tanx là
A. \(k\frac{\pi }{4},k \in Z\)
B. \( \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in Z\)
C. \(\frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\)
D. \(k\frac{\pi }{2},k \in Z\)
Nghiệm của phương trình 2sinx = 3cotx là
A. \(\frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z\)
B. \( \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z\)
C. \(\frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in Z\)
D. \( \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Giải phương trình \(\frac{cosx}{1+sinx}=1-sinx\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện: \(sin\neq -1\)
PT tương đương với \(cosx=cos^2x\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} cosx=0\\ cosx=1 \end{matrix}\)
Hay \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} sinx=1\\ sinx=-1(l)\\ cosx=1 \end{matrix}\)
Vậy phương trình có các nghiệm là: \(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;x=k2\pi,(k\in Z)\)
Giải phương trình \(\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})sin2x+sin^2x-\sqrt{3}cos^2x+sinx+cosx=0\)
Câu trả lời của bạn
\((sinx+cosx)\left (sinx-\sqrt{3}cosx+1 \right )=0\)
\(tanx=-1, sin\left ( x-\frac{\pi }{3} \right )= sin\left ( -\frac{\pi }{6} \right )\)
\(\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi,x=\frac{\pi }{6}+k2\pi, x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi\)
Giải các phương trình \((1+\sin 2x)(\cos x-\sin x)=1-2\sin ^{2}x\)
Câu trả lời của bạn
PT \(\Leftrightarrow (\sin x+\cos x)^{2}.(\cos x-\sin x)=\cos 2x\)
\(\Leftrightarrow (\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)(\sin x+\cos x)=\cos 2x\)
\(\Leftrightarrow \cos2x(\sin x+\cos x)-\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow \cos2x(\sin x+\cos x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow \lbrack\begin{matrix}\cos 2x=0 \\\sin x+\cos x=1 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix}2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \sin (x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix}2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4} +k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix}x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\ x=2k\pi \\x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{matrix}k\in Z\)
Giải phương trình lượng giác sau: \(2cos^2\left ( \frac{\pi }{4}-2x \right )+\sqrt{3}cos4x=4cos^2x-1\)
Câu trả lời của bạn
Phương trình ban đầu tương đương: \(1+cos\left ( \frac{\pi }{2}-4x \right )+\sqrt{3}cos4x=cos^2x-1\)
\(\Leftrightarrow sin4x+\sqrt{3}cos4x=4cos^2x-1\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}sin4x+\frac{\sqrt{3}}{1}cos4x=2cos^2x-1\)
\(\Leftrightarrow cos\left ( 4x-\frac{\pi }{4} \right )=cos2x\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{36}+\frac{k\pi}{3} \end{matrix}\)
Giải phương trình \((\sqrt{3-1})sinxcosx-(\sqrt{3+1})cos^2x=sinx-cosx-1\)
Câu trả lời của bạn
\(PT\Leftrightarrow (sinx-cosx)(sinx+\sqrt{3}cosx-1)=0\)
Giải được từng phương trình \(sinx-cosx=0\) và \(sinx+\sqrt{3}cosx=1\)
Giải phương trình \(cosx + cos3x = 2cos^2x\)
Câu trả lời của bạn
Phương trình đã cho tương đương với \(2cosx.cosx = 2cos^2x \Leftrightarrow 2cosx(cos2x - cosx) = 0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} cosx=0\\ cos2x=cosx \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\frac{2\pi }{3} \end{matrix}\)
Giải phương trình: \(sinx-4cosx+sin3x=0\)
Câu trả lời của bạn
PT đã cho
\(\Leftrightarrow (sinx+sin3x)-4cosx=0\Leftrightarrow 2sin2xcosx-4cosx=0\)
\(\Leftrightarrow 2cosx(sin2x-2)=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} cosx=0\\ sin2x=2\ \ (vn) \end{matrix}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi,k\in Z\)
KL.PT có nghiệm \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi,k\in Z\)
Giải phương trình \(3+\frac{sin5x}{sinx}+\frac{cos5x}{cosx}=2(sin^4x+cos^4x)\)
Câu trả lời của bạn
Điều kiện \(sin2x\neq 0\). Ta có \(\frac{sin5x}{sinx}+\frac{cos5x}{cosx}=\frac{2sin6x}{sin2x}\)
\(=\frac{2(3sin2x-4sin^32x)}{sin2x}=6-8sin^32x=4cos4x+2\)
Ta có \(2(sin^4x+cos^4x)=2(1-2sin^2x.cos^2x)=\frac{3+cos4x}{2}\)
Phương trình đã cho tương đương với \(cosx4x=-1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\) (thỏa điều kiện)
Giải phương trình: \(cosx + 2 cos^2\frac{x}{3}-3=0\)
Câu trả lời của bạn
\(cosx+2cosx^2\frac{x}{3}-3\Leftrightarrow 4cos^3\frac{x}{3}-3cos\frac{x}{3}+2cos^2\frac{x}{3}-3=0\)
\(\Leftrightarrow (cos\frac{x}{3}-1)(4cos^2\frac{x}{3}+6cos\frac{x}{3}+3)=0\)
\(\Leftrightarrow cos\frac{x}{3}=1\Leftrightarrow \frac{x}{3}=k2\pi \Leftrightarrow x=6k\pi , k\in Z\)
Giải phương trình: \(2sin^2x+\sqrt{3}sin2x+2=0\)
Câu trả lời của bạn
\(2sin^2x+\sqrt{3}sin2x-2=0\Leftrightarrow \sqrt{3}sin2x-cos2x=1\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x\)
\(\Leftrightarrow sin(2x-\frac{\pi }{6})=sin\frac{\pi }{6}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}\)
2 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *