Giải các phương trình sau
a) 1+sinx−cosx−sin2x + 2cos2x = 0
b) \(\sin x - \frac{1}{{\sin x}} = {\sin ^2}x - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
c) cosxtan3x = sin5x
d) 2tan2x+3tanx2cot2x+3cotx+2 = 0
a) 1+sinx−cosx - sin2x+2cos2x = 0
⇔ (1−sin2x)+(sinx−cosx)+2cos2x = 0
⇔ (sinx−cosx)2+(sinx−cosx) + 2(cos2x-sin2x) = 0
⇔ (sinx−cosx)[sinx−cosx+1−2(cosx+sinx)] = 0
⇔ (sinx−cosx)(1−sinx−3cosx) = 0
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x - \cos x = 0}\\
{1 - \sin x - 3\cos x = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x = \cos x}\\
{\sin x + 3\cos x = 1}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\tan x = 1{\rm{(1)}}}\\
{\frac{1}{{\sqrt {10} }}\sin x + \frac{3}{{\sqrt {10} }}\cos x = \frac{1}{{\sqrt {10} }}{\rm{(2)}}}
\end{array}} \right.\\
{\rm{(1)}} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z
\end{array}\)
Giải phương trình (2) ta đặt \[\frac{1}{{\sqrt {10} }} = \sin \alpha \) và \[\frac{3}{{\sqrt {10} }} = \cos \alpha \) ta được \[\cos \alpha \cos x + \sin \alpha \sin x = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\\
\Leftrightarrow x - \alpha = \pm \arccos \frac{1}{{\sqrt {10} }},k \in Z\\
\Leftrightarrow x = \alpha \pm \arccos \frac{1}{{\sqrt {10} }},k \in Z
\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z\) và \(x = \alpha \pm \arccos \frac{1}{{\sqrt {10} }},k \in Z\).
b) ĐKXĐ: sinx ≠ 0
Ta có: \(\sin x - \frac{1}{{\sin x}} = {\sin ^2}x - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow (\sin x - {\sin ^2}x) + \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{\sin x}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sin x(1 - \sin x) + \frac{{1 - \sin x}}{{{{\sin }^2}x}} = 0\\
\Leftrightarrow (1 - \sin x)({\sin ^3}x + 1) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\sin x = - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z\\
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z
\end{array}\)
c) ĐKXĐ: cos3x ≠ 0
\( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3},k \in Z\)
Ta có: cosxtan3x = sin5x
\( \Leftrightarrow \cos x\frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}} = \sin 5x\)
⇔ cosxsin3x = sin5xcos3x
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sin 4x + \sin 2x) = \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x)\)
⇔ sin8x = sin4x
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{8x = 4x + k2\pi ,k \in Z}\\
{8x = \pi - 4x + k2\pi ,k \in Z}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\frac{\pi }{2},k \in Z}\\
{x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6},k \in Z}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Kết hợp với ĐKXĐ ta được nghiệm của phương trình là x = kπ, k∈Z và \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{6},k \in Z\).
d) ĐKXĐ: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0.
Ta có: 2tan2x+3tanx+2cot2x+3cotx+2 = 0
⇔ (2tan2x+2cot2x)+(3tanx+3cotx)+2 = 0
⇔ 2[(tanx+cotx)2−2tanxcotx]+3(tanx+cotx)+2=0
⇔2[(tanx+cotx)2−2]+3(tanx+cotx)+2 = 0
Đặt tanx+cotx = t ta được phương trình 2t2+3t−2 = 0
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = - 2}\\
{t = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\)
Với t = −2 ta có tanx+cotx = −2
⇒ tanx+1tanx = −2
⇒ tan2x+1 = −2tanx
⇒ tanx = −1
\( \Rightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z\) (thỏa mãn)
Với \(t=\frac{1}{2}\) ta có \(\tan x + \cot x = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \tan x + \frac{1}{{\tan x}} = \frac{1}{2}\)
⇒ 2tan2x+2 = tanx (Vô nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z\).
-- Mod Toán 11