Giải các phương trình sau
a) cos2x+2sinxcosx+5sin2x = 2
b) 3cos2x−2sin2x+sin2x = 1
c) 4cos2x−3sinxcosx+3sin2x = 1
a)Thấy rằng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được
\(\begin{array}{l}
1 + 2\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 5\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow 1 + 2\tan x + 5{\tan ^2}x = 2(1 + {\tan ^2}x)\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 2\tan x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\tan x = - 1}\\
{\tan x = \frac{1}{3}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi ,k \in Z\\
x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi ,k \in Z
\end{array} \right.
\end{array}\)
b) Với cosx = 0 ta thấy VT = VP = 1. Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\)
Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được
\(\begin{array}{l}
3 - 4\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow 3 - 4\tan x + {\tan ^2}x = 1 + {\tan ^2}x\\
\Leftrightarrow 4\tan x = 2\\
\Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{2} + k\pi ,k \in Z
\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\) và \(x = \arctan \frac{1}{2} + k\pi ,k \in Z\).
c) Thấy rằng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
\(\begin{array}{l}
4 - 3\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 3\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow 4 - 3\tan x + 3{\tan ^2}x = 1 + {\tan ^2}x\\
\Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - 3\tan x + 3 = 0\,\,\,\left( {vn} \right)
\end{array}\)
Vậy phương trình vô nghiệm.
-- Mod Toán 11