Ở lớp 9, chúng ta đã biết về các hệ thức lượng trong tam giác vuông, bài học này cho chúng ta kiến thức về Các hệ thức lượng trong tam giác thường, liệu chúng có khác gì kiến thức lớp dưới, và thế nào là giải tam giác?
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
Ta đã biết rằng: \(BC^2=AB^2+AC^2\)
hay \(\vec {BC}^2=\vec {AB}^2+\vec {AC}^2\)
Chứng minh ngắn gọn theo tích vô hướng của hai vectơ ở bài học trước ta có được điều trên.
Trong tam giác ABC, gọi \(Ab=c;AC=b;BC=a\), ta có:
\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)
\(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\)
\(c^2=a^2+b^2-2ab.cosC\)
\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
\(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
Cho hình vẽ:
Ta dễ dàng nhận thấy rằng:
\(a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC\)
Chứng minh tương tự với tam giác thường, hệ thức trên vẫn đúng!
Với mọi tam giác ABC, ta có:
\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\)
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM.
Gọi \(m_a;m_b;m_c\) lần lượt là các đường trung tuyến ứng với các cạnh a, b, c. Khi đó:
\(m_{a}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
\(m_{b}^{2}=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
\(m_{c}^{2}=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\)
Ngoài kiến thức tính diện tích đã học ở cấp dưới là bằng nửa tích cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng, ta còn được biết thêm với các công thức sau:
Với tam giác ABC, kí hiệu \(h_a;h_b;h_c\) lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC, \(p=\frac{1}{2}(a+b+c)\) là nửa chu vi của tam giác, ta có các công thức tính diện tích S của tam giác ABC như sau:
\(S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c\)
\(S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}ac.sinB=\frac{1}{2}bc.sinA\)
\(S=\frac{abc}{4R}\)
\(S=pr\)
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác dựa trên điều kiện cho trước.
Ví dụ: Cho hình vẽ sau:
Hãy giải tam giác ABC.
Ta có:
\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)
\(\Leftrightarrow 6^2=5^2+3,61^2-2.5.3,61.cosA\)
\(\Leftrightarrow 36=25+13,03-36,1.cosA\)
\(\Rightarrow cosA=0,056\) \(\Rightarrow \widehat{A}\approx 86,77^o\)
Tương tự:
\(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\)
\(\Leftrightarrow 3,61^2=6^2+5^2-2.6.5.cosB\)
\(\Rightarrow cosB=0,779\) \(\Rightarrow \widehat{B}\approx 36,92^o\)
\(\Rightarrow \widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}\approx 56,3^o\)
Bài 1: Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^o, \widehat{B}=80^o,a=6\). Tính hai cạnh a và c.
Hướng dẫn:
Dễ dàng tìm được \(\widehat{C}=180^o-60^o-80^o=40^o\)
Ta sẽ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R:
\(\frac{a}{sinA}=2R=\frac{6}{sin60^o}=4\sqrt{3}\)
Vậy: \(\frac{b}{sinB}=4\sqrt{3}\Rightarrow b=sinB.4\sqrt{3}=6,823\)
\(\frac{c}{sinC}=4\sqrt{3}\Rightarrow c=sinC.4\sqrt{3}=4,45\)
Bài 2: Tam giác ABC có \(a=10,b=11,c=14\). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính độ dài AM.
Hướng dẫn:
Ta có: \(AM^2=\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}=\frac{11^2+14^2}{2}-\frac{10^2}{4}=11,55\)
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c lần lượt là 5, 7 ,10. Cạnh của hình vuông có diện tích bằng diện tích tam giác ABC là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức Hê rông tính diện tích, ta có:
\(p=\frac{a+b+c}{2}=11\)
\(S=\sqrt{11(11-5)(11-10)(11-7)}=16,24(dvdt)\)
Vậy cạnh của hình vuông có cùng diện tích trên là:
\(a=\sqrt{S}=4,03\)
Bài 2: Cho hình vẽ sau, biết \(AD=5, BD=15\) và các góc cho trước. Tính độ dài BC.
Hướng dẫn:
Xét tam giác ADB vuông tại D, ta có: \(AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=5\sqrt{10}\)
Ta có: \(tanABD=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}\Rightarrow \widehat{ABD}=18,43^o\)
\(\Rightarrow \widehat{ABC}=90^o-\widehat{ABD}=71,57^o\)
\(\Rightarrow \widehat{ACB}=180^o-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=63,43^o\)
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:
\(R=\frac{AB}{2sinACB}=8,84\)
Mặc khác, \(R=\frac{BC}{2sinBAC}=8,84\Rightarrow BC=2R.sinBAC=12,5\)
Ở lớp 9, chúng ta đã biết về các hệ thức lượng trong tam giác vuông, bài học này cho chúng ta kiến thức về Các hệ thức lượng trong tam giác thường, liệu chúng có khác gì kiến thức lớp dưới, và thế nào là giải tam giác?
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Diện tích tam giác ABC có độ dài các cạnh là 6, 8, 10 là:
Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c lần lượt là 10, 15, 18. Độ dài đường trung tuyến \(b_m\) bằng:
Cho đường tròn (O;3) nội tiếp tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng tam giác BDE đều (như hình vẽ). Diện tích tam giác ABC là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 2 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 3 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 4 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 5 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 6 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 7 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 8 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 9 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 10 trang 60 SGK Hình học 10
Bài tập 11 trang 60 SGK Hình học 10
Bài tập 2.29 trang 101 SBT Hình học 10
Bài tập 2.30 trang 101 SBT Hình học 10
Bài tập 2.31 trang 101 SBT Hình học 10
Bài tập 2.32 trang 101 SBT Hình học 10
Bài tập 2.33 trang 101 SBT Hình học 10
Bài tập 2.34 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.35 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.36 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.37 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.38 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.39 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.40 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.41 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.42 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.43 trang 103 SBT Hình học 10
Bài tập 2.44 trang 103 SBT Hình học 10
Bài tập 15 trang 64 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 16 trang 64 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 17 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 18 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 19 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 20 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 21 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 22 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 23 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 24 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 25 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 26 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 27 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 28 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 29 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 30 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 31 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 32 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 33 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 34 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 35 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 36 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 37 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 38 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Diện tích tam giác ABC có độ dài các cạnh là 6, 8, 10 là:
Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c lần lượt là 10, 15, 18. Độ dài đường trung tuyến \(b_m\) bằng:
Cho đường tròn (O;3) nội tiếp tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng tam giác BDE đều (như hình vẽ). Diện tích tam giác ABC là:
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh a, b, c lần lượt là 5, 6, 7. G là trọng tâm của tam giác.(như hình vẽ) Độ lớn CG là:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng AB=5, AC=12. Tích của bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác là:
Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, góc A = 120o. Độ dài cạnh BC là:
Cho tam giác ABC có a = 3, b = 5, c = 6. Giá trị của mc bằng
Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh a. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng.
Cho tam giác ABC có AC = 6, BC = 8. ha ,hb lần lượt là độ dài các đường cao đi qua các đỉnh A, B. Tỉ số ha/hb bằng
Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 7. Diện tích của tam giác ABC bằng
Cho tứ giác lồi ABCD có đường chéo AC = x, đường chéo BD = y và góc tạo bởi AC và BD là α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
a) Chứng minh rằng \(S = \frac{1}{2}xy\sin \alpha \)
b) Nêu kết quả trong trường hợp AC vuông góc với BD.
Cho tứ giác lồi ABCD. Dựng hình bình hành ABDC'. Chứng minh rằng tứ giác ABCD và tam giác ACC' có diện tích bằng nhau.
Cho tam giác ABC biết cạnh c = 35cm, góc A = 40ο, góc C = 120ο. Tính các cạnh a, b và góc B
Cho tam giác ABC biết các cạnh a = 7cm, b = 23cm, góc C = 130ο. Tính cạnh c, góc A, góc B
Cho tứ giác ABC biết a = 14cm, b = 18cm, c = 20cm. Tính góc A, B, C
Giả sử chúng ta cần đo chiều cao CD của một cái tháp với C là chân tháp, D là đỉnh tháp. Vì không thể đến chân tháp được nên từ hai điểm A, B có khoảng cách AB = 30 m sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng người ta đo được các góc CAD = 43ο, CBD = 67ο (h.2.18). Hãy tính chiều cao CD của tháp.
Khoảng cách từ A đến C không thể đo trực tiếp vì phải qua một đầm lầy nên người ta làm như sau: Xác định một điểm B có khoảng cách AB = 12m và đo được góc ACB = 37ο (H.2.19). Hãy tính khoảng cách AC biết rằng BC = 5 m.
Tam giác ABC có a = 12, b = 13, c = 15. Tính cosA và gócA.
Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, góc A = 600. Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài cạnh BC?
a) \(\sqrt {129} \);
b) 7;
c) 49;
d) \(\sqrt {69} \).
Hình 59 vẽ một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường. Bốn bạn An, Cường , Trí, Đức dự đoán khoảng cách từ B đến C như sau
An : 5km
Cường : 6km
Trí : 7km
Đức : 5,5km
Biết rằng khoảng cách từ A đến B là 3km, khoảng cách từ A đến C là 4km, góc BAC là 1200.
Hỏi dự đoán của bạn nào sát với thực tế nhất ?
Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau
a) Góc A nhọn khi và chỉ khi a2 < b2+c2;
a) Góc A tù khi và chỉ khi a2 > b2+c2;
a) Góc A vuông khi và chỉ khi a2 = b2+c2.
Tam giác ABC có \(\widehat A = {60^0},\widehat B = {45^0},b = 4\).
Tính hai cạnh a và c.
Cho tam giác ABC có góc A = 600, a = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức sinA = 2sinB.cosC thì ABC là tam giác cân
Hình 60 vẽ một chiếc tàu thủy đang neo đậu ở vị trí C trên biển và hai người ở các vị trí quan sát A và B cách nhau 500m. Họ đo được góc CAB bằng 870 và góc CBA bằng 620.
Tính các khoảng cách AC và BC.
Gọi H là trực tâm của tam giác không vuông ABC. Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB bằng nhau.
Tam giác ABC có a = 7,b = 8,c = 6. Tính ma
Tam giác ABC có a = 5, b = 4, c = 3. Lấy điểm D đối xứng với B qua C. Tính độ dài AD.
Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, BC = 5, BD = . Tính AC.
Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *