Tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn điều kiện b + c = 2a. Chứng minh rằng:
a) 2sin A = sin B + sin C;
b) \(\frac{2}{{{h_a}}} = \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}}\).
a) Theo định lý sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
Ta suy ra: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{{b + c}}{{\sin B + \sin C}} = \frac{{2a}}{{\sin B + \sin C}}\)
⇒ 2sin A = sin B + sin C
b) Đối với tam giác ABC ta có:
\(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}{h_c}.c = \frac{{abc}}{{4R}}\)
Ta suy ra \({h_c} = \frac{{ab}}{{2R}}\) . Tương tự ta có \({h_b} = \frac{{ac}}{{2R}},{h_c} = \frac{{bc}}{{2R}}\)
Do đó:
\(\frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = 2R\left( {\frac{1}{{ac}} + \frac{1}{{ab}}} \right) = 2R.\frac{{b + c}}{{abc}}\) mà b + c = 2a.
Nên \(\frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = 2R\left( {\frac{1}{{ac}} + \frac{1}{{ab}}} \right) = 2R.\frac{{b + c}}{{abc}} = \frac{{2R.2}}{{bc}} = \frac{2}{{{h_a}}}\)
Vậy \(\frac{2}{{{h_a}}} = \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}}\)
-- Mod Toán 10