Cùng nhau ôn tập lại chương Hình trụ - Hình nón - Hình Cầu một cách tổng quát nhất, qua đó giúp các em hình thành khái niệm về hình học không gian, nắm chắc kiến thức để lên các lớp trên.
a. Diện tích xung quanh hình trụ
Với bán kính đáy r và chiều cao h, ta có:
Diện tích xung quanh: \(S_{xq}=2\pi rh\)
Diện tích toàn phần: \(S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2\)
b. Thể tích hình trụ
Thể tích hình trụ được cho bởi công thức: \(V=Sh=\pi r^2h\)
a. Diện tích xung quanh của hình nón
Công thức: \(S_{xq}=\pi rl\)
Trong đó: r là bán kính của đáy; l là độ dài đường sinh
Vậy ta suy ra công thức diện tích toàn phần:
\(S_{tp}=S_{xq}+S_{day}=\pi rl+\pi r^2\)
b. Thể tích hình nón
Bằng thực nghiệm, ta có thể tích hình nón là: \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)
Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt
Ta có các công thức sau:
\(S_{xq}=\pi (r_1+r_2)l\)
\(V=\frac{1}{3}\pi h(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_1r_2)\)
a. Diện tích mặt cầu
Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới, ta có công thức sau:
\(S=4\pi R^2=\pi d^2\) (với R là bán kính, d là đường kính của mặt cầu)
b. Thể tích mặt cầu
Công thức tính thể tích mặt cầu:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
Bài 1: Hình trụ có chu vi đường tròn là \(20\pi cm\), chiều cao là \(4cm\). Thể tích hình trụ là:
Hướng dẫn: Từ chu vi của đường tròn, ta suy ra \(R=10 cm\); Vậy Thể tích là \(V=\pi R^2h=\pi.10^2.4=400 \pi (cm^3)\)
Bài 2:
Cho hình vẽ:
Cho biết \(OB=5cm, AB=13cm\). Thể tích của hình nón trên là:
Hướng dẫn:
Bằng định lí Pytago, ta suy ra được \(OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=12cm\)
Vậy \(V=\frac{1}{3}.OA.\pi.OB^2=\frac{1}{3}.12.5^2.\pi=100 \pi(cm^3)\)
Bài 3: Diện tích xung quanh của hình nón cụt có bán kính đáy lớn đáy nhỏ lần lượt là \(14cm, 8cm\) và có đường sinh bằng \(9cm\) là:
Hướng dẫn: \(S_{xq}=\pi(R+r)l=\pi(14+8).9=198\pi (cm^2)\)
Bài 4: Mô tả hình bên được tạo nên bởi một hình nón có đường sinh là \(13cm\), bán kính là \(5cm\) và một nửa mặt cầu. Hãy tính thể tích khối hình.
Hướng dẫn:
Dễ dàng tính được đường cao của hình nón bằng định lí Pytago: \(h=\sqrt{13^2-5^2}=12cm\)
Vậy thể tích của hình nón là: \(V_{non}=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\pi.5^2.12=100\pi (cm^3)\)
Thể tích nửa mặt cầu là: \(V_(nuacau)=\frac{2}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi.5^3=\frac{250}{3}\pi(cm^3)\)
Vậy thể tích khối hình là \(100\pi+\frac{250}{3}\pi=\frac{550}{3} \pi(cm^3)\)
Qua bài giảng giúp các em nắm được các nội dung:
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Chương 4 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hình sinh ra khi quay quanh cạnh FI là:
Tỷ số thể tích của hình nón nội tiếp hình trụ và hình trụ là? (biết rằng chiều cao của nón bằng \(\frac{1}{2}\) đường cao hình trụ)
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Chương 4 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
Bài tập 38 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 39 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 40 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 41 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 42 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 43 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 44 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 42 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 43 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 44 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 45 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 46 trang 175 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 47 trang 175 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 48 trang 175 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 49 trang 175 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.1 trang 176 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.2 trang 176 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.3 trang 176 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.4 trang 177 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.5 trang 177 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.6 trang 177 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Hình sinh ra khi quay quanh cạnh FI là:
Tỷ số thể tích của hình nón nội tiếp hình trụ và hình trụ là? (biết rằng chiều cao của nón bằng \(\frac{1}{2}\) đường cao hình trụ)
Thể tích của khối hình trên là: (biết bán kính đáy là 5, đường cao hình nón là 12)
Tỷ số thể tích của hình nón nội tiếp hình trụ và hình trụ là? (biết rằng chiều cao của nón bằng \(\frac{1}{3}\) đường cao hình trụ)
Một hình khối được mô tả như hình bên:
Được cấu tạo bởi một hình trụ và hai nửa mặt cầu hai bên. Biết hình trụ có chiều dài là \(20\), bán kính mặt đáy hình trụ là \(4\). Hãy tính diện tích toàn phần của hình khối.
Hãy tính thể tích , diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình 114.
Một hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB > AD\), diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là \(2a^2\) và \(6a\). Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh \(AB\), ta được một hình trụ.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.
Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình 115.
Cho ba điểm \(A, O, B\) thẳng hàng theo thứ tự đó, \(OA = a, OB = b\) (\(a,b\) cùng đơn vị: cm).
Qua \(A\) và \(B\) vẽ theo thứ tự các tia \(Ax\) và \(By\) cùng vuông góc với \(AB\) và cùng phía với \(AB\). Qua \(O\) vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt \(Ax\) ở \(C\), \(By\) ở \(D\) (xem hình 116).
a) Chứng minh \(AOC\) và \(BDO\) là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích \(AC.BD\) không đổi.
b) Tính diện tích hình thang \(ABDC\) khi \(\widehat {COA} = {60^0}\)
c) Với \(\widehat {COA} = {60^0}\) cho hình vẽ quay xung quanh \(AB\). Hãy tính tỉ số tích các hình do các tam giác \(AOC\) và \(BOD\) tạo thành
Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.117).
Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.118) (đơn vị : cm).
Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) và \(GEF\) là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, \(EF\) là dây song song với \(AB\) (h.119). Cho hình đó quay quanh trục \(GO\). Chứng minh rằng:
a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.
b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.
Độ dài các cạnh của một tam giác ABC vuông tại A, thỏa mãn các hệ thức sau:
BC = AB + 2a (1)
AC = 1/2.(BC + AB) (2)
a là một độ dài cho trước
a) Tính theo a, độ dài các cạnh và chiều cao AH của tam giác
b) Tam giác ABC nội tiếp được trong nửa hình tròn tâm O. Tính diện tích của phần thuộc nửa đường tròn nhưng ở ngoài tam giác đó
c) Cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh huyền BC. Tính tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung AB và AC tạo ra
Với một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r (cm) và chiều cao 2r (cm) và một hình cầu bán kính r (cm). Hãy tính:
a) Diện tích mặt cầu, biết diện tích toàn phần của hình nón là 21,06 cm2
b) Thể tích hình nón, biết thể tích hình cầu là 15,8 cm3
Một cái hộp hình trụ được làm ra sao cho một quả bóng hình cầu đặt vừa khít vào hộp đó (h.111)
Tỉ số VCầu/Vtrụ là:
(A) \(\frac{3}{4}\)
(B) \(\frac{4}{3}\)
(C) \(\frac{3}{2}\)
(D) \(\frac{2}{3}\)
Hãy chọn kết quả đúng.
Một hình trụ được “đặt khít” vào bên trong một hình cầu bán kính r = 12cm như hình 112. Hãy tính:
a) Diện tích xung quanh của hình trụ, biết chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy của nó.
b) Thể tích hình cầu.
c) Diện tích mặt cầu.
ho bán kính của Trái Đất và Mặt Trăng tương ứng là 6371 và 1738 kilomet. Trong các số sau đây, số nào là tỉ số thể tích giữa Trái Đất và Mặt Trăng?
(A) 3.67 (C) 15,63
(B) 4,93 (D) 49,26
Với nửa hình cầu bán kính r và một hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng h
a) Khi r = 12 (cm) và thể tích hai hình bằng nhau thì giá trị h (cm) làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất là bao nhiêu?
b) Khi h = 12 (cm) và tổng diện tích nửa mặt cầu và diện tích “hình tròn đáy” gấp ba lần diện tích toàn phần của hình trụ thì r (cm) bằng bao nhiêu?
Hình bên (h.113) gồm một hình nón được đặt khít vào bên trong một cốc hình trụ, chúng có cùng đáy, cùng chiều cao. Người ta đổ vào đó một lượng nước lên đến một nửa chiều cao của hình. (Giả sử rằng nước không rò rỉ, không thẩm thấu vào bên trong hình nón)
Hãy chọn đúng tỉ số giữa các đoạn thẳng QR/XY
(A) \(\frac{1}{2}\);
(B) \(\frac{1}{3}\);
(C) \(\frac{2}{3}\)
(D) Không tính được, vì câu hỏi phụ thuộc vào bán kính đáy
Hai cái lọ có dạng hình trụ, các kích thước như ở hình 114. Lọ nào có dung tích lớn hơn?
Một bể nước hình trụ có bán kính đáy là 0,8 m và chiều cao là 1,2 m. Người ta muốn làm một bể nước hình trụ mới có thể tích gấp 2 lần bể nước cũ. Bạn An nói: Bể nước mới cần có bán kính dài gấp 2 lần bán kính bể nước cũ. Bạn Ngọc nói: Bể nước mới cần có chiều cao gấp lần chiều cao của bể nước cũ.
Bạn Vân nói: Bể nước mới cần có cả chiều cao và bán kính đáy tương ứng gấp 2 lần chiều cao và bán kính đáy của bể nước cũ.
Theo em, bạn nào nói đúng, tại sao?
Quan sát hình trụ ở hình bs.30 rồi điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau (lấy π = 3,14)
Thể tích của một hình nón thay đổi thế nào nếu:
a) Gấp đôi chiều cao của hình nón
b) Gấp đôi bán kính của hình nón
c) Gấp đôi cả chiều cao và bán kính đáy của hình nón
Thể tích và diện tích của hình cầu thay đổi thế nào nếu bán kính hình cầu:
a) Tăng gấp 2 lần?
b) Tăng gấp 3 lần?
c) Giảm đi 2 lần?
Quan sát hình nón ở hình bs.31 (Sbt) rồi điền số thích hợp và các ô trống trong bảng sau (lấy π = 3,14)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
a) Bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn.
b) MH vuông góc với BC.
Câu trả lời của bạn
a) Bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn.
Vì M là trung điểm của AD \( \Rightarrow OM \bot AD\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
\( \Rightarrow \) Điểm M, H cùng nhìn OD dưới một góc 900.
\( \Rightarrow \) Tứ giác OHMD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
Vậy bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn.
b) MH vuông góc với BC.
Kéo dài MH cắt BC tại E.
Xét tam giác vuông ADH có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD \( \Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}AD = MD \Rightarrow \Delta MHD\) cân tại M \( \Rightarrow \widehat {MHD} = \widehat {MDH} = \widehat {ADC}\)
Lại có \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
\(\widehat {MHD} = \widehat {CHE}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \widehat {CHE} = \widehat {ABC}\).
Xét tam giác vuông BCH có \(\widehat {ABC} + \widehat {HCB} = {90^0} \)
\(\Rightarrow \widehat {CHE} + \widehat {HCB} = {90^0} \)
\(\Rightarrow \Delta CHE\) vuông tại E.
\( \Rightarrow HE \bot BC\).
Vậy \(MH \bot BC\).
a.Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp được đường tròn.
b.Kéo dài AN cắt đường tròn (O) tại G (khác A). Chứng minh ON = NG.
b.PN cắt cung nhỏ BG của đường tròn (O) tại điểm F. Tính số đo của góc \(\widehat {OFP}\) .
Câu trả lời của bạn
a) Chứng minh tứ giác BMON nội tiếp được đường tròn.
Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều, \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;BC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM \bot AB\\ON \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {ONB} = {90^0}\) (đường trung tuyến đồng thời là đường cao)
Xét tứ giác \(BMON\) ta có: \(\widehat {OMB} + \widehat {ONB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}.\)
\( \Rightarrow BMON\) là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối diện có tổng bằng \({180^0}\)).
b) Kéo dài AN cắt đường tròn (O) tại G (khác A). Chứng minh ON = NG.
Ta có \(O\) là trọng tâm tâm tam giác \(ABC\) (gt)
\( \Rightarrow ON = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{1}{2}R.\) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác)
Lại có:\(OG = ON + NG\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow R = \dfrac{R}{2} + NG \Leftrightarrow NG = \dfrac{R}{2}.\\ \Rightarrow NO = NG = \dfrac{R}{2}.\;\;\left( {dpcm} \right)\end{array}\)
c) PN cắt cung nhỏ của đường tròn (O) tại điểm F. Tính số đo của góc \(\widehat {OFP}\) .
Gọi \(E = OC \cap PN\) ta có \(OC \bot AB\) (do tam giác ABC đều) ;
\(NP//AB\) (do NP là đường trung bình của tam giác ABC.
\( \Rightarrow OC \bot NP\) tại E \( \Rightarrow \Delta OEF\) vuông tại E.
Xét tam giác vuông ONC có : \(O{N^2} = OE.OC\)
\(\Rightarrow OE = \dfrac{{O{N^2}}}{{OC}} = \dfrac{{{R^2}}}{{4R}} = \dfrac{R}{4}\)
Xét tam giác vuông \(OEF\) có \(\sin \widehat {OFE} = \sin \widehat {OFP} = \dfrac{{OE}}{{ON}} = \dfrac{{\dfrac{R}{4}}}{R} = \dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \widehat {OFP} = \arcsin \dfrac{1}{4} \approx {14^0}28'\)
Cầu vòm là một dạng cầu đẹp bởi hình dáng cầu được uốn lượn theo một cung tròn tạo sự hài hòa trong thiết kế cảnh quan, đặc biệt là các khu đô thị có dòng sông chảy qua, tạo được một điểm nhấn của công trình giao thông hiện đại. Một chiếc cầu vòm được thiết kế như hình vẽ bên, vòm cầu là một cung tròn AMB. Độ dài đoạn AB bằng 30m, khoảng cách từ vị trí cao nhất ở giữa vòm cầu so với sàn mặt cầu là đoạn MK có độ dài 5m. Hãy tính chiều dài vòm cầu.
Câu trả lời của bạn
Giả sử AMB là cung tròn của đường tròn tâm O. Vẽ đường kính MN.
M là điểm chính giữa của cung AB \( \Rightarrow OM \bot AB\) và K là trung điểm của AB
\( \Rightarrow AK = \dfrac{1}{2}AB = 15\,\left( m \right)\).
Ta có \(\widehat {MAN} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta AMN\) vuông tại A.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AMN có:
\(A{K^2} = KM.KN \Leftrightarrow {15^2} = 5.KN \) \(\Leftrightarrow KN = 45\,\,\left( m \right)\)
\( \Rightarrow MN = KM + KN = 5 + 45 = 50\,\,\left( m \right)\)
\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn tâm O là \(R = 25m\).
Xét tam giác vuông ANK có \(\tan \widehat {ANK} = \dfrac{{AK}}{{KN}} = \dfrac{{15}}{{45}} = \dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \widehat {ANK} = \arctan \dfrac{1}{3}\)
\( \Rightarrow \widehat {AOK} = 2\widehat {ANK} = 2\arctan \dfrac{1}{3}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AM).
Xét tam giác OAB có \(OA = OB \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O \( \Rightarrow \) Đường cao OK đồng thời là phân giác
\( \Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat {AOK} = 4\arctan \dfrac{1}{3} \approx 73,{7^0}\)
Vậy độ dài cung AMB là \(l = \dfrac{{\pi .R.{n^0}}}{{{{180}^0}}} = \dfrac{{\pi .25.73,7}}{{180}} \approx 32,18\,\,\left( m \right)\).
Có cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 17 cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 7 cm. Tính diện tích của tam giác vuông đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi độ dài một cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông là \(x\;\left( {cm} \right),\;\left( {7 < x < 17} \right).\)
Khi đó độ cạnh góc vuông còn lại của tam giác vuông đó là: \(x - 7\;\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông này ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^2} + {\left( {x - 7} \right)^2} = {17^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 14x + 49 = 289\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 14x - 240 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {x - 15} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 15 = 0\\x + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\;\;\left( {tm} \right)\\x = - 8\;\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
\( \Rightarrow \) độ dài cạnh còn lại của tam giác vuông là: \(15 - 7 = \;8cm.\)
Vậy diện tích của tam giác vuông đó là: \(S = \dfrac{1}{2}.8.15 = 60\;c{m^2}.\)
a) Bốn điểm A, H, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
b) AH.AK = HB.MK.
c) Khi điểm M di động trên cung nhỏ AC thì đường thẳng HK luôn qua một điểm cố định.
Câu trả lời của bạn
a) Bốn điểm A, H, K, M cùng nằm trên một đường tròn.
Xét tứ giác \(AHKM\) ta có: \(\widehat {AHM} = \widehat {AKM} = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\)
Mà hai góc này là góc kề cạnh \(HK\) và cùng nhìn đoạn \(AM.\)
\( \Rightarrow AHKM\) là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).
Hay bốn điểm \(A,H,\;K,\;M\) cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).
b) AH.AK = HB.MK.
Ta có :
Mà
Mà \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = {90^0}\) (tam giác ABH vuông tại H).
\( \Rightarrow \widehat {AMK} = \widehat {BAH}\).
Xét tam giác AMK và tam giác BAH có :
\(\begin{array}{l}\widehat {AKM} = \widehat {BHA} = {90^0}\\\widehat {AMK} = \widehat {BAH}\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AMK \sim \Delta BAH\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{HB}} = \dfrac{{MK}}{{AH}}\\ \Rightarrow AH.AK = HB.MK\end{array}\)
c) Khi điểm M di động trên cung nhỏ AC thì đường thẳng HK luôn qua một điểm cố định.
Kéo dài HK cắt AB tại E.
Ta có \(\widehat {MAK} = \widehat {MHK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK).
Lại có \(\widehat {MHK} = \widehat {EHB}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \widehat {MAK} = \widehat {EHB}\)
Do \(\Delta AMK \sim \Delta BAH\,\,\left( {cmt} \right) \)
\(\Rightarrow \widehat {MAK} = \widehat {ABH} = \widehat {EBH}\)
\( \Rightarrow \widehat {EHB} = \widehat {EBH} \) \(\Rightarrow \Delta EHB\) cân tại E.
\( \Rightarrow EH = EB\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có \(\widehat {EBH} + \widehat {EAH} = {90^0}\) (Tam giác ABH vuông tại H)
\(\widehat {EHB} + \widehat {EHA} = \widehat {AHB} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {EAH} = \widehat {EHA} \Rightarrow \Delta EAH\) cân tại E \( \Rightarrow EA = EH\,\,\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow EA = EB \Rightarrow E\) là trung điểm của AB. Do A, B cố định \( \Rightarrow E\) cố định.
Vậy khi M di chuyển trên cung nhỏ AC thì HK luôn đi qua trung điểm của AB (đpcm).
Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H, đường thẳng AH cắt DC tại E, biết AH = 4cm, HE = 2cm. HÃy tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Câu trả lời của bạn
Xét tam giác ADE vuông tại D và có đường cao DH (do \(AH \bot DB \Rightarrow AE \bot DH\) ) ta có:
\(A{D^2} = AH.AE = 4.\left( {4 + 2} \right) = 24\)
\(\Rightarrow AD = 2\sqrt 6 \left( {cm} \right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ADB vuông tại A với AH là đường cao ta có:
\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{D^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} - \dfrac{1}{{A{D^2}}} = \dfrac{1}{{{4^2}}} - \dfrac{1}{{24}} = \dfrac{1}{{48}}\)
\(\Rightarrow AB = 4\sqrt 3 \;\;cm.\)
Diện tích hình chữ nhật ABCD là: \({S_{ABCD}} = AB.AD = 4\sqrt 3 .2\sqrt 6 = 24\sqrt 2 \left( {c{m^2}} \right)\)
Cho một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét.
Câu trả lời của bạn
Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là \(28:2 = 14\;\left( m \right).\)
Gọi chiều dài của mảnh đất là \(x\;\left( m \right),\;\;\left( {\dfrac{{14}}{2} = 7 < x < 14} \right).\)
Khi đó chiều rộng của mảnh đất là: \(14 - x\;\;\left( m \right).\)
Độ dài đường chéo của mảnh đất hình chữ nhật là \(10m\) nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^2} + {\left( {14 - x} \right)^2} = {10^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 28x + 196 - 100 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 14x + 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 6 = 0\\x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\;\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 8\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Với \(x = 8\) thì chiều rộng của mảnh đất là: \(14 - 8 = 6\;m.\)
Vậy chiều dài của mảnh đất là \(8m,\) chiều rộng của mảnh đất là \(6m.\)
Ta có một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích mảnh vườn đó tăng gấp đôi. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vườn đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (m) (x > 0)
Chiều dài của hình chữ nhật là: x + 5 (m)
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: \(x\left( {x + 5} \right)\,\,\left( {{m^2}} \right)\)
Tăng chiều dài thêm 10m, chiều rộng thêm 5m thì ta có chiều dài và chiều rộng sau khi thay đổi lần lượt là: \(x + 5 + 10\left( m \right);x + 5\left( m \right)\) .
Diện tích của hình chữ nhật sau khi thay đổi là: \(\left( {x + 15} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {{m^2}} \right)\)
Theo bài ra ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\left( {x + 15} \right)\left( {x + 5} \right) = 2x\left( {x + 5} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 20x + 75 = 2{x^2} + 10x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x - 75 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 15x - 75 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x - 15} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5\left( {ktm} \right)\\x = 15\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 15m; chiều dài của hình chữ nhật là: 20m.
1) Chứng minh rằng \(\angle ACD = \angle ANM\)
2) Chứng minh rằng \(AC + AD + AM + AN > 8R\)
Câu trả lời của bạn
1) Chứng minh rằng \(\angle ACD = \angle ANM\)
Ta có \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BC \bot AC \Rightarrow BC \bot AM\).
\( \Rightarrow \angle CMN + \angle MBC = {90^0}\) (tam giác BCM vuông tại C)
Mà \(\angle ABC + \angle MBC = \angle ABM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \angle ABC = \angle CMN\). (cùng phụ với \(\angle CBM\))
Mà \(\angle ADC = \angle ABC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
\( \Rightarrow \angle ADC = \angle CMN\).
Lại có \(\angle ADC + \angle CDN = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \angle CMN + \angle CDN = {180^0}\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
\( \Rightarrow \angle ACD = \angle ANM\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
2) Chứng minh rằng \(AC + AD + AM + AN > 8R\)
Ta có \(\angle ACB = \angle ADB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM ta có: \(A{B^2} = AC.AM\)
\(\Rightarrow AM = \dfrac{{A{B^2}}}{{AC}} = \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có: \(A{B^2} = AD.AN \)
\(\Rightarrow AN = \dfrac{{A{B^2}}}{{AD}} = \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AC + AD + AM + AN = AC + AD + \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}} + \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}\\ = \left( {AC + \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}} \right) + \left( {AD + \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}} \right)\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {AC.\dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}} + 2\sqrt {AD.\dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}} = 2.2R + 2.2R = 8R\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \dfrac{{4{R^2}}}{{AC}}\\AD = \dfrac{{4{R^2}}}{{AD}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = 2R\\AD = 2R\end{array} \right.\) , khi đó \(C \equiv D \equiv M \equiv N \equiv B\)
A. 19 (cm)
B. 22 (cm)
C. 23(cm)
D. 24 (cm)
Câu trả lời của bạn
Gọi độ dài cạnh cần tìm của tam giác là a (cm)
Theo mối liên hệ giữa các cạnh trong một tam giác ta có a phải thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}a + 2 > 21\\2 + 21 > a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 19\\a < 23\end{array} \right.\)
Vậy dựa vào các đáp án của đầu bài thì a = 22 (cm)
Chọn B.
A. AC = 21 (cm).
B. AC = 37,5 (cm)
C. AC = 52,5 (cm).
D. AC = 25 (cm).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{NC}}{{NB}} = \dfrac{2}{5} \Rightarrow MN\parallel AC\)
\(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{2}{5},MA + MB = AB\)
\(\Rightarrow \dfrac{{MA}}{{AB}} = \dfrac{2}{7};\dfrac{{MB}}{{AB}} = \dfrac{5}{7}\)
Áp dụng định lý Talet trong tam giác ABC với MN//AC ta có:
\(\dfrac{{MB}}{{AB}} = \dfrac{{MN}}{{AC}} = \dfrac{5}{7}\)
\(\Rightarrow AC = \dfrac{{7MN}}{5} = \dfrac{{7.15}}{5} = 21\left( {cm} \right)\)
Chọn A.
A. \(\widehat {ABD} = {40^0}.\)
B. \(\widehat {ABD} = {150^0}.\)
C. \(\widehat {ABD} = {50^0}.\)
D. \(\widehat {ABD} = {75^0}.\)
Câu trả lời của bạn
Xét tam giác ABC và tam giác DBA có:
\(\widehat {CAB} = \widehat {ADB}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung của
đường tròn (O’) cùng chắn cung AB)
\(\widehat {ACB} = \widehat {BAD}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung của
đường tròn (O) cùng chắn cung AB)
Vậy \(\Delta ABC \sim \Delta DBA\) (g-g)
Khi đó ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {ABD} = {75^0}\)(2 góc tương ứng)
Chọn D.
A. \({36^0}\)
B. \({18^0}\)
C. \({24^0}\)
D. \({54^0}\)
Câu trả lời của bạn
Gọi các góc của tam giác lần lượt có số đo là: x, y, z (độ) giả sử: x < y < z
Ta có: 3 góc của tam giác tỉ lệ với các số: 2; 3; 5 nên ta có: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{{x + y + z}}{{10}} = \dfrac{{180}}{{10}} = 18\)
Từ đó ta có: \(\dfrac{x}{2} = 18 \Rightarrow x = 36\)
Vậy góc nhỏ nhất của tam giác có số đo là: \({36^0}\) .
Chọn A.
A. \(d \approx 51,42\left( m \right).\)
B. \(d \approx 57,14\left( m \right).\)
C. \(d \approx 54,36\left( m \right).\)
D. \(d \approx 61,28\left( m \right).\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\cos {50^0} = \dfrac{d}{{80}} \Rightarrow d \approx 51,42\left( m \right)\)
Chọn A.
A. \(S = 48\left( {c{m^2}} \right)\)
B. \(S = 108\left( {c{m^2}} \right)\)
C. \(S = 148\left( {c{m^2}} \right)\)
D. \(S = 144\left( {c{m^2}} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Đặt AH = a (a > 0 ) khi đó ta có: AM = a + 7 (cm).
Lại có tam giác ABC vuông tại A, có trung tuyến AM nên BC = 2AM
\( \Rightarrow BC = 2\left( {a + 7} \right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: \(AB.AC = AH.BC = 2a.\left( {a + 7} \right) = 2{a^2} + 14a.\,\,\left( 1 \right)\)
Chu vi của tam giác bằng 72 nên ta có: \(AB + AC + BC = 72 \Rightarrow AB + AC = 72 - 2\left( {a + 7} \right)\)
Áp dụng định lý Py – ta – go trong tam giác vuông ABC ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} = 4{\left( {a + 7} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2AB.AC = {\left( {AB + AC} \right)^2} - \left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {\left[ {72 - 2\left( {a + 7} \right)} \right]^2} - 4{\left( {a + 7} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2AB.AC = 4{\left( {29 - a} \right)^2} - 4{\left( {a + 7} \right)^2}\\ \Leftrightarrow AB.AC = 2\left( {841 - 58a + {a^2}} \right) - 2\left( {{a^2} + 14a + 49} \right)\\ \Leftrightarrow AB.AC = 1584 - 144a\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có phương trình
\(2{a^2} + 14a = 1584 - 144a \Leftrightarrow {a^2} + 79a - 792 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 9\left( {tm} \right)\\a = - 88\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy AH = 9 (cm); BC = 2(9 + 7) = 32 (cm). Khi đó diện tích của tam giác ABC là: \(S = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.9.32 = 144\left( {c{m^2}} \right).\)
Chọn D.
A. 28 (cm).
B. 42 (cm).
C. 14 (cm)
D. 56 (cm).
Câu trả lời của bạn
Gọi các cạnh của một tứ giác lần lượt là: \(x,y,z,t\left( {0 < x < y < z < t} \right)\)
Các cạnh của một tứ giác tỉ lệ với 2; 3; 4; 5 nên ta có: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = \dfrac{t}{5}\)
Độ dài cạnh lớn nhất hơn độ dài cạnh nhỏ nhất là 6(cm) nên ta có: \(t - x = 6\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = \dfrac{t}{5} = \dfrac{{t - x}}{{5 - 2}} = \dfrac{6}{3} = 2\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4\left( {cm} \right)\\\dfrac{y}{3} = 2 \Rightarrow x = 6\left( {cm} \right)\\\dfrac{z}{4} = 2 \Rightarrow z = 8\left( {cm} \right)\\\dfrac{t}{5} = 2 \Rightarrow t = 10\left( {cm} \right)\end{array}\)
Khi đó chu vi của tứ giác là: \(4 + 6 + 8 + 10 = 28\left( {cm} \right).\)
Chọn A.
A. \(16\pi \left( {cm} \right).\)
B. \(20\pi \left( {cm} \right).\)
C. \(13\pi \left( {cm} \right).\)
D. \(8\pi \left( {cm} \right).\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(p = \dfrac{{20 + 12 + 16}}{2} = 24\)
Ta có: \(S = pr \)
\(\Rightarrow r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{{\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} }}{p} \)\(\,= \dfrac{{\sqrt {24.\left( {24 - 20} \right).\left( {24 - 12} \right).\left( {24 - 16} \right)} }}{{24}} \)\(\,= \dfrac{{96}}{{24}} = 4\)
Khi đó chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABC là: \(C = 2\pi r = 2\pi .4 = 8\pi \) (cm).
Chọn D.
A. 25(cm)
B. 24(cm).
C. 30 (cm).
D. 15 (cm).
Câu trả lời của bạn
Ta có tam giác ABC cân mà đầu bài cho AB = 6(cm); AC = 12(cm) nên tam giác đó không thể cân tại A mà chỉ có thể cân tại B hoặc C,
TH1: giả sử tam giác cân tại B thì ta có BA = BC = 6 (cm). Mà theo mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác ta có: BA + BC > AC tức là: 6 + 6 > 12 (vô lý). Vậy tam giác ABC không thể cân tại B.
TH2: Khi đó ta có tam giác ABC cân tại C tức là: CA = CB = 12(cm).
Khi đó chu vi của tam giác ABC là: 12 + 12 + 6 = 30 (cm).
Chọn C.
A. \(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)
B. \(r = a\sqrt 3 .\)
C. \(r = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
D. \(r = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Câu trả lời của bạn
Ta có đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh a có độ dài là: \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) ‘
Khi đó bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC là: \(\dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Chọn C.
A. \(S = \dfrac{{16\pi }}{3}\left( {c{m^2}} \right)\) .
B. \(S = 16\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
C. \(S = 64\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
D. \(S = 32\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: hình cầu có đường kính bằng 4(cm) nên bán kính bằng 2 (cm)
Khi đó ta có diện tích S của hình cầu là: \(S = 4\pi {2^2} = 16\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Chọn B.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *