Cùng nhau ôn tập lại chương Hình trụ - Hình nón - Hình Cầu một cách tổng quát nhất, qua đó giúp các em hình thành khái niệm về hình học không gian, nắm chắc kiến thức để lên các lớp trên.
a. Diện tích xung quanh hình trụ
Với bán kính đáy r và chiều cao h, ta có:
Diện tích xung quanh: \(S_{xq}=2\pi rh\)
Diện tích toàn phần: \(S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2\)
b. Thể tích hình trụ
Thể tích hình trụ được cho bởi công thức: \(V=Sh=\pi r^2h\)
a. Diện tích xung quanh của hình nón
Công thức: \(S_{xq}=\pi rl\)
Trong đó: r là bán kính của đáy; l là độ dài đường sinh
Vậy ta suy ra công thức diện tích toàn phần:
\(S_{tp}=S_{xq}+S_{day}=\pi rl+\pi r^2\)
b. Thể tích hình nón
Bằng thực nghiệm, ta có thể tích hình nón là: \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\)
Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt
Ta có các công thức sau:
\(S_{xq}=\pi (r_1+r_2)l\)
\(V=\frac{1}{3}\pi h(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_1r_2)\)
a. Diện tích mặt cầu
Nhắc lại kiến thức đã học ở lớp dưới, ta có công thức sau:
\(S=4\pi R^2=\pi d^2\) (với R là bán kính, d là đường kính của mặt cầu)
b. Thể tích mặt cầu
Công thức tính thể tích mặt cầu:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
Bài 1: Hình trụ có chu vi đường tròn là \(20\pi cm\), chiều cao là \(4cm\). Thể tích hình trụ là:
Hướng dẫn: Từ chu vi của đường tròn, ta suy ra \(R=10 cm\); Vậy Thể tích là \(V=\pi R^2h=\pi.10^2.4=400 \pi (cm^3)\)
Bài 2:
Cho hình vẽ:
Cho biết \(OB=5cm, AB=13cm\). Thể tích của hình nón trên là:
Hướng dẫn:
Bằng định lí Pytago, ta suy ra được \(OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=12cm\)
Vậy \(V=\frac{1}{3}.OA.\pi.OB^2=\frac{1}{3}.12.5^2.\pi=100 \pi(cm^3)\)
Bài 3: Diện tích xung quanh của hình nón cụt có bán kính đáy lớn đáy nhỏ lần lượt là \(14cm, 8cm\) và có đường sinh bằng \(9cm\) là:
Hướng dẫn: \(S_{xq}=\pi(R+r)l=\pi(14+8).9=198\pi (cm^2)\)
Bài 4: Mô tả hình bên được tạo nên bởi một hình nón có đường sinh là \(13cm\), bán kính là \(5cm\) và một nửa mặt cầu. Hãy tính thể tích khối hình.
Hướng dẫn:
Dễ dàng tính được đường cao của hình nón bằng định lí Pytago: \(h=\sqrt{13^2-5^2}=12cm\)
Vậy thể tích của hình nón là: \(V_{non}=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\pi.5^2.12=100\pi (cm^3)\)
Thể tích nửa mặt cầu là: \(V_(nuacau)=\frac{2}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi.5^3=\frac{250}{3}\pi(cm^3)\)
Vậy thể tích khối hình là \(100\pi+\frac{250}{3}\pi=\frac{550}{3} \pi(cm^3)\)
Qua bài giảng giúp các em nắm được các nội dung:
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Chương 4 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Hình sinh ra khi quay quanh cạnh FI là:
Tỷ số thể tích của hình nón nội tiếp hình trụ và hình trụ là? (biết rằng chiều cao của nón bằng \(\frac{1}{2}\) đường cao hình trụ)
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Chương 4 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
Bài tập 38 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 39 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 40 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 41 trang 129 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 42 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 43 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 44 trang 130 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 42 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 43 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 44 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 45 trang 174 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 46 trang 175 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 47 trang 175 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 48 trang 175 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 49 trang 175 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.1 trang 176 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.2 trang 176 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.3 trang 176 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.4 trang 177 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.5 trang 177 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập IV.6 trang 177 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Hình sinh ra khi quay quanh cạnh FI là:
Tỷ số thể tích của hình nón nội tiếp hình trụ và hình trụ là? (biết rằng chiều cao của nón bằng \(\frac{1}{2}\) đường cao hình trụ)
Thể tích của khối hình trên là: (biết bán kính đáy là 5, đường cao hình nón là 12)
Tỷ số thể tích của hình nón nội tiếp hình trụ và hình trụ là? (biết rằng chiều cao của nón bằng \(\frac{1}{3}\) đường cao hình trụ)
Một hình khối được mô tả như hình bên:
Được cấu tạo bởi một hình trụ và hai nửa mặt cầu hai bên. Biết hình trụ có chiều dài là \(20\), bán kính mặt đáy hình trụ là \(4\). Hãy tính diện tích toàn phần của hình khối.
Hãy tính thể tích , diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình 114.
Một hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB > AD\), diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là \(2a^2\) và \(6a\). Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh \(AB\), ta được một hình trụ.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.
Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình 115.
Cho ba điểm \(A, O, B\) thẳng hàng theo thứ tự đó, \(OA = a, OB = b\) (\(a,b\) cùng đơn vị: cm).
Qua \(A\) và \(B\) vẽ theo thứ tự các tia \(Ax\) và \(By\) cùng vuông góc với \(AB\) và cùng phía với \(AB\). Qua \(O\) vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt \(Ax\) ở \(C\), \(By\) ở \(D\) (xem hình 116).
a) Chứng minh \(AOC\) và \(BDO\) là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích \(AC.BD\) không đổi.
b) Tính diện tích hình thang \(ABDC\) khi \(\widehat {COA} = {60^0}\)
c) Với \(\widehat {COA} = {60^0}\) cho hình vẽ quay xung quanh \(AB\). Hãy tính tỉ số tích các hình do các tam giác \(AOC\) và \(BOD\) tạo thành
Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.117).
Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.118) (đơn vị : cm).
Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) và \(GEF\) là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, \(EF\) là dây song song với \(AB\) (h.119). Cho hình đó quay quanh trục \(GO\). Chứng minh rằng:
a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.
b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.
Độ dài các cạnh của một tam giác ABC vuông tại A, thỏa mãn các hệ thức sau:
BC = AB + 2a (1)
AC = 1/2.(BC + AB) (2)
a là một độ dài cho trước
a) Tính theo a, độ dài các cạnh và chiều cao AH của tam giác
b) Tam giác ABC nội tiếp được trong nửa hình tròn tâm O. Tính diện tích của phần thuộc nửa đường tròn nhưng ở ngoài tam giác đó
c) Cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh huyền BC. Tính tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung AB và AC tạo ra
Với một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r (cm) và chiều cao 2r (cm) và một hình cầu bán kính r (cm). Hãy tính:
a) Diện tích mặt cầu, biết diện tích toàn phần của hình nón là 21,06 cm2
b) Thể tích hình nón, biết thể tích hình cầu là 15,8 cm3
Một cái hộp hình trụ được làm ra sao cho một quả bóng hình cầu đặt vừa khít vào hộp đó (h.111)
Tỉ số VCầu/Vtrụ là:
(A) \(\frac{3}{4}\)
(B) \(\frac{4}{3}\)
(C) \(\frac{3}{2}\)
(D) \(\frac{2}{3}\)
Hãy chọn kết quả đúng.
Một hình trụ được “đặt khít” vào bên trong một hình cầu bán kính r = 12cm như hình 112. Hãy tính:
a) Diện tích xung quanh của hình trụ, biết chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy của nó.
b) Thể tích hình cầu.
c) Diện tích mặt cầu.
ho bán kính của Trái Đất và Mặt Trăng tương ứng là 6371 và 1738 kilomet. Trong các số sau đây, số nào là tỉ số thể tích giữa Trái Đất và Mặt Trăng?
(A) 3.67 (C) 15,63
(B) 4,93 (D) 49,26
Với nửa hình cầu bán kính r và một hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng h
a) Khi r = 12 (cm) và thể tích hai hình bằng nhau thì giá trị h (cm) làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất là bao nhiêu?
b) Khi h = 12 (cm) và tổng diện tích nửa mặt cầu và diện tích “hình tròn đáy” gấp ba lần diện tích toàn phần của hình trụ thì r (cm) bằng bao nhiêu?
Hình bên (h.113) gồm một hình nón được đặt khít vào bên trong một cốc hình trụ, chúng có cùng đáy, cùng chiều cao. Người ta đổ vào đó một lượng nước lên đến một nửa chiều cao của hình. (Giả sử rằng nước không rò rỉ, không thẩm thấu vào bên trong hình nón)
Hãy chọn đúng tỉ số giữa các đoạn thẳng QR/XY
(A) \(\frac{1}{2}\);
(B) \(\frac{1}{3}\);
(C) \(\frac{2}{3}\)
(D) Không tính được, vì câu hỏi phụ thuộc vào bán kính đáy
Hai cái lọ có dạng hình trụ, các kích thước như ở hình 114. Lọ nào có dung tích lớn hơn?
Một bể nước hình trụ có bán kính đáy là 0,8 m và chiều cao là 1,2 m. Người ta muốn làm một bể nước hình trụ mới có thể tích gấp 2 lần bể nước cũ. Bạn An nói: Bể nước mới cần có bán kính dài gấp 2 lần bán kính bể nước cũ. Bạn Ngọc nói: Bể nước mới cần có chiều cao gấp lần chiều cao của bể nước cũ.
Bạn Vân nói: Bể nước mới cần có cả chiều cao và bán kính đáy tương ứng gấp 2 lần chiều cao và bán kính đáy của bể nước cũ.
Theo em, bạn nào nói đúng, tại sao?
Quan sát hình trụ ở hình bs.30 rồi điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau (lấy π = 3,14)
Thể tích của một hình nón thay đổi thế nào nếu:
a) Gấp đôi chiều cao của hình nón
b) Gấp đôi bán kính của hình nón
c) Gấp đôi cả chiều cao và bán kính đáy của hình nón
Thể tích và diện tích của hình cầu thay đổi thế nào nếu bán kính hình cầu:
a) Tăng gấp 2 lần?
b) Tăng gấp 3 lần?
c) Giảm đi 2 lần?
Quan sát hình nón ở hình bs.31 (Sbt) rồi điền số thích hợp và các ô trống trong bảng sau (lấy π = 3,14)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH \(\left( {H \in BC} \right)\) . Biết BH = 3,6cm và HC = 6,4 cm. Tính độ dài BC, AH, AB, AC.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\left( {H \in BC} \right)\) nên : \(BC = BH + HC = 3,6 + 6,4 = 10\left( {cm} \right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH ta có:
\(A{H^2} = BH.HC\)
\(\Rightarrow A{H^2} = 3,6.6,4 = 23,04\)
\(\Rightarrow AH = 4,8\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:
\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \)\(\,= 4,{8^2} + 3,{6^2} = 36 \)
\(\Rightarrow AB = 6\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:
\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\)\(\, = {10^2} - {6^2} = 64\)
\(\Rightarrow AC = 8\left( {cm} \right)\)
Vậy: BC = 10 cm; AH = 4,8 cm; AB = 6 cm; AC = 8 cm.
Cho đường tròn tâm (O), từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D; O và B nằm về hai phía so với cát tuyến MCD). Hãy chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = {90^0}\) (Do MA, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Xét tứ giác OAMB có: \(\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH \(\left( {H \in BC} \right)\) . Biết AC = 8cm và BC = 10 cm. Tính độ dài AB, BH, CH và AH.
+) Tính AB
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có: \(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {8^2} = 36\\ \Rightarrow AB = 6\left( {cm} \right)\end{array}\)
+) Tính BH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: \(A{B^2} = BH.BC\)
\(\Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\left( {cm} \right)\)
+) Tính CH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: \(A{C^2} = CH.BC \)
\(\Rightarrow CH = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{8^2}}}{{10}} = 6,4\left( {cm} \right)\)
+) Tính AH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: \(A{H^2} = BH.CH = 3,6.6,4 = 23,04\) \( \Rightarrow AH = 4,8\left( {cm} \right)\)
Cho tam giác ABC vuông tại A \(\left( {AB < AC} \right)\), M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N. Đường thẳng BM cắt đường tròn đường kính MC tại D. Hãy chứng minh tứ giác BADC nội tiếp.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\widehat {MDC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC) \( \Rightarrow \widehat {BDC} = {90^0}\).(Do B, M, D thẳng hàng)
Có \(\widehat {BAC} = {90^0}\) (do giả thiết tam giác ABC vuông tại A)
Xét tứ giác BADC có \(\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = {90^0} \Rightarrow \) Hai điểm A và D cùng nhìn BC dưới góc 900 \( \Rightarrow \) Tứ giác BADC là tứ giác nội tiếp (Tứ
A. \(9\pi \,cm\) B. \(2\pi \,cm\)
C. \(6\pi \,cm\) D. \(3\pi \,cm\)
Câu trả lời của bạn
Độ dài cung là \(l = \dfrac{{\pi .6.60}}{{180}} = 2\pi \left( {cm} \right)\)
Chọn B
A. \(1,6\pi \,c{m^2}\) B. \(0,4\pi \,c{m^2}\)
C. \(0,8\pi \,c{m^2}\) D. \(1,2\pi \,c{m^2}\)
Câu trả lời của bạn
Diện tích quạt tròn là \({S_q} = \dfrac{{\pi {r^2}n}}{{360}}\) \( = \dfrac{{\pi {4^2}.36}}{{360}} = 1,6\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Chọn A
Với tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\;\left( {H \in BC} \right).\)Biết \(AB = 3a,\;\;AH = \dfrac{{12}}{5}a.\) Tính theo \(a\) độ dài \(AC\) và \(BC.\)
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\;\left( {H \in BC} \right).\)Biết \(AB = 3a,\;\;AH = \dfrac{{12}}{5}a.\) Tính theo \(a\) độ dài \(AC\) và \(BC.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) ta có:
\(B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = 9{a^2} - {\left( {\dfrac{{12}}{5}a} \right)^2} = \dfrac{{81{a^2}}}{{25}} \)
\(\Rightarrow BH = \dfrac{{9a}}{5}.\)
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với đường cao \(AH\;\)ta có:
\(\begin{array}{l}A{H^2} = BH.HC \\\Leftrightarrow HC = \dfrac{{A{H^2}}}{{HB}} = {\left( {\dfrac{{12}}{5}a} \right)^2}:\dfrac{{9a}}{5} = \dfrac{{16a}}{5}.\\ \Rightarrow BC = BH + HC = \dfrac{{9a}}{5} + \dfrac{{16a}}{5} = 5a.\end{array}\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:
\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {\left( {5a} \right)^2} - {\left( {3a} \right)^2} = {\left( {4a} \right)^2} \)
\(\Rightarrow AC = 4a.\)
Vậy \(AC = 4a,\;\;BC = 5a.\)
Với tam giác ABC có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) và có đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn lần lượt ngoại tiếp tam giác DBH và ECH.
Câu trả lời của bạn
Ta có: D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC \( \Rightarrow DE//BC\).
\( \Rightarrow \widehat {EDH} = \widehat {DHB}\) (so le trong).
Tam giác AHB vuông tại H, có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB \( \Rightarrow HD = \dfrac{1}{2}AB = AD = DB\)
\( \Rightarrow \Delta DHB\) cân tại D \( \Rightarrow \widehat {DHB} = \widehat {DBH}\) (hai góc ở đáy của tam giác cân).
\( \Rightarrow \widehat {EDH} = \widehat {DBH}\)
Lại có góc DBH là góc nội tiếp chắn cung DH của đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH.
Góc EDH nằm tạo bởi dây cung DH và tia DE với D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH, nằm ở vị trí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, chắn cung DH của đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH.
\( \Rightarrow DE\) là tiếp tuyến tại D của đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH.
Chứng minh tương tự ta có : \(\widehat {DEH} = \widehat {EHC} = \widehat {ECH}\).
Lại có góc ECH là góc nội tiếp chắn cung EH của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECH.
Góc DEH nằm tạo bởi dây cung EH và tia ED, nằm ở vị trí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, chắn cung EH của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECH.
\( \Rightarrow DE\) là tiếp tuyến tại E của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECH.
Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn lần lượt ngoại tiếp tam giác DBH và ECH.
Với đường tròn tâm O bán kính 2R (kí hiệu (O; 2R)) và đường tròn tâm O’ bán kính R (kí hiệu (O’; R)) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Lấy điểm B trên đường tròn (O; 2R) sao cho \(\widehat {BAO} = {30^0}\), tia BA cắt đường tròn (O’; R) tại điểm C (C khác điểm A). Tiếp tuyến của đường tròn (O’; R) tại điểm C cắt đường thẳng BO tại điểm E. Tính theo R diện tích tam giác ABE.
Câu trả lời của bạn
Cho đường tròn tâm O bán kính 2R (kí hiệu (O; 2R)) và đường tròn tâm O’ bán kính R (kí hiệu (O’; R)) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Lấy điểm B trên đường tròn (O; 2R) sao cho \(\widehat {BAO} = {30^0}\), tia BA cắt đường tròn (O’; R) tại điểm C (C khác điểm A). Tiếp tuyến của đường tròn (O’; R) tại điểm C cắt đường thẳng BO tại điểm E. Tính theo R diện tích tam giác ABE.
Tam giác OAB có \(OA = OB \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại \(O \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA} = {30^0}\)
Xét tam giác OAB có \(\widehat {AOB} = {180^0} - {30^0} - {30^0} = {120^0}\).
Tam giác O’AC có O’A = O’C \( \Rightarrow \Delta O'AC\) cân tại O’ \( \Rightarrow \widehat {O'CA} = \widehat {O'AC} = \widehat {OAB} = {30^0}\)
\( \Rightarrow \widehat {OBA} = \widehat {O'CA} = {30^0}\), mà hai góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow OB//O'C\)
\( \Rightarrow \widehat {AO'C} = \widehat {AOB} = {120^0}\)
Ta có \(\widehat {ACE} = \dfrac{1}{2}\widehat {AO'C} = {60^0}\)(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC).
Xét tam giác EBC có \(\widehat {OBA} + \widehat {ACE} = {30^0} + {60^0} = {90^0} \Rightarrow \Delta BCE\) vuông tại E.
Ta có
\(AC = R\sqrt 3 ;\,\,AB = 2R\sqrt 3 \)
\(\Rightarrow BC = AB + AC = R\sqrt 3 + 2R\sqrt 3 = 3R\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow EC = BC.\cos 60 = 3R\sqrt 3 .\dfrac{1}{2} = \dfrac{{3R\sqrt 3 }}{2}\)
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và AC.
\( \Rightarrow OH \bot AB,\;\;O'K \bot AC.\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)
Xét \(\Delta AOH\) vuông tại \(H\) có : \(AH = OA.\cos {30^0} = 2R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 .\)
\( \Rightarrow AB = 2AH = 2R\sqrt 3 .\)
Xét \(\Delta AO'K\) vuông tại \(K\) có : \(AK = O'A.\cos {30^0} = R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AC = 2AK = R\sqrt 3 .\\ \Rightarrow BC = AB + AC = 2R\sqrt 3 + R\sqrt 3 = 3R\sqrt 3 .\\ \Rightarrow {S_{BEC}} = \dfrac{1}{2}.BE.EC \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{1}{2}.3R\sqrt 3 .\dfrac{{3R\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{27R\sqrt 3 }}{4}.\end{array}\)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên đường tròn (O) lấy điểm C bất kì (C không trùng với A và B). Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt tia BC ở điểm D. Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng DO. Tia AH cắt đường tròn (O) tại điểm F (không trùng với A). Hãy chứng minh \(D{A^2} = DC.DB\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) \( \Rightarrow AC \bot BC\,\,hay\,\,\,AC \bot BD\).
Ta có:\(\widehat {DAB} = {90^0}\) ( Do DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD vuông tại A có đường cao AC ta có \(D{A^2} = DC.DB\).
A. \(10cm\)
B. \(\dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}cm\)
C. \(5\sqrt 3 cm\)
D. \(\dfrac{5}{{\sqrt 3 }}cm\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \)
\(\Rightarrow AC = \dfrac{{AB}}{{\tan C}} = \dfrac{5}{{\tan {{30}^0}}} = 5:\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)\(\, = 5\sqrt 3 cm.\)
Chọn C.
A. \(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
B. \(3\)
C. \(2\sqrt 2 \)
D. \(\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\)
Câu trả lời của bạn
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) ta có:
\(\sin B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow AB = 3AC.\)
Mà áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\)
\(\Leftrightarrow {\left( {3AC} \right)^2} = A{C^2} + B{C^2}\)
\( \Leftrightarrow 8A{C^2} = B{C^2} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}} = 8 \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{BC}}{{AC}} = 2\sqrt 2 = \tan A.\)
Chọn C.
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
Câu trả lời của bạn
\( \Rightarrow \left( {O;\;4cm} \right)\) tiếp xúc ngoài với \(\left( {I;\;2cm} \right).\)Ta có: \(OI = 6cm = 4 + 2 = R + r.\)
\( \Rightarrow \) Hai đường tròn này có 3 đường tiếp tuyến chung.
Chọn B.
A. \( - 5x\)
B. \(5\)
C. \( - 5\)
D. \(7\)
Câu trả lời của bạn
Hệ số góc của đường thẳng \(y = - 5x + 7\) là: \(a = - 5.\)
Chọn C.
Cho một hình chữ nhật có chu vi bằng 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng chiều dài thêm 1 cm và tăng chiều rộng thêm 2 cm thì diện tích của hình chữ nhật đó tăng thêm 25 cm2.
Câu trả lời của bạn
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \(x\;\left( {cm} \right),\) chiều rộng của hình chữ nhật là \(y\left( {cm} \right),\;\;\left( {0 < y < x < 14} \right).\)
Nửa chu vi của hình chữ nhật là: \(x + y = 28:2 \Leftrightarrow x + y = 14\;\;\;\;\left( 1 \right).\)
Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là: \(xy\;\;\left( {c{m^2}} \right).\)
Chiều dài mới của hình chữ nhật sau khi tăng thêm \(1\;cm\) là \(x + 1\;\;\left( {cm} \right).\)
Chiều rộng mới của hình chữ nhật sau khi tăng thêm \(2\;cm\) là \(y + 2\;\;\left( {cm} \right).\)
Diện tích của hình chữ nhật sau khi tăng chiều dài và chiều rộng là: \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 2x + y + 2\)\(\;\;\left( {c{m^2}} \right).\)
Theo đề bài ta có phương trình: \(xy + 2x + y + 2 = xy + 25 \)\(\,\Leftrightarrow 2x + y = 23\;\;\;\left( 2 \right).\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 14\\2x + y = 23\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 14 - x\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\;\;\;\left( {tm} \right)\\y = 5\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy chiều dài hình chữ nhật ban đầu là \(9\;cm,\) chiều rộng là \(5\;cm.\)
Với hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a. Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB một vòng ta được hình trụ có thể tích V1 và khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC một vòng thì được hình trụ có thể tích V2. Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)
Câu trả lời của bạn
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được khối trụ có chiều cao h1 = AB = 2a và bán kính đáy R1 = BC = a.
\( \Rightarrow {V_1} = \pi R_1^2{h_1} = \pi B{C^2}.AB = \pi .{a^2}.2a = 2\pi {a^3}\)
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh BC ta được khối trụ có chiều cao h2 = BC = a và bán kính đáy R2 = AB = 2a.
\( \Rightarrow {V_2} = \pi R_2^2{h_2} = \pi A{B^2}.BC = \pi .{\left( {2a} \right)^2}.a = 4\pi {a^3}\)
Vậy \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{2\pi {a^3}}}{{4\pi {a^3}}} = \dfrac{1}{2}\).
A. \(8cm\) B. -\(16cm\)
C. \(1,8cm\) D. \(4cm\)
Câu trả lời của bạn
Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:
\(A{B^2} = BH.BC\)
\(\Leftrightarrow A{B^2} = 3,2.5 = 16\)
\(\Leftrightarrow AB = 4cm.\)
Chọn D.
a) Bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn.
b) MH vuông góc với BC.
Câu trả lời của bạn
a) Bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn.
Vì M là trung điểm của AD \( \Rightarrow OM \bot AD\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
\( \Rightarrow \) Điểm M, H cùng nhìn OD dưới một góc 900.
\( \Rightarrow \) Tứ giác OHMD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
Vậy bốn điểm O, M, D, H cùng thuộc một đường tròn.
b) MH vuông góc với BC.
Kéo dài MH cắt BC tại E.
Xét tam giác vuông ADH có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD \( \Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}AD = MD \Rightarrow \Delta MHD\) cân tại M \( \Rightarrow \widehat {MHD} = \widehat {MDH} = \widehat {ADC}\)
Lại có \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).
\(\widehat {MHD} = \widehat {CHE}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \widehat {CHE} = \widehat {ABC}\).
Xét tam giác vuông BCH có \(\widehat {ABC} + \widehat {HCB} = {90^0} \)
\(\Rightarrow \widehat {CHE} + \widehat {HCB} = {90^0} \)
\(\Rightarrow \Delta CHE\) vuông tại E.
\( \Rightarrow HE \bot BC\).
Vậy \(MH \bot BC\).
A. 20cm
B. \(10\sqrt 2 cm\)
C. 10cm
D. \(10\sqrt 3 cm\)
Câu trả lời của bạn
Do các đường tròn \(\left( {A;3cm} \right);\,\,\left( {B;\;5cm} \right);\,\,\left( {C;2cm} \right)\) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau nên ta có:
\(\begin{array}{l}AB = 3 + 5 = 8\,\,\left( {cm} \right)\\AC = 3 + 2 = 5\,\,\left( {cm} \right)\\BC = 5 + 2 = 7\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)
Vậy chu vi tam giác ABC bằng \(8 + 5 + 7 = 20\,\,\left( {cm} \right)\).
Chọn đáp án A.
A. \(36\pi c{m^2}\)
B. \(12\pi c{m^2}\)
C. \(216\pi c{m^2}\)
D. \(72\pi c{m^2}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có diện tích mặt cầu đó là: \(S = 4\pi .{\left( {\dfrac{6}{2}} \right)^2} = 36\pi c{m^2}.\)
Chọn A.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *