Chương Hệ thức lượng trong tam giác vuông cung cấp cho các em kiến thức cần thiết về tam giác vuông, cách tính độ dài hình học, các góc lượng giác, mối liên hệ công thức của đường cao với các cạnh góc vuông, công thức tính diện tích, cực trị hình học...
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Đặt \(AB=c, BC=a, AC=b, AH=h, HC=b', HB=c'\). Ta có:
\(b^2=a.b'\)
\(c^2=a.c'\)
\(h^2=b'.c'\)
\(b.c=a.h\)
\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) hay \(h=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}\)
Các lưu ý:
\(tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }; cotg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }\)
\(tan\alpha .cotg\alpha =1 , sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\)
\(1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }; 1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }\)
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 2,4 và \(AH=\frac{60}{13}\). Tính chu vi tam giác ABC
Hướng dẫn: Ta có:
\(\frac{AB}{AC}=\frac{12}{5}\Leftrightarrow 5AB=12AC\)
\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{AB^2+\frac{25AB^2}{144}}=\frac{13AB}{12}\)
Ta có: \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow AB.\frac{5AB}{12}=\frac{13AB}{12}.\frac{60}{13}\)
\(\Leftrightarrow AB^2=12AB^2\)
Mà \(AB>0\Rightarrow AB=12\Rightarrow AC=5\Rightarrow BC=13\)
Vậy chu vi của hình tam giác là \(AB+AC+BC=5+12+13=30(dvdd)\)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có tỉ số cạnh \(\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}\). Tính cạnh BC theo AB và các góc của tam giác ABC
Hướng dẫn:
Đặt \(AB=x\)
\(\Rightarrow AC=x\sqrt{3}\)
Theo định lí Pytago, ta suy ra được \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{x^2+3x^2}=2x\)
Ta có: \(cosABC=\frac{AB}{BC}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(\widehat{ABC}=60^{\circ}\)
\(\Rightarrow \widehat{ACB}=30^{\circ}\), \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\)
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AC=9, BC=11. Giá trị của sinB và cosB lần lượt là
Hướng dẫn: Ta có: \(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{11^2-9^2}=2\sqrt{10}\)
\(sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{9}{11}\)
\(cosB=\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{10}}{11}\)
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có \(BC=10 ,\widehat{C}=30^{\circ}\). \(S_{\Delta ABC}\) có giá trị là:
Hướng dẫn:
Ta có: \(cosC=\frac{AC}{BC}\Leftrightarrow cos30^{\circ}=\frac{AC}{10}\)
\(\Rightarrow AC=5\sqrt{3}\)
\(sinC=\frac{AB}{BC}\Leftrightarrow sin30^{\circ}=\frac{AB}{10}\)
\(\Rightarrow AB=5\)
\(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.5.5\sqrt{3}=\frac{25\sqrt{3}}{2}(dvdt)\)
Qua bài giảng giúp các em nắm được các nội dung:
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Chương 1 Bài 6để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Một cột đèn cao 15m. tại một thời điểm tia sáng mặt trời tạo với mặt đất 1 góc 60 độ. Hỏi bóng của cột đèn đó trên mặt đất dài bao nhiêu
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \(AB=4;AC=5\). Giá trị của sinABC là:
Câu 3-7: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Chương 1 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
Bài tập I.1 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập I.2 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập I.3 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập I.4 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập I.5 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 80 trang 119 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 81 trang 119 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 82 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 83 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 84 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 85 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 86 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 87 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 88 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 89 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 90 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 91 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 92 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 93 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 94 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 95 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 96 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 97 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 98 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 1 trang 91 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 2 trang 91 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 3 trang 91 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 4 trang 91 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 33 trang 93 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 34 trang 93 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 35 trang 94 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 36 trang 94 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 37 trang 94 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 38 trang 95 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 39 trang 95 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 40 trang 95 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 41 trang 96 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 42 trang 96 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 43 trang 96 SGK Toán 9 Tập 1
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Một cột đèn cao 15m. tại một thời điểm tia sáng mặt trời tạo với mặt đất 1 góc 60 độ. Hỏi bóng của cột đèn đó trên mặt đất dài bao nhiêu
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \(AB=4;AC=5\). Giá trị của sinABC là:
Cho góc nhọn \(\alpha\) biết rằng: \(cos\alpha -sin\alpha =\frac{1}{3}\) Giá trị của \(sin \alpha .cos \alpha\) là:
Tam giác ABC vuông tại A có \(BC=AB\sqrt{2}\). Biết đường cao \(AH=10\). Diện tích tam giác vuông đó là:
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=10. \(\widehat{B}=60^{\circ}\). đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, AC
Giá trị của biểu thức \(S=AE.AB+AF.FC\) là bao nhiêu?
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Khẳng định nào đúng?
Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH. Tìm khẳng định sai?
Tam giác ABC có \(\widehat A = {105^0};\widehat B = {45^0}\), BC = 4cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính cos(MAN).
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH. Hãy tính góc A và các cạnh AB, BC, nếu biết BH = h, \(\widehat C = \alpha \)
Hình bình hành ABCD có \(\widehat A = {120^0}\), AB = a, BC = b. Các đường phân giác của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ. Tính diện tích tứ giác MNPQ.
Cho tam giác ABC vuông tại C có ∠B = 370. Gọi I là giao điểm của cạnh BC với đường trung trực của AB. Hãy tính AB, AC nếu biết BI = 20.
Hãy tính sin α và tg α nếu:
a. cos α = 5/13
b. cos α = 15/17
c. cos α = 0,6
Hãy đơn giản các biểu thức:
a. 1 – sin2α
b. (1 - cos α)(1 + cos α)
c. 1 + sin2α + cos2α
d. sin α - sin α cos2α
e. sin4α + cos4α + 2sin2α cos2α
g. tg2α – sin2α tg2α
h. cos2α + tg2α cos2α
i. tg2α.(2cos2α + sin2α – 1)
Trong một tam giác với các cạnh có độ dài 6, 7, 9, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tìm độ dài đường cao này và các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh lớn nhất đó.
Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân, nếu đường cao kẻ xuống đáy có độ dài là 5 và đường cao kẻ xuống cạnh bên có độ dài là 6.
Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC
a. Chứng minh DE/DB = DB/DC
b. Chứng minh tam giác BDE đồng dạng tam giác CDB
c. Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng 2 cách:
Cách 1: Sử dụng kết quả ở câu b
Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác
Tính góc α tạo bởi hai mái nhà, biết rằng mỗi mái nhà dài 2,34m và cao 0,8m
Cho hình bên.
Biết AD ⊥ DC, \(\widehat {DAC} = {74^0};\widehat {AXB} = {123^0}\) , AD = 2,8cm, AX = 5,5cm, BX = 4,1cm.
a. Tính AC
b. Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY // BX. Hãy tính XY
c. Tính diện tích tam giác BCX
Tam giác ABC có \(\widehat A = {20^0};\widehat B = {30^0}\) , AB = 60cm. Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P. Hãy tìm:
a. CP
b. AP, BP
Điểm hạ cánh của một máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B. Biết khoảng cách giữa hai người này là 300m, góc “nâng” để nhìn thấy máy bay tại vị trí A là 400 và tại vị trí B là 300 (hình bên). Hãy tìm độ cao của máy bay
Cho hình thang với đáy nhỏ là 15cm, hai cạnh bên bằng nhau và bằng 25cm, góc tù bằng 1200. Tính chu vi và diện tích hình thang đó.
Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm.
a. Tính BC, góc B , góc C
b. Phân giác của góc A cắt BC ở D. Tính BD, CD
c. Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF
Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC
Biết AD = 5a, AC = 12a
a. Tính \(\frac{{\sin \widehat B + \cos \widehat B}}{{\sin \widehat B - \cos \widehat B}}\)
b. Tính chiều cao của hình thang ABCD
Cho tam giác ABC, AB = AC = 10cm, BC = 16cm. Trên đường cao AH lấy điểm I sao cho AI =\(\frac{1}{3}\).AH. Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tia BI tại D
a. Tính các góc của tam giác ABC
b. Tính diện tích tứ giác ABCD
Cho tam giác ABC, biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.
a. Chứng minh tam giác ABC vuông
b. Tính sin\({\widehat B}\), sin\({\widehat C}\)
Cho hình thang ABCD. Biết hai đáy AB = a và CD = 2a, cạnh bên AD = a, góc A = 900
a. Chứng minh tg\({\widehat C}\) = 1
b. Tính tỉ số diện tích tam giác BCD và diện tích hình thang ABCD
c. Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác BCD
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
cho a,b,c là các số thực thỏa mãn abc=1;\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\).CMR có ít nhất 1 trong 3 số bằng 1
Câu trả lời của bạn
theo đề bài:\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)và abc=1
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-bc-ab-ac=0\)
\(\Leftrightarrow abc+a+b+c-ab-bc-ac-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(abc-ab\right)-\left(ac-a\right)-\left(bc-b\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-1\right)\left(ab-a-b+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
........bạn giải tiếp......
chứng minh rằng trong một tam giác nhọn bình phương 1 cạnh bằng tổng bình phương 2 cạnh còn lại trừ 2 lần tích 2 cạnh ấy với cô sin góc xen giữa 2 cạnh
các bạn giúp mình vs mình cảm ơn
Câu trả lời của bạn
cái này mình nghĩ lên lớp 10 học tích vô hướng thì cm sẽ dễ hơn còn với cách cm lớp 9 thì mình chưa nghĩ ra
Câu trả lời của bạn
a/vì BD\(\perp\) AC nên ^HDA=900
CE\(\perp\)AB nên ^HEA=900
Mà ^HDA+^HEA=900+900=1800
\(\Rightarrow\)tứ giác ADHE nội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 1800)
b/Có ^CDB=^CEB=900
\(\Rightarrow\)Tứ giác CDEB nội tiếp (hai đỉnh kề nhau D,E bằng nhau cùng nhìn cạnh BC)
c/ta có ^ACB là góc nội tiếp nên ^ACB=\(\dfrac{1}{2}\)sđ cung nhỏ AB
=>500=\(\dfrac{1}{2}\) sđ cung nhỏ AB =>sđ cung nhỏ AB=100
Cho a , b , c > 0 Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Câu trả lời của bạn
Với a , b , c > 0
Ta có: \(a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) \(a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{a+b}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4b}+\frac{1}{4a}\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có được:
\(\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (2)
và \(\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\) (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( ĐPCM)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Từ A kẻ tiếp tuyến xy với đường tròn, trên xy lấy điểm M, MB cắt đường tròn (O) tại N, gọi H là trung điểm của BN (Toán học - Lớp 9)
a/ chứng minh 4 điểm A, M, H, O cùng nằm trên 1 đường tròn. Xác đinh tâm I
b/ chứng minh BH * BM = 2R^2
Câu trả lời của bạn
a) gọi I là trung điểm của OM => IO=IN=1/2OM (1)
Xét đg tròn(O), đg kính AB, dây BN ko đi qua tâm có: OH đi qua trung điểm H của BN
=> OH vuông góc vs BN
Xét tam giác HOM vuông tại H có: IH là trung tuyến ứng vs OM => IH=1/2OM (2)
Xét tam giác AOM vuông tại A có: IA là trung tuyến ứng vs OM => IA=1/2OM (3)
Từ (1),(2) và (3) => IO=IM=IH=IA => 4 điểm A, M, O,H cùng thuộc đg tròn (I)
b) Xét tam giác BHO và tam giác BAM có:
góc BHO= góc BAM(cùng =90 độ)
góc B là góc chung
=> tam giác BHO đồng dạng vs tam giác BAM(g.g)
=> \(\frac{BH}{AB}=\frac{OB}{BM}\)=> BH*BM= AB*OB=> BH*BM= 2R*R=2R\(^2\)
Có chỗ nào thiếu thì thông cảm nha. Mk làm hơi tắt tí :P
Cho \(n\in N\) và n>1
Chứng minh: \(A=n^4+4^n\) là hợp số
Câu trả lời của bạn
Với n chẵn thì:
\(\left(n^4+4^n\right)⋮2\) mà \(\left(n^4+4^n\right)>2\) nên là hợp số
Với n lẻ thì:
\(4^n\equiv-1\left(mod5\right)\)
\(n^4\equiv1\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow\left(n^4+4^n\right)\equiv0\left(mod5\right)\)
Mà \(\left(n^4+4^n\right)>5\) nên \(\left(n^4+4^n\right)\) là hợp số
Vậy với mọi n tự nhiên và \(n>1\) thì A là hợp số
từ 1 điểm A nằm ngoài (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B,C là tiếp điểm ).trên cung nhỏ BC lấy một điểm M,vẽ MI vuông góc với AB,MK vuông góc với AC(I thuộc AB,K thuộc AC)
a,chúng minh AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn
b,vẽ MP vuông góc với BC(P thuộc BC).chứng minh góc MPK=góc MBC
c,xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt GTLN
Câu trả lời của bạn
a) MI vuông góc AB -> góc AIM = 90 độ
MK vuông góc AC -> gócMKA = 90 độ
XÉT tứ giác AIMK có góc AIM + góc MKA = 90 + 90 = 180 độ
-> tứ giác nội tiếp
cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn (a2+b2-2)(a+b)2+(1-ab)2 =-4ab
chứng minh: \(\sqrt{1+ab}\) là số hữu tỉ
Câu trả lời của bạn
Bạn gì đó ơi! Cho mình hỏi đề này bạn lấy ở đâu vậy ạ?
Từ giả thiết \(\left(a^2+b^2-2\right)\left(a+b\right)^2+\left(1-ab\right)^2=-4ab\)
Ta suy ra được \(\left(a^2+b^2-2\right)\left(a+b\right)^2+\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a^2+b^2+2ab\right)-2\left(1+ab\right)\right]\left(a+b\right)^2+\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-2\left(1+ab\right)\right]\left(a+b\right)^2+\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^4-2\left(1+ab\right)\left(a+b\right)^2+\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^2-\left(1+ab\right)^2\right]^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(1+ab\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)^2=\left(a+b\right)^2\)
Tới đây bạn tự giải tiếp :)
cho tam giác ABC trung tuyến AM . chứng minh rằng AB2 +AC2=2AM2+\(\frac{BC^2}{2}\)
Câu trả lời của bạn
kẻ AH\(\perp BC\left(H\in BC\right)\)
ta có: AB2+AC2=AH2+BH2+AH2+HC2
= 2AH2+(MB-MH)2+(MC+MH)2
=2AH2+MB2+MH2-2MB.MH+MC2+MH2+2MC.MH
=2(AH2+MH2)+2MB2(vì MB=MC)
=2AM2+2.\(\frac{BC^2}{4}\)=\(2AM^2+\frac{BC^2}{2}\)(đfcm)
vậy \(AB^2+AC^2=2AM^2+\frac{BC^2}{2}\)
cho x,y,z >0 thỏa \(x^2+y^2+z^2=3\) CMR
\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge xy+yz+xz\)
Câu trả lời của bạn
solution:
ta có: \(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow xyz\le1\)(theo BĐT cauchy cho 3 số )
\(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{z};yz\le\dfrac{1}{x};xz\le\dfrac{1}{y}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}=x\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^4}\)
tương tự ta có:\(\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}\ge\sqrt[3]{y^4};\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{z^4}\)
cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế:
\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky ta có:
\(\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(\sqrt[3]{x^8}+\sqrt[3]{y^8}+\sqrt[3]{z^8}\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Rightarrow S\ge x^2+y^2+z^2\)
đến đây ta lại có BĐT quen thuộc: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow S\ge xy+yz+xz\left(đpcm\right)\)
dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z mà x2+y2+z2=3 => x=y=z=1
*cách khác : Áp dụng BĐT cauchy - schwarz(bunyakovsky):
\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x^4}{x^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}+\dfrac{y^4}{y^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}}+\dfrac{z^4}{z^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{z}}}\)
\(S\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
CMR
\(\dfrac{1}{1^2+2^2}+\dfrac{1}{2^2+3^2}+\dfrac{1}{3^2+4^2}+...+\dfrac{1}{2016^2+2017^2}< \dfrac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
(a - b)2 \(\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
=> \(\frac{1}{a^2+b^2}< \frac{1}{2ab}\left(a;b>0;a\ne b\right)\)
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(\frac{1}{1^2+2^2}+\frac{1}{2^2+3^2}+\frac{1}{3^2+4^2}+...+\frac{1}{2016^2+2017^2}< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2016.2017}\right)\)
\(< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right)\)
\(< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2017}\right)< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Chứng minh 20x - 1 là hợp số với x nguên, x>1.
Câu trả lời của bạn
X> 1 , nên X+1 > 0, X+1 là số nguyên >1
Theo định lý Fermat ta có :
\(20^{X}\equiv 1 \pmod {X+1} \) \(\Rightarrow\) \(20^X -1 \equiv 0 \pmod{X+1}\) \(\Rightarrow\) \(20^X - 1 \) là hợp số
Vậy \(20^X -1\) hợp số với X nguyên, X>1
cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CM: \(b+c\ge16abc\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(b+c=\left(b+c\right).\left(a+b+c\right)^2\) (vì a+b+c=0)
Mà \(\left(a+b+c\right)^2=\left[\left(b+c\right)+a\right]^2\ge4\left(b+c\right).a\)
Do đó \(\left(b+c\right).\left(a+b+c\right)^2\ge4\left(b+c\right)^2.a\ge4.4bc.a=16abc\)vì (b+c)^2>=4bc
dấu = xảy ra thì tự tìm nha bạn
Cho đường tròn (O),đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a. Chứng minh rằng: NE vuông góc AB
b. Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. chứng minh rằng FA là tiếp tuyến của (O)
c. chứng minh: FN là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA)
d. chứng minh: BM.BF= BF2 -FN2
(Mọi người ai bik câu nào thì giải hộ mk với)
Câu trả lời của bạn
a) Ta có: góc AME = 90 độ (góc nt chắn nửa đt)
=> AN vuông góc EM tại M
Mặt khác: ACN = 90 độ (góc nt chắn nửa đt)
=> AE vuông góc CN tại C
Xét tam giác ANE có : NC và EM là các đường cao
=> B là trực tâm tam giác ANE
=> AB vuông góc NE (t/c trực tâm tam giác)
b) Ta có M là trung điểm AN (t/c đối xứng)
và M cũng là trung điểm EF (t/c đói xứng)
Do đó tứ giác AENF là hính bình hành
=> FA song song NE
Mà NE vuông góc AB (cmt)
=> FA vuông góc AB tại A thuộc (O)
Vậy FA là tiếp tuyến của đt (O)
c)Ta có M là trung điểm AN (t/c đối xứng)
AN vuông góc BF tại M (góc AMB =90 độ)
=> BF là đường trung trực của AN
Xét tam giác AFB và tam giác NFB có
1/ BF cạnh chung
2/ FA = FN (t/c đ trung trực)
3/ BA = BN (t/c đ trung trực)
=> tam giác AFB = tam giác NFB
=> góc FAB = góc FNB
Mà FAB = 90 độ (cmt)
=> góc FNB bằng 90 độ
=> FN vuông góc với BN tại N thuộc (B;BN)
Mà BN = AB
=> FN là tiếp tuyến cửa đt (B;AB)
cho các số thực dương x,y,z thỏa x+2y+3z=18 CMR
\(\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+\dfrac{3z+x+5}{1+2y}+\dfrac{x+2y+5}{1+3z}\ge\dfrac{51}{7}\)
Câu trả lời của bạn
\(VT+3=\left(x+2y+3z+6\right)\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\right)\)
= \(24\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\right)\)
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\ge\dfrac{9}{3+x+2y+3z}=\dfrac{9}{21}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{24.9}{21}-3=\dfrac{51}{7}\)
dấu = xảy ra khi x=2y=3z=6 hay x=6,y=3,z=2
Cho a,b,c không âm thỏa mãn: a + b + c = 1006
Chứng minh rằng : \(\sqrt{2012a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}+\sqrt{2012b+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2}}+\sqrt{2012c+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le2012\sqrt{2}\)
Câu trả lời của bạn
Gọi VT là P
Ta có:
\(\sqrt{2012a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}=\sqrt{2a\left(a+b+c\right)+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}=\sqrt{\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2-4bc}{2}}\le\dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2012b+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2}}\le\dfrac{2b+c+a}{\sqrt{2}}\left(2\right)\\\sqrt{2012c+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2}}\le\dfrac{2c+a+b}{\sqrt{2}}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(P\le\dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}+\dfrac{2b+c+a}{\sqrt{2}}+\dfrac{2c+a+b}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{4}{\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=2012\sqrt{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1006,0,0;0,1006,0;0,0,1006\right)\)
Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 < 2(1 - abc)
Câu trả lời của bạn
Trong 1 tam giác thì ta có:
a < b + c
--> a + a < a + b + c
--> 2a < 2
--> a < 1
Tương tự ta có : b < 1, c < 1
Suy ra: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0
⇔ (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0
⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0
⇔ 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc
Nên abc < -1 + ab + bc + ca
⇔ 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2
=) ĐPCM
Cho \(\Delta ABC\) và đường cao AH. \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\). CM : \(\Delta ABC\) vuông tại A. Hung nguyen,Xuân Tuấn Trịnh,Ace Legona,Nguyễn Trần Thành Đạt.......
Câu trả lời của bạn
mình chia làm 2 trường hợp
*Trường hợp 1:nếu được dùng định lí
+b2=a.b';
+c2=a.c';
+h2=b'.c'
Bây giờ ta chỉ cần biến đổi điều phải chứng minh. Ta biến đổi như sau:
\(\dfrac{1}{BH.HC}=\dfrac{1}{HB.BC}+\dfrac{1}{HC.BC}\)
<=>BC=HB+HC luôn đúng
=>điều phải chứng minh
*Trường hợp 2:nếu không được sử dụng các hệ thức trên thì ta sẽ đi chứng minh các hệ thức
+b2=a.b'
xét hai tam giác vuông ABH và CBA:
Có ABC^ chung
=>\(\Delta ABH\approx\Delta CBA\)
=>\(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BH}{AB}=>AB^2=BH.BC\)(1)
tương tự ta cũng chứng minh được :AC2=HC.BC(2)
+h2=b'.c'
ta có \(\Delta ABH\approx\Delta CBA\)(cmt)
\(\Delta CAH\approx\Delta CBA\left(cmt\right)\)
=>\(\Delta ABH\approx\Delta CAH\)
=>\(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BH}{AH}=>AH^2=BH.CH\)(3)
Từ (1);(2) và (3),kết hợp với cách giải ở trường hợp 1=>điều phải chứng minh
Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có:
\(\left(a+b+c\right)^3-\left(a+b-c\right)^3-\left(b+c-a\right)^3-\left(a+c-b\right)^3⋮96\)
Câu trả lời của bạn
tớ nghĩ là theo nguyên lí ''thỏ'' và''chuồng''
cho 2 đường tròn (O\(_1\)), (O\(_2\)) tiếp xúc ngoài. đường thẳng d tiếp xúc với 2 đường tròn (O\(_1\)), (O\(_2\)) lần lượt tại A, B. vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O\(_1\)) và (O\(_2\)) và tiếp xúc với đường thẳng d tại C. gọi bán kính các đường tròn (O),(O\(_1\)), (O\(_2\)) lần lượt là R, R\(_1\), R\(_2\). cmr
\(\frac{1}{\sqrt{R}}=\frac{1}{\sqrt{R_1}}+\frac{1}{\sqrt{R_2}}\)
Câu trả lời của bạn
35 chac chan 100% thu zui
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *