Nội dung bài Ôn tập chương III Vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian sẽ giúp các em hệ thống những nội dung kiến thức trọng tâm của toàn chương từ đó làm nền tảng để các em có thể giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
\(a \bot b \Leftrightarrow (a,b) = {90^0}.\)
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
\(a \bot (\alpha ) \Leftrightarrow \forall b \subset (\alpha ):a \bot b\)
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
\((\alpha ) \bot (\beta ) \Leftrightarrow ((\alpha ),(\beta )) = {90^0}\)
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆).
Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
\(\left. \begin{array}{l} a \cap b\\ a,b \subset (P)\\ d \bot a,d \bot b \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (P)\)
\(\left. \begin{array}{l} a \subset (P)\\ d \bot (P)\\ \forall a \subset (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot a\)
\(\left. \begin{array}{l} d \bot (P)\\ d \subset (Q) \end{array} \right\} \Rightarrow (P) \bot (Q)\)
\(\left. \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ (P) \cap (Q) = \Delta \\ d \subset (P)\\ d \bot \Delta \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (Q)\)
\(\left. \begin{array}{l} \left( P \right) \cap (Q) = \Delta \\ \left( P \right) \bot (R)\\ \left( Q \right) \bot (R) \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta \bot \left( R \right)\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB = a\sqrt 2 ,\) \(AD = a\sqrt 3\); SA vuông góc với mặt đáy và SA=2a.
a) Chứng minh CD vuông góc với (SAD).
b) Chứng minh \((SAB) \bot (SBC)\), tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
c) Gọi \(\varphi\) góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD). Tính \(\cos \varphi\).
a) \(CD \bot AD\) (vì ABCD là hình chữ nhật).
\(CD \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))
Suy ra: \(CD \bot (SAD).\)
b) \(BC \bot AB\) (vì ABCD là hình chữ nhật).
\(BC \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))
Suy ra: \(BC \bot (SAB)\).
Mà \(BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \bot (SAB)\).
AD//(SBC)\(\Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))\)
Hạ AH vuông góc SB tại H. Suy ra \(AH \bot (SBC)\).
Do đó: \(d(A,(SBC)) = AH.\)
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\)
Suy ra: \(d(D,(SBC)) = AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).
c) Gọi M là trung điểm của SA. Suy ra MO//SC.
Do đó góc giữa SC và (SBD) bằng góc giữa MO và (SBD).
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BD \bot AK\\ BD \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot (SAK) \Rightarrow (SBD) \bot (SAK)\)
Hạ MN vuông góc với SK tại N. Suy ra: \(MN \bot (SBD)\).
Suy ra hình chiếu vuông góc của MO lên (SBD) là NO.
Suy ra góc giữa MO và (SBD) là góc \(\widehat {MON}\).
Trong tam giác vuông MNO tại N có: \(\sin \widehat {MON} = \frac{{MN}}{{MO}}\)
Hạ AP vuông góc với SK tại P. Suy ra \(MN = \frac{1}{2}AP\).
Ta có: \(\frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}}\)
Mà: \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}\)
Vậy: \(AP = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\). Suy ra: \(MN = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\).
Ta có: \(MO = \sqrt {A{M^2} + O{A^2}} = \frac{{3a}}{2}.\)
Suy ra: \(\sin \widehat {MON} = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \Rightarrow \cos \varphi = \sqrt {\frac{{35}}{{39}}}.\)
Nội dung bài Ôn tập chương III Vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian sẽ giúp các em hệ thống những nội dung kiến thức trọng tâm của toàn chương từ đó làm nền tảng để các em có thể giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Bài 6: Ôn tập chương III - Hình học 11để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến (BCD) là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD) vì:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = \(\frac{a}{2}\). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Bài 6: Ôn tập chương III - Hình học 11 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 3 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 4 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 5 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 6 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 7 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 8 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 9 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 10 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 1 trang 121 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 121 SGK Hình học 11
Bài tập 3 trang 121 SGK Hình học 11
Bài tập 4 trang 121 SGK Hình học 11
Bài tập 5 trang 121 SGK Hình học 11
Bài tập 6 trang 122 SGK Hình học 11
Bài tập 7 trang 122 SGK Hình học 11
Bài tập 3.41 trang 161 SBT Hình học 11
Bài tập 3.42 trang 161 SBT Hình học 11
Bài tập 3.43 trang 161 SBT Hình học 11
Bài tập 3.44 trang 162 SBT Hình học 11
Bài tập 3.45 trang 162 SBT Hình học 11
Bài tập 3.46 trang 162 SBT Hình học 11
Bài tập 3.47 trang 162 SBT Hình học 11
Bài tập 3.49 trang 163 SBT Hình học 11
Bài tập 3.50 trang 163 SBT Hình học 11
Bài tập 3.51 trang 163 SBT Hình học 11
Bài tập 3.52 trang 163 SBT Hình học 11
Bài tập 3.53 trang 163 SBT Hình học 11
Bài tập 3.54 trang 164 SBT Hình học 11
Bài tập 3.55 trang 164 SBT Hình học 11
Bài tập 3.56 trang 164 SBT Hình học 11
Bài tập 3.57 trang 164 SBT Hình học 11
Bài tập 3.58 trang 164 SBT Hình học 11
Bài tập 3.59 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.60 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.61 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.62 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.63 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.64 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.65 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.66 trang 166 SBT Hình học 11
Bài tập 3.67 trang 166 SBT Hình học 11
Bài tập 3.68 trang 166 SBT Hình học 10
Bài tập 3.69 trang 166 SBT Hình học 11
Bài tập 3.70 trang 167 SBT Hình học 11
Bài tập 3.71 trang 167 SBT Hình học 11
Bài tập 3.72 trang 167 SBT Hình học 11
Bài tập 3.73 trang 168 SBT Hình học 11
Bài tập 1 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 2 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 3 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 4 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 5 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 6 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 7 trang 121 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 8 trang 121 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 1 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 2 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 3 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 4 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 5 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 6 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 7 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 8 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 9 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 10 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 11 trang 124 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 12 trang 124 SGK Hình học 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến (BCD) là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD) vì:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = \(\frac{a}{2}\). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = \(\frac{a}{2}\). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng:
Cho hình tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bẳng a. gọi O là tâm của đáy ABCD. Gọi M là trung điểm của SC. Hai mặt phẳng (SAC) và (MBD) vuông góc với nhau vì:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc nhọn bằng 600 và cạnh SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC = \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có SA \( \bot \)( ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = \(a\sqrt 5 \) và BC=\(a\sqrt 2 \). Tính khoảng cách giữa SD và BC
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông tại B, AB=BC=a, cạnh bên AA′=\(\sqrt 2 \). Gọi M là trung điểm BC. Tính d(AM;B′C).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc nhọn bằng 600 và cạnh SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC = \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Từ O kẻ OK ⊥ SA, độ dài OK là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến (SAB) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
Nhắc lại định nghĩa vectơ không gian. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Hãy kể tên những vectơ bằng \(\overrightarrow{AA'}\) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của hình lăng trụ.
Trong không gian cho ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b},\vec{c}\) đều khác vectơ không . Khi nào ba véc tơ đó đồng phẳng?
Trong không gian, hai đường thẳng không cắt nhau có thể vuông góc nhau không? Giả sử hai đường thẳng a, b lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec u\) và \(\vec v\). Khi nào ta có thể kết luận a và b vuông góc nhau?
Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) có cần chứng minh a vuông góc với mọi đường thẳng của \((\alpha )\) hay không?
Nhắc lại nội dung định lí ba đường thẳng vuông góc.
Nhắc lại định nghĩa:
a) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
b) Góc giữa hai mặt phẳng.
Muốn chứng minh mặt phẳng \((\alpha )\) vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) thì phải chứng minh như thế nào?
Hãy nêu cách tính khoảng cách:
a) Từ một điểm đến một đường thẳng;
b) Từ đường thẳng a đến mặt phẳng \((\alpha )\) song song với a;
c) Giữa hai mặt phẳng song song.
Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau này bằng những cách nào?
Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác ABC là đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
a) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song;
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song;
c) Mặt phẳng (\(\alpha\)) vuông góc với đường thẳng b và b vuông góc với thẳng a, thì a song song với (\(\alpha\)).
d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song.
e) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.
Các điều khẳng định sau đây, điều nào đúng?
a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại.
b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác cho trước.
d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Mặt phẳng (\(\alpha\)) đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB, AC, SD tại B', C', D'. Chứng minh B'D' song song với BD và AB' vuông góc với SB.
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc \(\widehat{BAD} = 60^o\). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SO = \frac{3a}{4}\). Gọi E là trung điểm của đoạn BC và F là trung điểm của đoạn BE.
a) Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác ABC vuông tại A có A vuông tại D có CD = a.
a) Chứng minh các tam giác BAD và BDC là các tam giác vuông.
b) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của Ad và BC. Chứng minh IK là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D'cạnh a.
a) Chứng minh BC' vuông góc với mặt phẳng (A'B'CD).
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB' và BC'.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc \(\widehat{BAD}=60^0\) và \(SA=SB=SD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) và độ dài cạnh SC.
b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
c) Chứng minh SB vuông góc với SC.
d) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). Tính tan φ.
Trong các khẳng định sau đây khẳng định nào đúng? khẳng định nào sai?
a) Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với b.
b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
c) Một mặt phẳng (α) và một đường thẳng a cùng vuông góc với đường thằng b thì a // (α).
d) Hai mặt phẳng (α) và (β) phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng (γ) thì (α) // (β).
e) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.
f) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.
Xét các khẳng định sau đây xem khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
a) Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
b) Qua một đường thẳng, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
c) Qua một điểm, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
d) Cho hai đường thẳng a và b. Nếu có mặt phẳng (α) không chứa cả a và b thì a và b chéo nhau.
Trên mặt phẳng (α) cho hình vuông ABCD. Các tia Ax, By, Cz, Dt vuông góc với mặt phẳng (α) và nằm về một phía đối với mặt phẳng (α). Một mặt phẳng (β) lần lượt cắt Ax, By, Cz, Dt tại A', B', C', D'.
a) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì? Chứng minh rằng AA′ + CC′ = BB′ + DD′ = 2OO′.
b) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình thoi là nó có hai đỉnh đối diện cách đều mặt phẳng (α).
c) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình chữ nhật là nó có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng (α).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
A. Chỉ với AC.
B. Chỉ với BF.
C. Chỉ với AC và BF.
D. Hoặc với AC hoặc với BF.
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AC \bot DB\\AC \bot BE\,\,(\,(ABEF) \bot (ABCD)\, \Rightarrow BE \bot (ABCD))\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (BDE) \Rightarrow AC \bot DE\\\left\{ \begin{array}{l}FB \bot AE\\FB \bot AD\,\,((ABEF) \bot (ABCD) \Rightarrow AD \bot (ABEF))\end{array} \right.\, \Rightarrow FB \bot (ADE)\, \Rightarrow FB \bot DE\,\end{array}\)
Chọn đáp án C.
A. M là tâm hình bình hành ABB' A'
B. M là tâm hình bình hành BCC 'B'
C. M là trung điểm BB'
D. M là trung điểm CC '.
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {DB} \\ \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {DB} \end{array}\)
Vậy M là trung điểm của BB’.
Chọn đáp án C.
A. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \).
B. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \).
C. \(\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OD} \).
D. \(\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OD} \).
Câu trả lời của bạn
Với ABCD là hình bình hành, ta lấy I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Ta có \(\overrightarrow {OI} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right),\,\,\overrightarrow {OI} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right)\,\, \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \) .
Ngược lại, với \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \). Lấy I’ là trung điểm AC, ta có \(\overrightarrow {OI'} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) \Rightarrow OI' = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right)\) , suy ra I’ là trung điểm của BD.
Vậy ABCD là hình bình hành.
Chọn đáp án B.
A. \(x = \dfrac{1}{3}\).
B. \(x = \dfrac{1}{4}\).
C. \(x = \dfrac{2}{3}\).
D. \(x = 3\).
Câu trả lời của bạn
Lấy K là điểm thuộc BC sao cho \(\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {KC} \) , lấy H thuộc CD’ sao cho\(\overrightarrow {D'C} = 3\overrightarrow {HC} \) . Với \(x = \dfrac{1}{3}\) thì ta có \(NH\, = \dfrac{1}{3}CD = KM,\,NH//\,KM\) nên KMNH là hình bình hành. Do đó MN // KH mà KH // BD’, suy ra BD’ // MN \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {BD'} \) cùng phương.
Chọn đáp án A.
A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ABS.
B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc SOA (O là tâm hình vuông ABCD ).
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc SDA
D. \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right.\,\, \Rightarrow BC \bot (SAB)\,\, \Rightarrow BC \bot SB\\BC \bot AB\end{array}\)
Lại có (SBC) và (ABCD) có BC chung , \(SB \subset (SBC),\,AB \subset (ABCD)\) suy ra \(\left( {(SBC),(ABCD)} \right) = \left( {AB,SA} \right) = \widehat {SBA}\)
Xét hai mp (ABCD) và (SBD) có BD chung, \(AO \bot BD,\,SO \bot BD\) ( do \(\Delta SAB = \Delta SAD\, \Rightarrow SD = SB\)), suy ra góc giữa ha imp (ABCD) và (SBD) là \(\widehat {SOA}\) .
\(SA \bot (ABCD),\,SA \subset (SAD)\)suy ra hai mp (ABCD ) và (SAD) vuông góc với nhau, khác \(\widehat {SDA}\) .
Chon đáp án C.
A. \(OI \bot \left( {ABCD} \right)\).
B. (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD.
C. \(BD \bot SC\).
D. SA = SB = SC.
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DB \bot AC\,\\DB \bot SA\end{array} \right.\, \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow DB \bot SC\).
Do I, O là trung điểm của SC, AC nên OI // SA \( \Rightarrow \,\,OI \bot (ABCD)\).
ABCD là hình vuông nên AC và BD vuông góc với nhau mà O là tâm ABCD nên O là trung điểm của BD, tức là (SAC) là mp trung trực của đoạn BD.
Do tam giác SAB, SAC vuông tại A nên SA, SB, SC không bằng nhau.
Chọn đáp án D.
A. \(BC \bot SB\)
B. \(\left( {SAC} \right)\)là mặt phẳng trung trực của đoạn BD.
C. \(IO \bot \left( {ABCD} \right)\).
D. Tam giác SCD vuông ở D.
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\,\,(\,SA \bot (ABCD))\end{array} \right.\, \Rightarrow \,\,BC \bot (SAB)\, \Rightarrow BC \bot SB\\\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\,\,(SA \bot (ABCD))\end{array} \right.\, \Rightarrow CD \bot (SAD)\,\, \Rightarrow CD \bot SD\end{array}\)
Do đó, tam giác SCD vuông tại D.
Do I, O là trung điểm của SC, AC nên OI // SA \( \Rightarrow \,\,OI \bot (ABCD)\).
ABCD là hình chữ nhật nên AC và BD không vuông góc với nhau, suy ra (SAC) không là mp trung trực của BD.
Chọn đáp án B.
A. O là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD).
B. A là hình chiếu vuông góc của C lên mp (SAB).
C. Trung điểm của AD là hình chiếu vuông góc của C lên mp (SAD).
D. O là hình chiếu vuông góc của B lên mp (SAC).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(SA \bot (ABCD)\) nên hình hiếu vuông góc của S lên (ABCD) là A.
ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\) , suy ra tam giác ABO vuông tại O nên góc \(\widehat {BAO}\) không vuông, do đó CA không vuông góc với AB, tức là AC không vuông góc với mp (SAB), A không là hình chiếu của C lên (SAB).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BO \bot AC\\BO \bot SA\end{array} \right.\, \Rightarrow \,\,BO \bot (SAC)\,\) nên O là hình chiếu vuông góc của B lên (SAC).
Chọn đáp án D.
A. \(\overrightarrow {AC'} \).
B. \(\overrightarrow {AD'} \).
C. \(\overrightarrow {BC'} \).
D. \(\overrightarrow {DC'} \).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {B'D'} - \overrightarrow {B'A} = \overrightarrow {AB} - \left( {\overrightarrow {AD'} - \overrightarrow {AB'} } \right)\)
A. 600
B. 450
C. 300
D. 900
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AC} \, \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = {45^0}\)
Chọn đáp án B.
A. Trung điểm của BD.
B. Trung điểm của A’B.
C. Trung điểm của A’D.
D. Tâm O của tam giác BDA’.
Câu trả lời của bạn
Lấy O là tâm tam giác BDA’, do tam giác BDA’đều ( có các cạnh là đường chéo của các hình vuông cạnh bằng nhau) nên tâm O là trọng tâm cũng là giao ba đường cao. Ta có \(\begin{array}{l}BD \bot AH,\,BD \bot AA'\, \Rightarrow BD \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow BD \bot AO\\A'D \bot BK,\,A'D \bot AB\,\, \Rightarrow A'D \bot \left( {ABK} \right) \Rightarrow \,A'D \bot AO\\ \Rightarrow AO \bot (BDA')\end{array}\)
Vậy tâm O của tam giác BDA’ là hình chiếu vuông góc của A lên mp (BDA’).
Chọn đáp án D.
A. \(\overrightarrow {MP} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\).
B. \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BP} \).
C. \(\overrightarrow {MP} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MQ} } \right)\).
D. \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MQ} \).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MQ} \) ( do NP và MQ cùng song song và bằng nửa BD).
Chọn đáp án D.
A. 00
B. 450
C. 1800
D. 900
Câu trả lời của bạn
Do ABCD.EFGH là hình lập phương nên ta có \(CG \bot CD,\,CD\,//\,AB\,\, \Rightarrow CG \bot AB\).
Chọn đáp án D.
A. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).
B. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {CG} \).
C. \(\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow 0 \).
D. \(\overrightarrow {GA} = \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} \).
Câu trả lời của bạn
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow 0 \).
Từ đó ta cũng có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {CG} \).
Chọn đáp án D.
A. \(\overrightarrow {A{C_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} \).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {{D_1}A} = \overrightarrow 0 \).
C. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D{D_1}} \).
\(D. \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {A{D_1}} + \overrightarrow {{D_1}O} + \overrightarrow {O{C_1}} .\)
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {A{C_1}} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} \\\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {{D_1}A} = \overrightarrow {A{C_1}} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {{D_1}A} = \overrightarrow {{D_1}{C_1}} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {A{C_1}} \\\overrightarrow {A{D_1}} + \overrightarrow {{D_1}O} + \overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {A{C_1}} \\ \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {A{D_1}} + \overrightarrow {{D_1}O} + \overrightarrow {O{C_1}} \\\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {A{A_1}} = \overrightarrow {A{B_1}} ,\,\,\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {D{D_1}} = \overrightarrow {A{D_1}} \end{array}\)
Chọn đáp án C.
A. \(\overrightarrow {AO} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right)\).
B. \(\overrightarrow {AO} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right)\).
C. \(\overrightarrow {AO} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right)\).
\(D. \overrightarrow {AO} = \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right)\).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow {AO} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right)\).
Chọn đáp án A.
A. Tam giác vuông.
B. Tam giác có một góc tù.
C. Tam giác cân đỉnh A.
D. Tam giác có ba góc nhọn.
Câu trả lời của bạn
Giả sử tam giác ABC vuông tại A. Khi đó có hai đường thẳng BO và BA cùng vuông góc với mặt phẳng (OCA). Điều này vô lí, do đó tam giác ABC không thể là tam giác vuông. Từ O hạ \(OH \bot AB\,\, \Rightarrow CH \bot AB\) (theo định lí ba đường vuông góc). Vì điểm H nằm giữa hai điểm A và B nên tam giác ABC không thể có góc tù. Suy ra ABC có ba góc nhọn
Chọn đáp án D.
A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AC} .\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \).
B. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \).
C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \).
D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \).
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CB} = 0\\\,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AD} \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right) = 0\\\,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \end{array}\)
Chọn đáp án C.
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc\(\widehat {ACD}\).
B. Góc giữa AD và ( ABC) là góc \(\widehat {ADB}\).
C. Góc giữa AC và ( ABD) là góc\(\widehat {CAB}\).
D. Góc giữa CD và (ABD )là góc \(\widehat {CBD}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot BD\end{array} \right.\, \Rightarrow AB \bot (BDC) \Rightarrow \left( {AC,(BCD)} \right) = \left( {AC,BC} \right) = \widehat {ACB}\\\left\{ \begin{array}{l}BD \bot BC\\BD \bot BA\end{array} \right.\, \Rightarrow BD \bot (ABC) \Rightarrow \left( {AD,(ABC)} \right) = \left( {AD,BA} \right) = \widehat {DAB}\\\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BA\\BC \bot BD\end{array} \right.\, \Rightarrow BC \bot (ABD) \Rightarrow \left( {AC,(ABD)} \right) = \left( {AC,AB} \right) = \widehat {BAC}\\BC \bot (ABD)\, \Rightarrow \left( {CD,(ABD)} \right) = \left( {CD,BD} \right) = \widehat {CDB}\end{array}\)
Chọn đáp án C.
A. \(\left( {IJK} \right)//\left( {SAC} \right)\)
B. \(BD \bot \left( {IJK} \right)\)
C. Góc giữa SC và BD có số đo là 600
D. \(BD \bot \left( {SAC} \right)\)
Câu trả lời của bạn
Ta có KJ // SC nên KJ //(SAC), KI //SA nên KI // (SAC), suy ra (IJK) // (SAC).
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\,\,(SA \bot (ABCD))\end{array} \right.\, \Rightarrow \,\,BD \bot (SAC)\\(IJK)//\,(SAC)\,\, \Rightarrow \,\,BD \bot (IJK)\end{array}\)
Chọn đáp án C.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *