Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và các cạnh OA = OB = OC = a, gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI), (OAI) ⊥ (ABC).
b) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
c) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB.
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot OA\\
BC \bot OI
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAI} \right) \Rightarrow \left( {ABC} \right) \bot \left( {OAI} \right)\).
b) + Xác định góc \(\alpha \) giữa AB và mặt phẳng (AOI):
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
A \in \left( {OAI} \right)\\
BI \bot \left( {OAI} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\widehat {AB,\left( {OAI} \right)}} \right] = \widehat {BA}I = \alpha \)
+ Tính \(\alpha \):
Trong tam giác vuông BAI, ta có: \(\sin \alpha {\rm{ = }}\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = {30^0}\).
c) Xác định góc β giữa hai đường thẳng AI và OB:
Gọi J là trung điểm OC, ta có: IJ // OB và IJ ⊥ (AOC). Như vậy \(\left( {\widehat {AB,OB}} \right) = \widehat {\left( {AI,IJ} \right)} = \widehat {AIJ} = \beta \)
+ Tính góc β:
Trong tam giác IJA, ta có: \(\tan \beta = \frac{{AI}}{{IJ}} = \sqrt 5 \Rightarrow \beta = acr\tan \sqrt 5 \).
-- Mod Toán 11