Trên mặt phẳng (α) cho hình vuông ABCD. Các tia Ax, By, Cz, Dt vuông góc với mặt phẳng (α) và nằm về một phía đối với mặt phẳng (α). Một mặt phẳng (β) lần lượt cắt Ax, By, Cz, Dt tại A', B', C', D'.
a) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì? Chứng minh rằng AA′ + CC′ = BB′ + DD′ = 2OO′.
b) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình thoi là nó có hai đỉnh đối diện cách đều mặt phẳng (α).
c) Chứng minh rằng điều kiện để tứ giác A'B'C'D' là hình chữ nhật là nó có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng (α).
a) Ta có hai mặt phẳng song song là: (Ax, AD) // (By, BC). Hai mặt phẳng này bị cắt bởi mặt phẳng (β) nên A′D′ // B′C′.
Tương tự, A′B′ // D′C′. Vậy A'B'C'D' là hình bình hành.
Các hình thang AA'C'C và BB'D'D đều có OO' là đường trung bình với O là tâm của hình vuông ABCD và O' là tâm của hình bình hành A'B'C'D'.
Do đó AA′ + CC′ = BB′ + DD′ = 2OO′
b) Để hình bình hành A'B'C'D' là hình thoi ta cần phải có A'C' ⊥ B'D'.
Ta có AC ⊥ BD, A'B'C'D' là hình thoi khi và chỉ khi A'C' hoặc B'D' song song với mặt phẳng (α) cho trước. Khi đó ta có AA' = CC' hoặc BB' = DD'.
c) Để hình bình hành A'B'C'D' là hình chữ nhật ta cần có A'B' ⊥ B'C', nghĩa là A'B' hoặc B'C' phải song song với mặt phẳng (α).
Khi đó ta có AA' = BB' hoặc BB' = CC', nghĩa là hình bình hành A'B'C'D' có hai đỉnh kề nhau cách đều mặt phẳng (α) cho trước.
-- Mod Toán 11