Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi AC2 + BD2 = AD2 + BC2
Giả sử AB ⊥ CD ta chứng minh AC2 + BD2 = AD2 + BC2
Thật vậy, kẻ BE ⊥ CD tại E, do AB⊥CD ta suy ra CD ⊥ (ABE) nên CD ⊥ AE.
Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông AEC, BEC, AED và BED ta có:
AC2 = AE2 + CE2
BD2 = BE2 + ED2
BC2 = AE2 + EC2
AD2 = AE2 + ED2
Từ đó ta suy ra AC2 + BD2 = AD2 + BC2
Ngược lại nếu tứ diện ABCD có AC2 + BD2 = AD2 + BC2 thì AC2 − AD2 = BC2 − BD2.
+ Nếu AC2 − AD2 = BC2 − BD2 = k2 thì trong mp(ACD) điểm A thuộc đường thẳng vuông góc với CD tại điểm H trên tia ID với I là trung điểm của CD sao cho \(I{H^2} = \frac{{{k^2}}}{{2CD}}\).
Tương tự điểm B thuộc đường thẳng vuông góc với CD cũng tại điểm H nói trên. Từ đó suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABH) hay CD ⊥ AB.
+ Nếu AC2 − AD2 = BC2 − BD2 = −k2 thì ta có và đưa về trường hợp xét như trên AD2 − AC2 = BD2 − BC2 = −k2.
-- Mod Toán 11