Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em một phép biến hình cuối cùng trong chương I, đó là Phép đồng dạng. Bản chất của phép biến hình này là sự kết hợp của phép vị tự và các phép dời hình. Thông qua bài học các em sẽ nắm được các quy tắc của sự kết hợp và phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến phép đồng dạng.
Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ của chúng ta có:
\(M'N' = k.{\rm{MN}}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}F(M) = M'\\F(N) = N'\end{array} \right. \Rightarrow M'N' = k.MN\,\,(k > 0)\)
Nhận xét:
+ Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k=1.
+ Phép vị tự \({V_{\left( {I,k} \right)}}\) là phép đồng dạng tỉ số \(\left| k \right|.\)
+ Mối quan hệ giữa phép dời hình, phép vị tự, phép đồng dạng có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau:
Chú ý:
Cho phép vị tự \({V_{\left( {I;k} \right)}}\)
Phép dời hình D
Ta nó rằng F là phép hợp thành của hai phép biến hình V và D.
Hoặc có thể nói F là tích của hai phép biến hình V và D.
Kí hiệu F=D.V.
Ta được M’ là ảnh của M qua phép biến hình F=D.V.
Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D.
Từ định lý trên, ta có các hệ quả sau:
Phép đồng dạng tỉ số k:
Nhận xét:
Ta thấy phép vị tự có tính chất “biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó”.
Trong trường hợp tổng quát phép dời hình không có tính chất đó.
Ví dụ: Phép quay với một góc quay khác \(k\pi .\)
Mà phép đồng dạng là hợp thành của phép vị tự và phép dời hình nên cũng không có tính chất “biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó”.
Có phép vị tự V biến hình H thành hình \({H_{1,}}\) có phép biến hình D biến hình \({H_1}\) thành hình H’.
Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng dạng biến H thành H’.
Ta nói rằng hai hình H và H’ đồng dạng với nhau.
Định nghĩa
Hai hình gọi là đồng dạng nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
So sánh phép dời hình, vị tự V(O,k), đồng dạng tỉ số k
Phép dời hình | Phép vị tự | Phép đồng dạng |
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. Biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đó. Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng đường tròn đã cho. | Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với |k|. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là |k|. Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính có bán kính là |k|R. | Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k. Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính có bán kính là kR. |
Cho đường thẳng \(d:x - y + 1 = 0,\) viết phương trình d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng bằng cách thực hiện qua phép vị tự tâm I(1;1), tỉ số k=2 và phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = ( - 2; - 1).\)
Ta có \(M(0;1) \in d\)
Qua phép vị tự tâm I, tỉ số k=2 ta có: \({V_{\left( {I;2} \right)}}(d) = {d_1}.\)
Suy ra phương trình \({d_1}\) có dạng: \(x - y + c = 0.\)
Mặt khác: \({V_{\left( {I;2} \right)}}(M) = {M_1}({x_1};{y_1}) \in {d_1}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {{{{\mathop{\rm IM}\nolimits} }_1}} = 2.\overrightarrow {IM} \Rightarrow {M_1}\left( { - 1;1} \right).\)
Vậy \({d_1}:x - y + 2 = 0.\)
Qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v ,\)ta có: \({T_{\overrightarrow V }}({d_1}) = {d_2}\)
Suy ra phương trình \({d_2}\) có dạng: \(x - y + d = 0.\)
Mặt khác: \({M_1} \in {d_1} \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}({M_1}) = {M_2}({x_2};{y_2}) \in {d_2}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \overrightarrow v \Rightarrow {M_2}( - 2;1).\)
Vậy \({d_2}\) có phương trình: \(x - y + 3 = 0.\)
Qua phép đồng dạng đường thẳng \(d:x - y + 1 = 0\) trở thành đường thẳng \({d_2}:x - y + 3 = 0.\)
Cho đường tròn \(\left( C \right):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4.\) Xác định ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=-2 và phép đối xứng trục Oy.
(C) có tâm I(1;2) bán kính R=2.
Gọi I’ và R’ lần lượt là tâm và bán kính của (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=-2.
Suy ra: R’=4.
Ta có: \({V_{\left( {O; - 2} \right)}}(I) = I' \Rightarrow \overrightarrow {OI'} = - 2\overrightarrow {OI} \Rightarrow I'( - 2; - 4)\)
Vậy phương trình của (C’) là: \({(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} = 16.\)
Gọi I’’, R’’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C’’) là ảnh của (C’) qua phép đối xứng trục Oy.
Suy ra: \(R'' = 4.\)
I’’=ĐOy(I’)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I''}} = - {x_{I'}} = 2\\{y_{I''}} = {y_{I'}} = - 4\end{array} \right.\)
Vậy phương trình (C’’) là: \({(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} = 16.\)
Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em một phép biến hình cuối cùng trong chương I, đó là Phép đồng dạng. Bản chất của phép biến hình này là sự kết hợp của phép vị tự và các phép dời hình. Thông qua bài học các em sẽ nắm được các quy tắc của sự kết hợp và phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến phép đồng dạng.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 1 Bài 8để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hình chữ nhật ABCD với AC=2AB. Gọi Q là phép quay tâm A góc quay \(\varphi = (AB,AC),\) V là phép vị tự tâm A tỉ số 2, F là phép hợp thành của V và Q. F biến đường tròn tâm B, bán kính BA thành đường nào sau đây?
Cho hai đường tròn (I;R) và (I’;2R) tiếp xúc ngoài nhau tại O, d là đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn tại O. Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số k. Đ là phép đối xứng qua đường thẳng d, F là phép hợp thành của Đ và V. Với giá trị của k bằng bao nhiêu thì F biến (I;R) thành (I’;2R)?
Cho các khẳng định sau:
(I) Hai hình vuông bất kì đều đồng dạng nhau.
(II) Bất kì hai tam giác cân nào cũng đồng dạng nhau.
(III) Bất kì hai hình chữ nhật nào cũng đồng dạng nhau.
(IV) Hai đoạn thẳng bất kì luôn đồng dạng nhau.
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 1 Bài 8 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 33 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 33 SGK Hình học 11
Bài tập 3 trang 33 SGK Hình học 11
Bài tập 4 trang 33 SGK Hình học 11
Bài tập 1.27 trang 36 SBT Hình học 11
Bài tập 1.28 trang 36 SBT Hình học 11
Bài tập 1.29 trang 36 SBT Hình học 11
Bài tập 1.30 trang 37 SBT Hình học 11
Bài tập 31 trang 31 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 32 trang 31 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 33 trang 32 SGK Hình học 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Cho hình chữ nhật ABCD với AC=2AB. Gọi Q là phép quay tâm A góc quay \(\varphi = (AB,AC),\) V là phép vị tự tâm A tỉ số 2, F là phép hợp thành của V và Q. F biến đường tròn tâm B, bán kính BA thành đường nào sau đây?
Cho hai đường tròn (I;R) và (I’;2R) tiếp xúc ngoài nhau tại O, d là đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn tại O. Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số k. Đ là phép đối xứng qua đường thẳng d, F là phép hợp thành của Đ và V. Với giá trị của k bằng bao nhiêu thì F biến (I;R) thành (I’;2R)?
Cho các khẳng định sau:
(I) Hai hình vuông bất kì đều đồng dạng nhau.
(II) Bất kì hai tam giác cân nào cũng đồng dạng nhau.
(III) Bất kì hai hình chữ nhật nào cũng đồng dạng nhau.
(IV) Hai đoạn thẳng bất kì luôn đồng dạng nhau.
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0.\) Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc \({90^0}\) và phép vị tự tâm O tỉ số -2. Phương trình của (C’) là:
Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho hình chữ nhật ABCD tâm I. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, CI, FC. Phép đồng dạng hợp thành bởi phép vị tự tâm C tỉ số k = 2 và phép đối xứng tâm I biến tứ giác IGHF thành:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy phép đồng dạng F hợp thành bởi phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = 1/2 và phép đối xứng trục Ox biến điểm M(4;2) thành điểm có tọa độ.
Cho hình thoi ABCD tâm O. Gọi E, F, M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD. P là phép đồng dạng biến tam giác OCF thành tam giác CAB. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đồng dạng F hợp thành bởi phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = 3 và phép đối xứng trục Ox, biến đường thẳng d: x - y - 1 = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình.
Trong măt phẳng Oxy cho điểm M(-2;4). Phép vị tự tâm O tỉ số k = - 2 biến điểm M thành điểm nào trong các điểm sau?
Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số và phép đối xứng qua đường trung trực của BC
Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm \(I (1;1)\) và đường trong tâm I bán kính 2. Viết phương trình của đường trong là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc \(45^{\circ}\) và phép vị tự tâm O,tỉ số \(\sqrt{2}\).
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(x = 2\sqrt 2 \). Hãy viết phương trình đường thẳng d′ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{1}{2}\) và phép quay tâm O góc 45o.
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x−1)2+(y−2)2 = 4. Hãy viết phương trình đường tròn (C′) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 và phép đối xứng qua trục Ox.
Chứng minh rằng hai đa giác đều có cùng số cạnh luôn đồng dạng với nhau.
Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A, B cố định. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo.
a) Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi.
b) Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi như trong câu a).
Chứng tỏ rằng nếu phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt biến thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C'
Chứng tỏ rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau
Dựng tam giác ABC nếu biết hai góc \(\hat B = \beta ,\hat C = \gamma \) và một trong các yếu tố sau:
a. Đường cao AH = h
b. Đường cao trung tuyến AM = m
c. Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
1: 6 phần tử
2: 6 phần tử
3: 6 phần tử=>
6*6*6=
216 phần tử
lần 1: 6 phần tử
lần 2: 6 phần tử
lần 3: 6 phần tử
<=>6*6*6=216 phần tử
Trong hệ toạ độ Oxy, cho phép biến hình F: M(x;y) → M’(x’;y’) thoả mãn x’= x—3y và y’= y+3x. Tìm phép biến hình F ?
Câu trả lời của bạn
A. AIFD
B. BCFI
C. CIEB
D. DIEA
Câu trả lời của bạn
V(C;2)(IGHF) = (AIFD); Đ1(AIFD) = CIEB. Đáp án C.
A.(2;-1)
B. (8;1)
C.(4;-2)
D. (8;4)
Câu trả lời của bạn
V(0;1/2)(M(4;2)) = M'(2;1);
ĐOx(M'(2;1)) = M"(2;-1). Đáp án A.
Câu trả lời của bạn
Phép đồng dạng tỉ số k biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm A',B',C' sao cho:
A'B' = kAB, B'C' = kBC, A'C' = kAC
A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C ⇔ AB + BC = AC
Do đó kAB + kBC = kAC hay A'B' + B'C' = A'C'
⇒ A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa A', C'
A. x - y + 3 = 0
B. x + y - 3 = 0
C. x + y + 3 = 0
D. x - y + 2 = 0
Câu trả lời của bạn
Phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 3 biến điểm M(1;0) thành điểm M’(3;0) ⇒ biến d: x - y - 1 = 0. Phép đối xứng trục Ox, biến đường thẳng d’ thành d’’: x + y - 3 = 0
Câu trả lời của bạn
Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M, N thành 2 điểm M',N' sao cho:
\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \hfill \cr
\overrightarrow {ON'} = k\overrightarrow {ON} \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} \cr &= k\overrightarrow {ON} - k\overrightarrow {OM} \cr & =k(\overrightarrow {ON}-\overrightarrow {OM})= k\overrightarrow {MN} \cr
& \Rightarrow |\overrightarrow {M'N'} |\, = \,|k\overrightarrow {MN} |\cr & \Rightarrow M'N' = |k|MN \cr} \)
Câu trả lời của bạn
- Phép đồng dạng tỉ số k biến 2 điểm M, N thành 2 điểm M',N' sao cho M'N' = kMN
- Phép đồng dạng tỉ số b biến 2 điểm M',N' thành 2 điểm M'',N''sao cho M''N'' = pM'N'
⇒ M''N'' = pkMN
Vậy: Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk.
Câu trả lời của bạn
Gọi A’, B’, M' lần lượt là ảnh của A, B, M qua phép đồng dạng F, tỉ số k
⇒ A’B’= kAB, A’M’ = kAM
M là trung điểm AB ⇒ AM = 1/2 AB ⇒ kAM = 1/2 kAB hay A’M’= 1/2 A’B’
Lại có A, B, M thẳng hàng nên A', B', M' thẳng hàng.
Vậy M’ là trung điểm của A’B’.
Câu trả lời của bạn
Hai đường tròn bất kì đồng dạng với nhau.
Hai hình vuông bất kì đồng dạng với nhau.
Hai hình chữ nhật bất kì chưa chắc đồng dạng với nhau vì tỉ lệ các kích thước tương ứng chưa chắc bằng nhau.
Câu trả lời của bạn
+ Phép biến hình trong mặt phẳng là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong mặt phẳng xác định được duy nhất M’ trong mặt phẳng đó.
+ Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoẳng cách giữa hai điểm bất kì.
+ Phép đồng dạng tỉ số k là phép biến hình biến hai điểm M, N bất kì thành M’; N’ sao cho M’N’ = k.MN.
+ Phép dời hình chính là phép đồng dạng với tỉ số k = 1.
Câu trả lời của bạn
Gọi \(d_1\) là ảnh của \(d\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k=\dfrac{1}{2}\) thì phương trình của \(d_1\) là \(x=\sqrt{2}\). Giả sử \(d’\) là ảnh của \(d_1\) qua phép quay tâm \(O\) góc \({45}^o\). Lấy \(M(\sqrt{2};0)\) thuộc \(d_1\) thì ảnh của nó qua phép quay tâm \(O\) góc \({45}^o\) là \(M’(1;1)\) thuộc \(d’\). Vì \(OM \bot {d_1},OM' \bot d'\).
Do đó \(d’\) là đường thẳng đi qua \(M’\) và vuông góc với \(OM’\). Khi đó \(d'\) có phương trình \(x+y-2=0\).
Câu trả lời của bạn
Ta có bán kính của \((C’)\) bằng \(|-2|.2=4\). Tâm \(I\) của \((C’)\) là ảnh của tâm \(I\left( {1;2} \right)\) của \((C)\) qua phép đồng dạng nói trên.
Qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k=-2\), \(I\) biến thành \(I_1(-2;-4)\). Qua phép đối xứng qua trục \(Ox\), \(I_1\) biến thành \(I’(-2;4)\).
Từ đó suy ra phương trình của \((C’)\) là \({(x+2)}^2+{(y-4)}^2=16\).
Câu trả lời của bạn
Dùng phép tịnh tiến đưa về hai đa giác đều cùng tâm đối xứng, sau đó dùng phép quay đưa về hai đa giác đều cùng tâm đối xứng có các đỉnh tương ứng thẳng hàng với tâm, cuối cùng dùng phép vị tự biến đa giác này thành đa giác kia.
Câu trả lời của bạn
Dựng hình bình hành \(ADCE\). Ta có \(\vec{DC}=\vec{AE}\) không đổi.
Do \(AE=b\) không đổi, nên \(E\) cố định. Do \(AD=EC=a\) nên khi \(D\) chạy trên đường tròn \((A;a)\) thì \(C\) chạy trên đường tròn \((E;a)\) là ảnh của \((A;a)\) qua phép tịnh tiến theo \(\vec{AE}\).
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Chứng minh rằng hai đa giác đều có cùng số cạnh luôn đồng dạng với nhau ?
Câu trả lời của bạn
Dùng phép tịnh tiến đưa về hai đa giác đều cùng tâm đối xứng, sau đó dùng phép quay đưa về hai đa giác đều cùng tâm đối xứng có các đỉnh tương ứng thẳng hàng với tâm, cuối cùng dùng phép vị tự biến đa giác này thành đa giác kia
Trong mặt phẳng xOy cho đường tròn (C) có phương trình \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=4\). Hãy viết phương trình đường tròn (C') là ảnh qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số \(k=-2\) và phép đối xứng qua trục Ox ?
Câu trả lời của bạn
Dễ thấy bán kính của (C') bằng 4. Tâm I' của (C') là ảnh của tâm I(1;2) của (C) qua phép đồng dạng nói trên. Qua phép vị tự tâm O, tỉ số \(k=-2,I\) biến thành \(I_1\left(-2;-4\right)\). Qua phép đối xứng qua trục \(Ox\), \(I_1\) biến thành \(I'\left(-2;4\right)\).
Từ đó suy ra phương trình của (C') là \(\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2=16\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *