Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm, tính chất và các dạng bài tập liên quan đến Phép quay. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải các em sẽ nắm được phương pháp làm bài, qua đó làm chủ nội dung bài học này.
Cho điểm O và góc lượng giác \(\alpha .\) Phép biến hình biến O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho OM=OM’ và góc lượng giác (OM,OM’) bằng \(\alpha \) được họi là phép quay tâm O góc \(\alpha .\)
Ký hiệu: \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\)
- Điểm O gọi là tâm quay, \(\alpha \) gọi là góc quay.
Nhận xét:
+ Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác, ngược lại là chiều âm.
+ Với số nguyên k:
Phép quay \({Q_{\left( {O,k2\pi } \right)}}\) là phép đồng nhất.
Phép quay \({Q_{\left( {O,\pi + k2\pi } \right)}}\) là phép đối xứng tâm.
Cho tam giác ABC và điểm O. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay \(\frac{\pi }{2}\).
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Phép quay góc quay \(0 < \alpha < \pi \) biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ sao cho:
+ \(\left( {d,d'} \right) = \alpha \) nếu \(0 < \alpha \le \frac{\pi }{2}\)
+ \(\left( {d,d'} \right) = \pi - \alpha \) nếu \(\frac{\pi }{2} \le \alpha < \pi \)
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy xác định ảnh của:
a) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 3600.
b) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 1200.
c) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -1800.
d) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -3000.
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( A \right) = A\\{Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( B \right) = B\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OAB\)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( A \right) = E\\{Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( B \right) = F\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OEF.\)
c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( A \right) = D\\{Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( B \right) = E\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = ODE.\)
d) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( A \right) = F\\{Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( B \right) = A\end{array} \right. \Rightarrow {Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OFA.\)
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;0) và đường thẳng d: \(x + 2y - 2 = 0,\) đường tròn \(\left( C \right):\) \({x^2} + {y^2} - 4x = 0.\) Xét phép quay Q tâm O góc quay \({90^0}.\)
a) Tìm ảnh của điểm M qua phép quay Q.
b) Tìm ảnh của d qua phép quay Q.
c) Tìm ảnh của (C) qua phép quay Q.
a) Ta có: Vì \(M(2;0) \in Ox\) nên: \({Q_{\left( {0;{{90}^0}} \right)}}(M) = M':\left\{ \begin{array}{l}M' \in Oy\\OM = OM'\end{array} \right. \Rightarrow M'(0;2).\)
b) Ta có \(M\left( {2;0} \right) \in d,\) ảnh của M qua phép quay Q theo câu a là M’(0;2).
Gọi d’ là ảnh của d qua Q ta có d’ là đường thẳng qua M’ và vuông góc với d.
Đường thẳng d có VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right),\) suy ra d’ có VTPT là \(\overrightarrow {n'} = \left( {2; - 1} \right)\)
Vậy phương trình của d’ là: \(2(x - 0) - 1(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 2 = 0.\)
c) Đường tròn (C) có tâm M(2;0) và bán kính R=2.
Ảnh của M qua Q là M’(0;2).
Gọi (C) là ảnh của (C) qua Q, (C’) có tâm M’ và bán kính R=2.
Vậy phương trình của (C’) là: \({(x - 0)^2} + {(y - 2)^2} = 4.\)
Tìm ảnh của điểm A(3;4) qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}.\)
Với phép quay tâm O góc 90 độ điểm A thành A’(x;y) có tọa độ thỏa mãn: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}OA = OA'\\(OA;OA') = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^2} + {4^2} = {x^2} + {y^2}\\\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OA'} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 25\\3x + 4y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)
Do \(\alpha = {90^0} > 0\) phép quay theo chiều dương suy ra: \(A'( - 4;3).\)
Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm, tính chất và các dạng bài tập liên quan đến Phép quay. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải các em sẽ nắm được phương pháp làm bài, qua đó làm chủ nội dung bài học này.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hình vuông ABCD tâm O. Xét phép quay Q có tâm O và góc quay \(\varphi .\) Với giá trị nào sau đây của \(\varphi ,\) phép quay Q biến hình vuông ABCD thành chính nó?
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm O góc quay \({120^0}.\)
Tìm ảnh của đường thẳng \(d:x + y - 2 = 0\) qua phép quay tâm O góc \({90^0}.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 19 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 19 SGK Hình học 11
Bài tập 1.15 trang 24 SBT Hình học 11
Bài tập 1.16 trang 24 SBT Hình học 11
Bài tập 1.17 trang 25 SBT Hình học 11
Bài tập 1.18 trang 25 SBT Hình học 11
Bài tập 12 trang 18 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 13 trang 18 SGK Hình học 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Cho hình vuông ABCD tâm O. Xét phép quay Q có tâm O và góc quay \(\varphi .\) Với giá trị nào sau đây của \(\varphi ,\) phép quay Q biến hình vuông ABCD thành chính nó?
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm O góc quay \({120^0}.\)
Tìm ảnh của đường thẳng \(d:x + y - 2 = 0\) qua phép quay tâm O góc \({90^0}.\)
Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh của điểm A(-1;2) qua phép quay tâm O góc \({90^0}.\)
Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh của đường tròn \((C):{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 9\) qua phép quay tâm O góc \({90^0}.\)
Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M (-6;1) qua phép quay Q(O; 90) là:
Trong mặt phẳng Oxy phép quay Q(O; 900) biến đường thẳng d có phương trình x - 2y = 0 thành đường thẳng d’ có phương trình:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)2 + y2 = 4. Phép quay tâm O(0;0) góc quay 900 biến (C) thành (C’) có phương trình:
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;1). Điểm nào sau đây là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 45 độ.
Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 600. Phép biến hình nào sau đây biến AB thành BC?
Cho hình vuông ABCD tâm O (h.1.38)
a, Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc \(90^{\circ}\).
b, Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc \(90^{\circ}\).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2;0) và đường thẳng d có phương trình \(x+y-2=0\). Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc \(90^0\)
Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB
a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 120o
b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 60o
Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(3;3), B(0;5), C(1;1) và đường thẳng d có phương trình 5x−3y+15 = 0. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác A′B′C′ và phương trình của đường thẳng d′ theo thứ tự là ảnh của tam giác ABCvà đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay 90o.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường tròn cố định.
Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng
a) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D
b) Chứng minh AO vuông góc với PQ và AO = PQ
Cho phép quay Q tâm O với góc quay φ và cho đường thẳng d. Hãy nêu cách dựng ảnh d' của d qua phép quay Q
Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA'B' có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn thẳng A'B' và nằm ngoài đoạn thẳng A'B (h.16). Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm các tam giác OAA' và OBB'.Chứng minh GOG' là tam giác vuông cân.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Q(o;-pi/2)
-1*cos(-90)-5*sin(-90) = 5
-1*sin(-90)+5*cos(-90) = 1
=>Q(o;-pi/2) = (5;1)
Câu trả lời của bạn
A'(x';y') là ảnh của A(2;1) qua phép quay tâm I(1;-2) góc quay -90°=>Q(I,-90°)(A)=A'
=> x'-1=(2-1)cos(-90°)-(1+2)sin(-90°); y'+2=(2-1)sin(-90°)+(1+2)cos(-90°)=>x'=4 và y'=-3.
Vậy A'(4;-3).
Giả sử A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép quay tâm I góc quay -\(\frac{\pi }{2}\).
Khi đó theo định nghĩa phép quay ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IA' = IA\\\overrightarrow {IA'} .\overrightarrow {IA} = 0\end{array} \right.\).
Với \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IA'} = \left( {x - 1;y + 2} \right)\\\overrightarrow {IA} = \left( {1;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA' = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \\IA = \sqrt {10} \end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA' = IA\\\overrightarrow {IA'} .\overrightarrow {IA} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} = \sqrt {10} \\x - 1 + 3y + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - \left( {3y + 6} \right)\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3y - 5\\{y^2} + 4y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3y - 5\\\left[ \begin{array}{l}y = - 1\\y = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 2; - 1} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {4; - 3} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Do phép quay thực hiện theo chiều âm nên tọa độ điểm A’ là A’(4;-3).
Câu trả lời của bạn
Giả sử A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay \(\frac{\pi }{2}\).
Khi đó theo định nghĩa phép quay ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA' = OA\\\overrightarrow {OA'} .\overrightarrow {OA} = 0\end{array} \right.\).
Với \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA'} = \left( {x;y} \right)\\\overrightarrow {OA} = \left( {1;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA' = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\OA = 1\end{array} \right.\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA' = OA\\\overrightarrow {OA'} .\overrightarrow {OA} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\rm A}{\rm{'}}\left( {{\rm{0;1}}} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0; - 1} \right)\end{array} \right.\)
Do phép quay theo chiều dương nên tọa độ điểm A’ là A’(0;1).
Câu trả lời của bạn
Giả sử A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay \(\frac{\pi }{2}\).
Khi đó theo định nghĩa phép quay ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA' = OA\\\overrightarrow {OA'} .\overrightarrow {OA} = 0\end{array} \right.\).
Với \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA'} = \left( {x;y} \right)\\\overrightarrow {OA} = \left( {1;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA' = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\OA = \sqrt {10} \end{array} \right.\).
Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}OA' = OA\\\overrightarrow {OA'} .\overrightarrow {OA} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {10} \\x + 3y = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 10\\x = - 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 1\\x = - 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3y\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\rm A}{\rm{'}}\left( {{\rm{ - 3;1}}} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {3; - 1} \right)\end{array} \right.\)
Do phép quay theo chiều dương nên tọa độ điểm A’ là A’(-3;1).
A. tam giác thường
B. tam giác vuông đỉnh B
C. tam giác cân đỉnh B
D. tam giác đều
Câu trả lời của bạn
Xét phép quay tâm B góc quay -600 biến A thành D, biến E thành C suy ra phép quay này biến đoạn thẳng AE thành đoạn thẳng DC, suy ra nó biến trung điểm F của AE thành trung điểm G của DC, suy ra nó biến đoạn thẳng BF thành đoạn thẳng BG do đó BF = BG và góc FBG bằng 600. Vậy tam giác BFG là tam giác đều.
A. phép quay tâm O góc quay 600 biến tam giác BCD thành tam giác ABC.
B. phép quay tâm O góc quay 1200 biến tam giác OEC thành tam giác OCA
C. phép quay tâm O góc quay -600, biến tam giác AFD thành tam giác FEC.
D. phép quay tâm O góc quay -1200 biến tam giác BCD thành tam giác DEF.
Câu trả lời của bạn
Phép quay tâm O góc quay -600 biến tam giác AFD thành tam giác ABE.
A. 900
B. 600
C. 450
D. 300
Câu trả lời của bạn
Xét phép quay tâm A góc quay 600 biến D thành B và biến C thành E, suy ra phép quay đó biến đường thẳng DC thành đường thẳng BE suy ra góc giữa DC và BE bằng góc quay 600. Chọn đáp án B.
A.( 0;√2)
B. (-1;1)
C. (1;0)
D. (√2;0)
Câu trả lời của bạn
Hình vuông có cạnh bằng 1 thì đường chéo bằng √2.
A. M'(-1;-6)
B. M'(1;6)
C. M'(-6;-1)
D. M'(6;1)
Câu trả lời của bạn
Nhận xét. Cách làm các bài từ 5 đến 9: Vẽ hệ tọa độ Oxy, lấy điểm M, thực hiện phép quay. Chú ý chiều dương là ngược kim đồng hồ, chiều âm thuận chiều kim đồng hồ
A. x + 2y - 1 = 0
B. 2x + y + 1 = 0
C. 2x - y + 1 = 0
D. x + 2y + 1 = 0
Câu trả lời của bạn
Lấy A(0; 1) và B(-1/2;0) thuộc d, phép quay Q(O, 900) biến A thành A’(-1; 0), biến B thành B’(0; -1/2) phương trình d’ qua A’, B’ là x + 2y + 1 = 0.
A. x + 2y = 0
B. 2x + y = 0
C. 2x - y = 0
D. x - y + 2 = 0
Câu trả lời của bạn
Lấy M(2; 1) thuộc d, phép quay Q(O, 900) biến M(2; 1) thành M’(-1; 2). Tâm quay O(0; 0) thuộc d ⇒ d' đi qua O và M’ có phương trình 2x + y = 0.
A. x2 + y2 - 6x + 5 = 0
B. x2 + y2 - 6y + 6 = 0
C. x2 + y2 + 6x - 6 = 0
D. x2 + y2 - 6y + 5 = 0
Câu trả lời của bạn
Phép quay tâm O(0; 0) góc quay 900 biến tâm I(3; 0) của (C) thành tâm I’(0; 3) của (C’), bán kính không thay đổi. phương trình (C’) là x2 + (y - 3)2 = 4 ⇒ x2 + y2 - 6y + 5 = 0
Câu trả lời của bạn
Phép quay tâm \(O\) góc \({120}^o\) biến \(F\), \(A\), \(B\) lần lượt thành \(B\), \(C\), \(D\); biến trung điểm \(I\) của \(AB\) thành trung điểm \(J\) của \(CD\). Nên nó biến tam giác \(AIF\) thành tam giác \(CJB\).
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *