Nội dung bài Một số phương trình lượng giác thường gặp sẽ giới thiệu đên các em dạng và phương pháp giải các Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác, Phương trình bậc hai đối với sin-cos-tan-cot, Phương trình bậc nhất với sinx và cosx. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải các em sẽ nắm vững được nội dung phần này, tạo nên tảng để giải các phương trình lượng giác từ cơ bản đến nâng cao.
Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng \(at + b = 0\) trong đó a,b là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\)và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ: \(2\sin x - 1 = 0\,;\,\,\,c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0;\,\,\,3\tan x - 1 = 0;\,\,\sqrt 3 \cot x + 1 = 0\)
b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\end{array}\)
Đặt:
\(t = \sin x{\rm{ ( - 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\)
\(\begin{array}{l}t = \cos x{\rm{ ( - 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\\t = \tan x\\t = \cot x\end{array}\)
\(a\sin x + b\cos x = c{\rm{ (1)}}\)
Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)
Phương trình trở thành:
\(\sin x\sin \varphi + \cos x\cos \varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Đặt \(\cos \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.
Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)
Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi + cosxsin\varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
· Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) không
· Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Phương trình trở thành:
\(a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c \Leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0{\rm{ (2)}}\)
Giải (2) theo t, tìm được t thay vào \(t = \tan \frac{x}{2}\) suy ra x
Nếu \(a \ne 0\) chia 2 vế cho a rồi ta đặt \(\tan \alpha = \frac{b}{a}\) \(\left( { - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\)
Phương trình trở thành: \(\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{c{\rm{os}}\alpha }}\cos x = \frac{c}{a}\)
\( \Leftrightarrow c{\rm{os}}\alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha \)
Đặt \(\sin \varphi = \frac{c}{a}\cos \alpha \) ta được phương trình lượng giác cơ bản \(\sin (x + \alpha ) = \sin \varphi \).
Giải các phương trình sau:
a) \(2\sin x - 1 = 0\,.\)
b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0.\)
c) \(3\tan x - 1 = 0.\)
d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.\)
e) \(2\cos x - \sin 2x = 0\)
a) \(2\sin x - 1 = 0\, \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)
\( \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(3\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)\)
d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
e) \(\cos x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \cos x - 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\1 - 2\sin x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + l\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)
Giải các phương trình sau:
a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\)
b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\)
c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x - 3 = 0\)
d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)
a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0(1)\)
Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (1) trở thành:
\(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Với t=1, ta được \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\left( 2 \right)\)
Đặt \(t = c{\rm{os}}x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (2) trở thành:
\({t^2} + 3t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được \(c{\rm{os}}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x = \pm \arccos \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 7\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\3\cos 2x - 7 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
*) Giải phương trình:\(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
*) Giải phương trình: \(3\cos 2x - 7 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)
Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x - 7 = 0\) vô nghiệm.
Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)
Điều kiện: \(\cos x \ne 0\) (*)
(3)\( \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3 = 0\)
Đặt \(t = \tan x\)
Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t - \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)
+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
+ Với \(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \),
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)
b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \)
c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)
a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)
(1)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (1) là \(x = - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)
Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)
Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\)
Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Phương trình (2) trở thành: \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t - 1 + {t^2} = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t + 3 + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\end{array}\)
+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
+ Với\(t = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\) (3)
(3)\( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x = 3 + \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos 2x = 3 - \sqrt 2 \)
Điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} \ge {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow 5 - 2\sqrt 2 \ge 11 - 6\sqrt 2 \) (không thỏa)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về một số phương trình lượng giác thường gặp. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số lượng giác mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình lượng giác, sự đơn điệu của hàm số lượng giác,....các em cần tìm hiểu thêm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Giải phương trình \(2\cos x - \sqrt 3 = 0.\)
Giải phương tình \(\sqrt 3 \tan 3x - 3 = 0.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng về nghiệm của phương trình \(2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 36 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 1.25 trang 37 SBT Toán 11
Bài tập 1.26 trang 37 SBT Toán 11
Bài tập 1.27 trang 37 SBT Toán 11
Bài tập 1.28 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.29 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.30 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.31 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.32 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.33 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.34 trang 38 SBT Toán 11
Bài tập 1.35 trang 39 SBT Toán 11
Bài tập 1.38 trang 39 SBT Toán 11
Bài tập 1.36 trang 39 SBT Toán 11
Bài tập 1.37 trang 39 SBT Toán 11
Bài tập 27 trang 41 SGK Toán 11 NC
Bài tập 28 trang 41 SGK Toán 11 NC
Bài tập 29 trang 41 SGK Toán 11 NC
Bài tập 30 trang 41 SGK Toán 11 NC
Bài tập 31 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 32 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 33 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 34 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 35 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 36 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 37 trang 46 SGK Toán 11 NC
Bài tập 38 trang 46 SGK Toán 11 NC
Bài tập 39 trang 46 SGK Toán 11
Bài tập 40 trang 46 SGK Toán 11 NC
Bài tập 41 trang 47 SGK Toán 11 NC
Bài tập 42 trang 47 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Giải phương trình \(2\cos x - \sqrt 3 = 0.\)
Giải phương tình \(\sqrt 3 \tan 3x - 3 = 0.\)
Khẳng định nào sau đây là đúng về nghiệm của phương trình \(2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0.\)
Giải phương trình \(\sqrt 3 {\tan ^2}x - (1 + \sqrt 3 )\tan x + 1 = 0.\)
Giải phương trình \(3\cos x + 4\sin x = - 5.\)
Giải phương trình \(5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13.\)
Giải phương trình \(2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x.\cos x - {\cos ^2}x = 4.\)
Tìm tất cả các họ nghiệm của phương trình \(\cos x.\cos 5x = \cos 2x.cos4x.\)
Giải phương trình \(\sin x + \sin 2x = \cos x + \cos 2x.\)
Giải phương tình \(\tan x + \tan 2x = \sin 3x.\cos x.\)
Giải các phương trình sau:
a) \(2\cos x - \sqrt 3 = 0\)
b) \(\sqrt 3 \tan 3x - 3 = 0\)
c) \(\left( {\sin x + 1} \right)\left( {2\cos 2x - \sqrt 2 } \right) = 0\)
Giải các phương trình sau:
a) \(2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0\)
b) \({\cos ^2}x + \sin x + 1 = 0\)
c) \(\sqrt 3 {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + 1 = 0\)
Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho rồi dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi để tính gần đúng nghiệm của chúng (tính chính xác đến hàng phần trăm):
a. \(3\cos 2x + 10\sin x + 1 = 0\) trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)
b. \(4\cos 2x + 3 = 0\) trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
c. \({\cot ^2}x - 3\cot x - 10 = 0\) trên (0;π)
d. 5−3tan3x = 0 trên \(\left( { - \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}} \right)\)
Giải các phương trình sau:
a) \(3\cos x + 4\sin x = - 5\)
b) \(2\sin 2x - 2\cos 2x = \sqrt 2 \)
c) \(5\sin 2x - 6{\cos ^2}x = 13\)
Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng. Khoảng cách h từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm t giây được tính theo công thức h = |d| trong đó d = 5sin6t–4cos6t với d được tính bằng xentimet, ta quy ước rằng d > 0 khi vật ở phía trên vị trí cân bằng, d < 0 khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Hỏi:
a. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở vị trí cân bằng?
b. Ở thời điểm nào trong 1 giây đầu tiên, vật ở xa vị trí cân bằng nhất?
(Tính chính xác đến \(\frac{1}{{100}}\) giây).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:
a. asinx+bcosx (a và b là hằng số, a2+b2 ≠ 0) ;
b. sin2x+sinxcosx+3cos2x;
c. Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x (A, B và C là hằng số).
Giải các phương trình sau:
a. \(2{\sin ^2}x + 3\sqrt 3 \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 4\)
b. \(3{\sin ^2}x + 4\sin 2x + \left( {8\sqrt 3 - 9} \right){\cos ^2}x = 0\)
c. \({\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = \frac{1}{2}\)
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc tích thành tổng để giải các phương trình sau:
a) \(\cos x\cos 5x = \cos 2x\cos 4x\)
b) \(\cos 5x\sin 4x = \cos 3x\sin 2x\)
c) \(\sin 2x + \sin 4x = \sin 6x\)
d) \(\sin x + \sin 2x = \cos x + \cos 2x\)
Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau:
a) \({\sin ^2}4x + {\sin ^2}3x = {\sin ^2}2x + {\sin ^2}x\)
b) \({\cos ^2}x + {\cos ^2}2x + {\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x = 2\)
Giải các phương trình sau:
a. \(\tan \frac{x}{2} = \tan x\)
b. \(\tan \left( {2x + {{10}^0}} \right) + \cot x = 0\)
c. \(\left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x\)
d. tanx+tan2x = sin3xcosx
e. tanx+cot2x = 2cot4x
Mùa xuân ở Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng (h. 1.32) được biểu diễn qua thời gian t (t ≥ 0 và được tính bằng giây) bởi hệ thức h = |d| với \(d = 3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right]\), trong đó ta quy ước rằng d > 0 khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp trái lại.
a. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.
b. Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét (tính chính xác đến \(\frac{1}{{100}}\) giây).
Giải các phương trình sau:
a) \({\cos ^2}x - 3{\sin ^2}x = 0\)
b) \({\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} - \left( {\tan x + \cot x} \right) = 2\)
c) \(\sin x + {\sin ^2}\frac{x}{2} = 0,5\)
Chứng minh rằng các phương trình sau đây vô nghiệm:
a. sinx–2cosx = 3
b. 5sin2x+sinx+cosx+6 = 0
Hướng dẫn b. Đặt sinx+cosx = t
Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng đã cho (khi cần tính gần đúng thì tính chính xác đến \(\frac{1}{{10}}\) giây)
a. \(2{\sin ^2}x - 3\cos x = 2,{0^0} \le x \le {360^0}\)
b. \(\tan x + 2\cot x = 3,\,\,{180^0} \le x \le {360^0}\)
Giải các phương trình sau:
a. 3sin2x−sin2x−cos2x = 0
b. 3sin22x−sin2xcos2x−4cos22x = 2
c. \(2\sin 2x + \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\cos 2x = - 1\)
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\)
b) \(\sin x = \sqrt 2 \sin 5x - \cos x\)
c) \(\frac{1}{{\sin 2x}} + \frac{1}{{\cos 2x}} = \frac{2}{{\sin 4x}}\)
d) \(\sin x + \cos x = \frac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\cos 2x + \cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + \cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + \cos x = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
2\cos x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
\cos 2x - 5\sin x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x - 5\sin x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = - \frac{1}{2}\\
\sin x = - 2\left( {VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = - {\pi \over 6} + k2\pi ,x = {7\pi \over 6} + k2\pi \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
6{\cos ^2}x + 5\sin x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow 6\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5\sin x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow - 6{\sin ^2}x + 5\sin x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = \frac{1}{2}\\
\sin x = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\
x = \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi \\
x = \pi - \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over 6} + k2\pi ,x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi ,\) \(x =\arcsin \frac{1}{3} + k2\pi ,\) \(x = \pi - \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi\).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
3{\cot ^2}\left( {x + \frac{\pi }{5}} \right) = 1\\
\Leftrightarrow {\cot ^2}\left( {x + \frac{\pi }{5}} \right) = \frac{1}{3}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cot \left( {x + \frac{\pi }{5}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\
\cot \left( {x + \frac{\pi }{5}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \frac{\pi }{5} = \frac{\pi }{3} + k\pi \\
x + \frac{\pi }{5} = - \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\pi \\
x = - \frac{{8\pi }}{{15}} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{2\pi } \over {15}} + k\pi ,x = -{{8\pi } \over {15}} + k\pi \).
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
4{\sin ^4}x + 12{\cos ^2}x = 7\\
\Leftrightarrow 4{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2} + 12{\cos ^2}x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow 4\left( {{{\cos }^4}x - 2{{\cos }^2}x + 1} \right) + 12{\cos ^2}x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow 4{\cos ^4}x + 4{\cos ^2}x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\cos ^2}x = \frac{1}{2}\\
{\cos ^2}x = - \frac{3}{2}\left( {VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 1 + \cos 2x = 1\\
\Leftrightarrow \cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2}\).
Câu trả lời của bạn
ĐK:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sin x \ne 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \sin x\cos x \ne 0\\
\Leftrightarrow 2\sin x\cos x \ne 0\\
\Leftrightarrow \sin 2x \ne 0\\
\Leftrightarrow 2x \ne k\pi \\
\Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\)
Khi đó,
\(\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow 7\tan x - \frac{4}{{\tan x}} = 12\\
\Leftrightarrow 7{\tan ^2}x - 12\tan x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 2\\
\tan x = - \frac{2}{7}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \arctan 2 + k\pi \\
x = \arctan \left( { - \frac{2}{7}} \right) + k\pi
\end{array} \right.(TM)
\end{array}\)
Vậy \(x = \arctan 2 + k\pi ,\) \(x = \arctan \left( { - \frac{2}{7}} \right) + k\pi\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow {\cot ^2}x + \sqrt 3 \cot x - \cot x - \sqrt 3 = 0\\
\Leftrightarrow \cot x\left( {\cot x + \sqrt 3 } \right) - \left( {\cot x + \sqrt 3 } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\cot x + \sqrt 3 } \right)\left( {\cot x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cot x + \sqrt 3 = 0\\
\cot x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cot x = - \sqrt 3 \\
\cot x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over 4} + k\pi ,x = - {\pi \over 6} + k\pi \)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(2{\sin ^2}3x = 1 - \cos 6x\) và \(\cos 12x = 2{\cos ^2}6x - 1.\) Do đó
\(\eqalign{
& 6{\sin ^2}3x - 3\cos 12x = 14 \cr&\Leftrightarrow 3\left( {1 - \cos 6x} \right) + 2{\cos ^2}6x - 1 = 14 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}6x - 3\cos 6x - 12 = 0 \cr&\Leftrightarrow \cos 6x = {{3 \pm \sqrt {105} } \over 4} \cr} \)
Dễ thấy \(\left| {{{3 \pm \sqrt {105} } \over {4}}} \right| > 1\) nên các phương trình này vô nghiệm
Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}
{\tan ^2}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = 3\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \\
\tan \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 3
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} + k\pi \\
2x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{3} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \\
2x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{7\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = - \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(x = {{7\pi } \over {24}} + k{\pi \over 2},x = - {\pi \over {24}} + k{\pi \over 2}\)
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\cos 2x -\sin x -1 = 0\)
\(\Leftrightarrow 1-2{\sin}^2 x-\sin x-1=0\)
\(\Leftrightarrow \sin x(2\sin x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\\sin x= -\dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x= -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(\cos x\cos 2x=1+\sin x\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow \cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x=1\)
\(\Leftrightarrow \cos 3x=1\)
\(\Leftrightarrow 3x=k2\pi\)
\(\Leftrightarrow x=k\dfrac{2\pi}{3} ,k\in\mathbb{Z}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(4\sin x\cos x\cos 2x=-1\)
\(\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x=-1\)
\(\Leftrightarrow \sin 4x=-1\)
\(\Leftrightarrow 4x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}\).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos x \ne 0\\\sin x\ne 0\end{array} \right. \)
Ta có: \(\tan x=3\cot x\)
\(\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{3}{\tan x}\)
\(\Leftrightarrow {\tan}^2 x=3\)
\(\Leftrightarrow \tan x=\pm\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(3{\cos}^2 x-2\sin x+2=0\)
\(\Leftrightarrow 3(1-{\sin}^2 x)-2\sin x+2=0\)
\(\Leftrightarrow 3{\sin}^2 x+2\sin x-5=0\)
\(\Leftrightarrow (\sin x-1)(3\sin x+5)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x-1=0\\3\sin x+5=0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=1\\\sin x=-\dfrac{5}{3}\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(5{\sin}^2 x+3\cos x+3=0\)
\(\Leftrightarrow 5(1-{\cos}^2 x)+3\cos x+3=0\)
\(\Leftrightarrow 5{\cos}^2 x-3\cos x-8=0\)
\(\Leftrightarrow (\cos x+1)(5\cos x-8)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x+1=0\\5\cos x-8=0\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=-1\\\cos x=\dfrac{8}{5}\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow x=(2k+1)\pi ,k\in\mathbb{Z}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \({\sin}^6 x+{\cos}^6 x=4{\cos}^2 2x\)
\(\Leftrightarrow {({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)}^3-\)
\(3{\sin}^2 x{\cos}^2 x({\sin}^2 x+{\cos}^2 x)\)
\(=4{\cos}^2 2x\)
\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}{\sin}^2 2x=4{\cos}^2 2x\)
\(\Leftrightarrow 1-\dfrac{3}{4}(1-{\cos}^2 2x)=4{\cos}^2 2x\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{13}{4}{\cos}^2 2x=\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow 13{\left({\dfrac{1+\cos 4x}{2}}\right)}=1\)
\(\Leftrightarrow 1+\cos 4x=\dfrac{2}{13}\)
\(\Leftrightarrow \cos 4x=-\dfrac{11}{13}\)
\(\Leftrightarrow 4x=\pm\arccos {\left({-\dfrac{11}{13}}\right)}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{4}\arccos {\left({-\dfrac{11}{13}}\right)}+k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}\).
Câu trả lời của bạn
Ta có: \(-\dfrac{1}{4}+{\sin}^2 x={\cos}^4 x\)
\(\Leftrightarrow- \dfrac{1}{4} + \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} = {\left( {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)^2}\)
\(\Leftrightarrow -1+2-2\cos 2x=1+2\cos 2x+{\cos}^2 2x \)
\(\Leftrightarrow {\cos}^2 2x+4\cos 2x=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos 2x=0\\\cos 2x=-4\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2} ,k\in\mathbb{Z}\).
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne 0\\\sin x\ne 0 \end{array} \right. \)
Ta có: \(2\tan x-3\cot x-2=0\)
\(\Leftrightarrow 2\tan x-\dfrac{3}{\tan x}-2=0\)
\(\Rightarrow 2{\tan}^2 x-3-2\tan x=0\)
\(\Leftrightarrow \tan x=\dfrac{1\pm\sqrt{7}}{2} \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arctan{\left({\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\arctan{\left({\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}}\right)}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.
Câu trả lời của bạn
ĐKXĐ:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\sin x \ne 0\\
\sin 2x \ne 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \) \(\Leftrightarrow 2x \ne k\pi \) \(\Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\)
Ta có: \(\cot x-\cot 2x=\tan x+1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\cos 2x}{2\sin x\cos x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}+1\)
\(\Rightarrow 2{\cos }^2 x-\cos 2x=2{\sin}^2 x+\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow 2({\cos}^2 x-{\sin}^2 x)-\cos 2x=\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow 2\cos 2x-\cos 2x=\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow \cos 2x=\sin 2x\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \tan 2x = 1\\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k\in\mathbb{Z}
\end{array}\)
Các giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình.
Câu trả lời của bạn
Ta có \({\cos}^2 x+2\sin x\cos x+5{\sin}^2 x=2\)
Thấy rằng \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình. Với \(\cos x\ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos}^2 x\) ta được
\(1+2\dfrac{\sin x}{\cos x} +5\dfrac{{\sin}^2 x}{{\cos}^2 x}=\dfrac{2}{{\cos}^2 x}\)
\(\Leftrightarrow 1+2\tan x+5{\tan}^2 x=2(1+{\tan}^2 x)\)
\(\Leftrightarrow 3{\tan}^2 x+2\tan x-1=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x = -1\\\tan x=\dfrac{1}{3}\end{array} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =-\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\\x=\arctan\dfrac{1}{3}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)
2 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *