Bài trước chúng ta đã nhắc đến giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ, hôm nay chúng ta sẽ được biết đến khái niệm Tích vô hướng của hai vectơ, liệu sẽ bằng 1 vectơ khác hay một giá trị đại số?
Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) được mô tả như hình sau:
Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói \(\vec a\) vuông góc với \(\vec b\).
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là \(\vec a.\vec b\) và được xác định bởi công thức
\(\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )\)
Bình phương vô hướng:
Với mỗi vectơ \(\vec a\) tùy ý, tích vô hướng \(\vec a.\vec a\) được kí hiệu là \(|\vec a|^2\) được gọi là bình phương vô hướng
Ta có: \(\vec a^2=|\vec a|.|\vec a|.cos0^o=|\vec a|^2\)
Như vậy: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó
Với ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) tùy ý và một số thực k, ta có:
\(\vec a.\vec b=\vec b.\vec a\) (tính chất giao hoán)
\(\vec a.\vec b=0\Leftrightarrow \vec a\perp \vec b\)
\((k\vec a).\vec b=\vec a.(k\vec b)=k.(\vec a.\vec b)\)
\(\vec a. (\vec b\pm \vec c)=\vec a.\vec b\pm \vec a.\vec c\) (tính chất phân phối tổng hiệu)
Ta dễ dàng chứng minh được \(MT^2=MA.MB\) thông qua việc chứng minh tam giác đồng dạng
Mặc khác theo định lý Pytago vào tam giác OMT vuông tại T (vì MT là tiếp tuyến)
Ta có: \(MT^2=OM^2-OT^2\)
Theo ý trên: \(MA.MB=\vec{MA}.\vec{MB}\) (vì M, A, B thẳng hàng)
Vậy: \(\vec{MA}.\vec{MB}=OM^2-OT^2\)
Đây chính là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O).
Cho hai vectơ \(\vec{a}(x;y);\vec{b}(x';y')\). Khi đó:
Tính tích vô hướng của \(\vec{a}(2;3)\) và \(\vec{b}(1;1)\) biết chúng tạo với nhau một góc \(30^o\)
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có: \(\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.cos30\)
\(=\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{1^2+1^2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{78}}{2}\)
Cho hình vuông ABCD cạnh a đường chéo BD. Tính các tích vô hướng sau: \(\vec{AD}.\vec{AB}\), \(\vec{AD}.\vec{BD}\) và \(\vec{AB}.\vec{CD}\)
Vì \(AD\perp AB\) nên \(\vec{AD}.\vec{AB}=0\)
\(\vec{AD}.\vec{BD}=|\vec{AD}|.|\vec{BD}|cosADB=a.a\sqrt{2}.cos45=a^2\)
\(\vec{AB}.\vec{CD}=|\vec{AB}|.|\vec{CD}|.cos0^o=a^2\)
Tính giá trị của biểu thức \(A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha}\) biết \(sin\alpha=\frac{1}{4}\)
Ta có: \(A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha}\)\(=\frac{11\frac{sin\alpha}{cos\alpha}-5\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}{34\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+2\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}\)\(=\frac{11sin^2\alpha-5cos^2\alpha}{34sin^2\alpha+2cos^2\alpha}\)
\(=\frac{16sin^2\alpha-5}{36sin^2\alpha+2}\)
\(=\frac{16.(0,25)^2-5}{32.(0,25)^2+2}=-1\)
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
\(B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)\)
Ta có:
\(B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)\)
\(=2(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)-3(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x)\)
\(=2(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)\)
\(=2(1-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)\)
\(=-1\)
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc x
Bài trước chúng ta đã nhắc đến giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ, hôm nay chúng ta sẽ được biết đến khái niệm Tích vô hướng của hai vectơ, liệu sẽ bằng 1 vectơ khác hay một giá trị đại số?
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 2 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho vectơ \(\vec{a}(4;3)\) và vectơ \(\vec{b}(-3;4)\). Góc hợp bởi 2 vectơ trên là \(90^o\). Tích vô hướng của hai vectơ trên là:
Cho \(\vec {a}(1;3)\) và \(\vec {b}(-2;4)\). Góc tạo bởi hai vectơ trên là:
Cho hai vectơ \(\vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}\) và \(\vec{b}=k\vec{i}-\vec{j}\)
Giá trị của k để \(\vec{a}\perp \vec{b}\) là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 2 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 45 SGK Hình học 10
Bài tập 2 trang 45 SGK Hình học 10
Bài tập 3 trang 45 SGK Hình học 10
Bài tập 4 trang 45 SGK Hình học 10
Bài tập 5 trang 46 SGK Hình học 10
Bài tập 6 trang 46 SGK Hình học 10
Bài tập 7 trang 46 SGK Hình học 10
Bài tập 2.13 trang 91 SBT Hình học 10
Bài tập 2.14 trang 91 SBT Hình học 10
Bài tập 2.15 trang 91 SBT Hình học 10
Bài tập 2.16 trang 91 SBT Hình học 10
Bài tập 2.17 trang 91 SBT Hình học 10
Bài tập 2.18 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.19 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.20 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.21 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.22 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.23 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.24 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.25 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.26 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.27 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.28 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 4 trang 51 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 5 trang 51 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 6 trang 51 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 7 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 8 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 9 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 10 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 11 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 12 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 13 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 14 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Cho vectơ \(\vec{a}(4;3)\) và vectơ \(\vec{b}(-3;4)\). Góc hợp bởi 2 vectơ trên là \(90^o\). Tích vô hướng của hai vectơ trên là:
Cho \(\vec {a}(1;3)\) và \(\vec {b}(-2;4)\). Góc tạo bởi hai vectơ trên là:
Cho hai vectơ \(\vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}\) và \(\vec{b}=k\vec{i}-\vec{j}\)
Giá trị của k để \(\vec{a}\perp \vec{b}\) là:
Chu vi của tam giác ABC có tọa độ ba điểm lần lượt là \(A(1;1);B(2;6);C(-2;4)\) bằng?
Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc B bằng 60 độ. Tọa độ điểm A(1;0), tọa độ điểm C(3;3). Có bao nhiêu tọa độ điểm B thỏa bài toán?
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(3; -2), C(5; 7). Giá trị của \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) là
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;\sqrt 3 } \right),\overrightarrow b = \left( { - 2\sqrt 3 ;6} \right)\). Góc giữa hai vectơ a và vecto b là
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(-2; 8), C(-3; 1). Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là
Cho hai điểm A(1; 1), B(3; 3). Điểm C thuộc trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C. Tọa độ của điểm C là:
Cho đoạn thẳng AB và điểm I thuộc đoạn thẳng AB thỏa mãn IA = 2IB. M là một điểm bất kì. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-1; -1), B(3; 1) và C(6; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính góc B của tam giác ABC.
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(5;4) và B(3;-2). Một điểm M di động trên trục hoành Ox. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\).
Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(3; 4), B(4; 1), C(2; -3), D(-1; 6). Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.
Trong các trường hợp nào tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) có giá trị dương, có giá trị âm, bằng 0 ?
Cho tam giác ABC. Tổng
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} } \right)\)
có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau: 900; 1800; 2700; 3600 ?
Cho tam giác ABC vuông ở A và góc B = 300. Tính giá trị của các biểu thức sau
a) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \sin \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \tan \frac{{\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)}}{2}\)
b) \(\sin \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) + \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BA} } \right)\)
Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh rằng
\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0 \).
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”.
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = A{B^2}\)
Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng
\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} = 0\).
Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM, BN.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} ;\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} \)
b) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \) theo R.
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M. Trên a có hai điểm A và B, trên b có hai điểm C và D đều khác M sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a và một số k2. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2−MB2 = k2
Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow v = k\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
a) Tìm các giá trị của k để \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \);
b) Tìm các giá trị của k để \(\left| {\overrightarrow u } \right| \bot \left| {\overrightarrow v } \right|\).
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có các đỉnh A(−4;1), B(2;4), C(2;−2).
a) Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.
b) Tìm tọa độ của trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của ba điểm I, G, H.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *