Cho hai véctơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 12\) và \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 13\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\) và suy ra góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \({\overrightarrow a + \overrightarrow b }\).
Dựng tam giác ABC có AB = 5, BC= 12 và AC = 13.
Ta có \(\overrightarrow b \) có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 12\) và \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 13\) và \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \).
Khi đó \(\vec a\left( {\vec a + \vec b} \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
Mặt khác ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}} \right)\\
= \frac{1}{2}\left( {{{13}^2} + {5^2} - {{12}^2}} \right) = 25
\end{array}\)
Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{25}}{{5.13}} \approx 0,3846\)
-- Mod Toán 10