Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.
Cần chứng minh \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0\)
Ta có: \(2\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} \) (vì M là trung điểm của đoạn HD).
\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} \)
Do đó:
\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} } \right)\\
= \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} + \underbrace {\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {HD} }_{ = 0}\\
\Rightarrow 2\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HD} } \right).\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {HD} + \underbrace {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} }_{ = 0} + \overrightarrow {HD} .\overrightarrow {BH} \\
= \overrightarrow {HD} .\underbrace {\left( {\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BH} } \right)}_{ = \overrightarrow {AC} } = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} = 0
\end{array}\)
Vậy AM vuông góc với BD.
-- Mod Toán 10