Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}B{C^2}\).
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {HM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {HM} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right)\\
= \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_{ = 0} + \underbrace {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} }_{ = 0} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} } \right)\\
= \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} } \right)\\
= \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {BC} } \right)} \right]\\
= \frac{1}{4}\left[ {\underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_{ = 0} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} + \underbrace {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} }_{ = 0} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right]\\
= \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} } \right)\\
= \frac{1}{4}\overrightarrow {CB} .\left( {\underbrace {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }_{\overrightarrow {CB} }} \right) = \frac{1}{4}{\overrightarrow {CB} ^2} = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2}
\end{array}\)
-- Mod Toán 10