Trong tam giác vuông chúng ta đã từng học về định lý Pi-ta-go biểu thị mối liên hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông. Bài này chúng ta sẽ tìm hiểu thêm nhiều hệ thức liên quan giữa các cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Tam giác ABC vuông tại A (hình 1), ta có:
\(b^2=a.b'\) , \(c^2=a.c'\), cách chứng minh định lý này khá đơn giản dựa vào 2 tam giác vuông đồng dạng là BAC và AHC.
Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Cụ thể ở hình 1, ta có: \(h^2=b'.c'\)
Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
Cụ thể ở hình 1, ta có: \(b.c=a.h\)
Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
Cụ thể ở hình 1, ta có: \(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) hay \(h=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}\)
Bài 1: Tính: \(x, y\)
Hướng dẫn:Áp dụng định lý 1 ta có: \(x^2=3,6.(3,6+6,4)=3,6.10=36\Rightarrow x=6\)
tương tự: \(y^2=6,4.(3,6+6,4)=6,4.10=64\Rightarrow y=8\)
Bài 2: Tính: \(x,y\)
Hướng dẫn: Áp dụng định lý số 2, ta có: \(4^2=2.y\Rightarrow y=8\).
Áp dụng định lý 1, ta có: \(x^2=2.(2+8)=2.10=20\Rightarrow x=2\sqrt{5}\)
Bài 3: Tính: \(x,y\)
Hướng dẫn: Áp dụng định lý 4, ta có: \(\frac{1}{x^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\Rightarrow x=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}=\frac{3.4}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{12}{5}\)
Áp dụng định lý 3, ta có: \(x.y=3.4\Rightarrow y=\frac{3.4}{x}=\frac{12}{\frac{12}{5}}=5\)
(có thể tính \(y\) trước bằng định lý pi-ta-go sau đó tính \(x\))
Bài 1: cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AH=12. Tính chu vi tam giác ABC
Hướng dẫn: Đặt: \(AB=3k, AC=4k\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9k^2+16k^2}=5k\)
Áp dụng định lý 3, ta có: \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow 3k.4k=5k.12\Rightarrow k=5\)
\(\Rightarrow AB=15; AC=20; BC=25\) và \(P=60\)
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB, HC lần lượt lấy M, N sao cho \(\widehat{AMC}=\widehat{ANB}=90^{\circ}\)
CMR: \(AM=AN\)
Hướng dẫn: Xét 2 tam giác ABD và ACE là hai tam giác vuông có chung góc A nên \(\Delta ABD\sim \Delta ACE\) (g.g) \(\Rightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\) (1)
\(\Delta ANB\) vuông tại N có NE là đường cao nên: \(AN^2=AE.AB\) (2)
\(\Delta AMC\) vuông tại M có MD là đường cao nên: \(AM^2=AD.AC\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN\)
3. Luyện tập Bài 1 Chương 1 Hình học 9
Qua bài giảng Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, BC=10. AH là đường cao. Độ dài BH và AH lần lượt là:
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết BH=9, CH=7. Độ dài AB và AC lần lượt là
Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A có AB=AC. Biết đường cao AH=4. tính AB, AC
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1
Bài tập 1 trang 68 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 2 trang 68 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 3 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 4 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 5 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 6 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 7 trang 69 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 8 trang 70 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 9 trang 70 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 1 trang 102 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 2 trang 102 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 3 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 4 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 5 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 6 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 7 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 8 trang 103 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 9 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 10 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 11 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 12 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 13 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 14 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 15 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 16 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 17 trang 104 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 18 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 19 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 20 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.1 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.2 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.3 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.4 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.5 trang 105 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.6 trang 106 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.7 trang 106 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.8 trang 106 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.9 trang 106 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 1.10 trang 106 SBT Toán 9 Tập 1
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, BC=10. AH là đường cao. Độ dài BH và AH lần lượt là:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết BH=9, CH=7. Độ dài AB và AC lần lượt là
Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A có AB=AC. Biết đường cao AH=4. tính AB, AC
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH=12, Biết BH-CH=7. Độ dài cạnh BC là bao nhiêu
Bài 5: Tam giác vuông ABC có: AB:AC lần lượt tỉ lệ với 3:4. Biết AH=6. Cạnh BC có độ dài là bao nhiêu
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AI có AB = 13, AI = 12. Diện tích tam giác ABC là:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AB =2,5 và AC =5. Vậy AH là:
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB =18, AC =24. Đường phân giác trong và ngoài góc B cắt AC lần lượt tại M và N. Độ dài MN là:
Cho tam giác MON vuông tại O, đường phân giác của góc O cắt cạnh huyền MN thành hai đoạn \(6 \frac{3}{7}\) và \(8 \frac{4}{7}\). Diện tích tam giác MON bằng?
Tam giác ABC có ba cạnh tỉ lệ với 3: 4: 5 và chu vi của tam giác đó là 96. ABC là tam giác gì?
Hãy tính x và y trong mỗi hình sau (hình 4a, b):
Hãy tính x và y trong hình dưới đây :
Hãy tính x và y trong hình sau (h.6)
Hãy tính x và y trong hình sau:
Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:
Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng
a) Tam giác DIL là một tam giác cân;
b) Tổng \(\frac{1}{{D{I^2}}} + \frac{1}{{D{K^2}}}\) không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Giải bài toán trong mỗi trường hợp sau:
a. Cho AH = 16, BH = 25. Tính AB, AC, BC, CH
b. Cho AB = 12, BH = 6. Tính AH, AC, BC, CH
Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền.
Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đường thẳng có độ dài là 3 và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Cạnh huyển của một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông là 1 cm và tổng của hai cạnh góc vuông lớn hơn cạnh huyển là 4cm. Hãy tính các cạnh của tam giác vuông này.
Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5 và đường cao tương ứng với cạnh huyền là 2. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.
Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạn góc vuông là 3 : 4 và cạnh huyền là 125 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{6}\) , đường cao AH = 30cm. Tính HB, HC.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Áp dụng hệ thức lượng: AB2 = BH.BC
Thay số ta được: 52=BH.13.Suy ra BH = 25/13
Vậy chọn đáp án: A
Câu trả lời của bạn
Kẻ BI ⊥ DC. Khi đó ABID là hình chữ nhật nên AD = BI; AB = DI = 12cm.
Xét tam giác vuông BIC có: IC2=BC2-BI2
Suy ra IC = 16cm.
Xét tam giác vuông BDC .Theo hệ thức lượng ta có: BI2 = DI.IC
Thay số:162 = DI . 13.Tứ đó suy ra DI = 256/13 cm.
Vậy chọn đáp án A
Câu trả lời của bạn
Tên tam giác là j z
xét tam giác MNP có.
NK+KP=NP
mà NK=3,6 ;KP=6,4.
suy ra : 3,6+6,4=10
xet tam giác MNP vuong tai M có
MN^2=NP x NK
MN^2=3,6 x10
MN^2=36
MN=6
xet tam giác MNP vuông tại M có
NP^2=MN^2+MP^2 (DL pi-ta-go)
10^2=6^2+MP^2
100=36+MP^2
MP^2=64
MP=8
xét tam giác MNP vuong tại M có
MK^2=NK x KP
MK^2=3,6 x 6,4
MK^2=2304
MK=48
với NK=9cm ,KP=16cm tính tuong tu
Cho vuông ở B. Biết , đường cao BH=30cm. Tính AH,HC
Câu trả lời của bạn
.
Mk bị nhầm đề bài: mới đúng!
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
bài rất khó các bạn ạ
Câu trả lời của bạn
tam giác ABC vuông tại A=> AH*2=BH.HC=3*12+>AB=4căn3
Câu trả lời của bạn
đồng biến
Bài 53 (Sách bài tập trang 113)
Tam giác ABC vuông tại A có \(AB=21cm,\widehat{C}=40^0\). Hãy tính các độ dài :
a) AC
b) BC
c) Phân giác BD
(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)
Câu trả lời của bạn
a) Ta có: \(AC = AB.\cot \hat C = 21.\cot \widehat {{{40}^o}} \simeq 25,0268\left( {cm} \right)\)
b) Ta có: \(BC = \frac{{AC}}{{\sin \hat C}} = \frac{{21}}{{\sin \widehat {{{40}^o}}}} \simeq 32,6702\left( {cm} \right)\)
c) Vì vuông tại A nên \(\hat B + \hat C = {90^o}\)
Suy ra: \(\hat B = {90^o} - \hat C = {90^o} - {40^o} = {50^o}a\)
Vì BD là phân giác của B nên:
\(\widehat {ABD} = \frac{1}{2}\hat B = \frac{1}{2}{.50^o} = {25^o}\)
Trong tam giác vuông ABD, ta có:
\(BD = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} = \frac{{21}}{{\cos {{25}^o}}} \simeq 23,1709\left( {cm} \right)\)
cho một tam giác vuông biết tỉ số 2 cạnh góc vuông là 125cm .Tính độ dái các hình chiếu cúa các cạnh góc vuông
Câu trả lời của bạn
Sao tỉ số 2 cạnh góc vuông lại là 125 cm ???? Tớ nghĩ đó là tổng hoặc hiệu chứ ???
Bài 4.7 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 117)
Cho tam giác ABC có \(BC=7;\widehat{ABC}=42^0;\widehat{ACB}=35^0\). Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A. Hãy tính AH (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)
Câu trả lời của bạn
Bài 4.6 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 117)
Trong hình thang ABCD, tổng của hai đáy AD và BC bằng b, đường chéo AC = a, góc ACB bằng \(\alpha\). Hãy tìm diện tích của hình thang đó ?
Câu trả lời của bạn
Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là a, b; góc đối diện với cạnh a là \(\alpha\); góc đối diện với cạnh b là \(\beta\) và cạnh huyền là c. Hãy tìm khẳng định đúng :
(A) \(a=b\sin\beta\) (B) \(a=b\cos\beta\) (C) \(a=btg\beta\) (D) \(a=bcotg\beta\)
Câu trả lời của bạn
ý D
Tính diện tích các hình bình hành có hai cạnh 12cm và 15 cm, góc tạo bởi hai cạnh ấy bằng \(110^0\) ?
(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)
Câu trả lời của bạn
vì ABCD là hình bình hành
=> AD // BC ( tính chất )
=> \(\widehat{A}+\widehat{B}=180^0\)( hai góc trong cùng phía)
=> \(\widehat{B}=180^0-110^0=70^0\)
Kẻ AH\(\perp\)BC tại H, ta có tam giác vuông ABH
Xét tam giác vuông ABH, có:
AH=AB*sin B=12*sin 70 độ
\(AH\approx11,276\)(cm)
ta có: AD=BC ( ABCD là hình chữ nhật )
\(\Rightarrow S_{ABCD}=AH\cdot BC\approx11,276\cdot15=169,14\)(\(cm^2\))
Cho tam giác ABC có \(BC=12cm,\widehat{B}=60^0,\widehat{C}=40^0\). Tính :
a) Đường cao CH và cạnh AC
b) Diện tích tam giác ABC
(Các kết quả tính độ dài, diện tích, các tỉ số lượng giác được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba và các kết quả tính góc được làm tròn đến phút)
Câu trả lời của bạn
a) Trong tam giác vuông BCH, ta có:
CH=BC.sinB^=12.sin60≈10,392 (cm)
Trong tam giác vuông ABC, ta có:
\(A\)=180−(60+40)=80
Trong tam giác vuông ACH, ta có:
\(AC=\dfrac{CH}{sinA}=\dfrac{10,932}{sin80}=10,552\left(cm\right)\)
b) Kẻ AK⊥BCAK⊥BC
Trong tam giác vuông ACK, ta có:
AK=AC.sinC≈10,552.sin40=6,783 (cm)
Vậy SABC=12.AK.BC≈12.6,783.12=40,696 (cm2)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC > BD. Kẻ CH vuông góc vs AD, Ck vuông góc vs AB.
a/ CMR : tam giác CKH và tam giác BCA đồng dạng.
b/ CM : HK = AC.\(\sin BAD\)
c/ Tính diện tích AKCH biết góc BAD = 60 độ, AB = 4cm, AD = 5cm.
Câu trả lời của bạn
a) Chứng minh tam giác CKH đồng dạng tam giác BCA
AKC^ + ABC^ = 2v
=> AKCH nội tiếp
=> CHK^ = CAB^ (1) ( cùng chắn cung CK)
CKH^ = CAH^ (2) ( cùng chắn cung CH)
CAH^ = ABC^ (3) ( so le trong)
(2) và (3) => CKH^ = ACB^ (4)
(1) và (4) => ΔCKH ~ ΔBCA (g.g)
b) Chứng minh HK=AC.sinBAD
ΔCKH ~ ΔBCA
=>HK/AC = CH/AB = CH/CD = sin(CDH^) = sin(BAD^) ( đồng vị)
=> HK = AC.sin(BAD^)
c) Tính diện tích tứ giác AKCH nếu góc BAD = 60 độ, AB=4cm, AD=5cm AB = CD = 4
CDH^ = BAD^ = 60*
=> CH = 4√3/2 = 2√3 ( đường cao tam giác đều cạnh = 4)
DH = CD/2 = 4/2 = 2
=> AH = AD + DH = 5 + 2 = 7
AD = BC = 5 CBK^ = BAD^ = 60*
=> CK = 5.√3/2
BK = BC/2 = 5/2
=> AK = AB + BK = 4 + 5/2 = 13/2 S(AKCH) = S(ACK) + S(ACH) = AK.CK/2 + AH.CH/2 = (13/2).( 5.√3/2)/2 + 7.(2√3)/2 = 732√3/8
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *