Ta đã biết thế nào là tổng và hiệu của hai vectơ. Bây giờ lấy vectơ a cộng với chính nó thì ta sẽ được 2 lần vectơ a. Bài học này sẽ giúp các em hiểu được tích của vectơ và một hằng số có phải là một vectơ khác không?
Xem hình vẽ minh họa và ta có các nhận xét sau:
Xét hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) ta nhận thấy rằng:
Chúng có giá song song với nhau và cùng hướng, độ lớn về chiều dài của \(\vec{b}\) gấp 2 lần độ lớn chiều dài của \(\vec{a}\)
Lúc đó, ta viết rằng: \(\vec{b}=2\vec{a}\)
Xét đến hai vectơ \(\vec{c}\) và \(\vec{d}\) ta có nhận xét:
Chúng có giá song song và ngược hướng, độ lớn về chiều dài của \(\vec{d}\) gấp 3 lần độ lớn chiều dài của \(\vec{c}\)
Lúc đó, ta viết rằng: \(\vec{d}=-3\vec{c}\)
Định nghĩa:
Tích của vectơ \(\vec{a}\) với số thực k là một vectơ, kí hiệu là \(k\vec{a}\), được xác định như sau:
Chúng ta cùng xem qua hình ảnh sau:
Một cách tổng quá, ta có:
Vectơ \(\vec{b}\) cùng phương với vectơ \(\vec{a}\neq \vec{0}\) khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho \(\vec{b}=k\vec{a}\)
Ứng dụng vào ba điểm thẳng hàng:
Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho \(\vec{AB}=k\vec{AC}\)
Dựa vào hình trên, ta có định lí sau:
Cho hai vectơ không cùng phương \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Khi đó mọi vectơ \(\vec{x}\) đều có thể hiển thị một cách duy nhất qua hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), nghĩa là có cặp số duy nhất m và n sao cho:
\(\vec{x}=m\vec{a}+n\vec{b}\)
Cho tam giác OAB vuông cân với \(OA=OB=a\). Tính độ dài của các vectơ \(\vec{OA}+\vec{OB}\); \(3\vec{OA}+4\vec{OB}\)
Do tam giác OAB vuông cân tại O có cạnh là a. Dễ dàng tính được \(\vec{OA}+\vec{OB}\) theo quy tắc hình bình hành, \(\vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OD}\)
Độ lớn của \(|\vec{OD}|\)=\(a\sqrt{2}\)
Tương tự, ta tính \(3\vec{OA}+4\vec{OB}\)
Nhận thấy rằng \(3|\vec{OA}|=3a;4|\vec{OB}|=4a\)
Theo quy tắc hình bình hành và theo hình vẽ, ta có \(3\vec{OA}+4\vec{OB}=\vec{OC}\)
Độ lớn của \(|\vec{OC}|=5a\) theo định lý Pytago.
Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có hệ thức: \(\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{CB}-\vec{CD}\)
Đề yêu cầu cần chứng minh \(\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{CB}-\vec{CD}\)
Ta viết lại: \(\Leftrightarrow \vec{AB}+\vec{DA}=\vec{CB}+\vec{DC}=\vec{DB}\Rightarrow dpcm\)
Cho hình chữ nhật có \(AB=5cm\), \(BC=10cm\). Tính \(|\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}|\).
Như hình trên, chúng ta có thể viết lại như sau:
\(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}=\vec{DC}+\vec{AC}+\vec{AD}=\vec{AC}+\vec{AC}=2\vec{AC}\)
Vậy \(|\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}|=2|\vec{AC}|\)
Bằng Pytago, ta dễ dàng tính toán được \(2|\vec{AC}|=10\sqrt{5}(cm)\)
Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc đoạn BC sao cho \(MB=2MC\). Chứng minh rằng: \(\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}\)
Theo giả thiết, \(MB=2MC\).
Trên AB lấy điểm D sao cho \(AD=\frac{1}{3}AB\), trên AC lấy điểm E sao cho \(CE=\frac{1}{3}AC\)
Vậy, theo đề được viết lại như sau: \(\frac{1}{3}\vec{AB}=\vec{AD};\frac{2}{3}\vec{AC}=\vec{AE}\)
Cần chứng minh ADME là hình bình hành.
Thật vậy, với tỷ lệ đề cho, ta tìm được các cặp cạnh đối song song nhờ định lí Thales đảo.
Vậy: \(\left\{\begin{matrix} AD//ME\\ AE//DM \end{matrix}\right.\) hay ADME là hình bình hành
Nên \(\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}\).
Ta đã biết thế nào là tổng và hiệu của hai vectơ. Bây giờ lấy vectơ a cộng với chính nó thì ta sẽ được 2 lần vectơ a. Bài học này sẽ giúp các em hiểu được tích của vectơ và một hằng số có phải là một vectơ khác không?
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 1 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm khẳng định sai:
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Mệnh đề sai là?
Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Vectơ \(\vec{CA}-\vec{HC}\) có độ dài là?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 2 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 3 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 4 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 5 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 6 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 7 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 8 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 9 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 1.20 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.21 trang 35 SBT Hình học 10
Bài tập 1.22 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.23 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.24 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.25 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.26 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.27 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.28 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.29 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.30 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.31 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.32 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.33 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.34 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.35 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 21 trang 23 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 22 trang 24 SGK Toán 10 NC
Bài tập 23 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 24 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 25 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 26 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 27 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 28 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Tìm khẳng định sai:
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Mệnh đề sai là?
Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Vectơ \(\vec{CA}-\vec{HC}\) có độ dài là?
Cho hình bình hành ABCD có \(AD=2cm, AB=4cm, BD=5cm\). Giá trị của \(|\vec{BA}-\vec{DA}|\) là:
Cho vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và các số thực m, n, k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho ba điểm A, B, C phân biệt sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \). Biết rằng B nằm giữa A và C. Giá trị k thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
Cho ba ABC với các trung tuyến AM, BN, CP. Khẳng định nào sau đây sai?
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Vị trí của điểm M trên d sao cho
có giá trị nhỏ nhất là:
Cho tứ giác ABCD; X là trọng tâm của tam giác BCD, G là trọng tâm tứ giác ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \).
Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {IJ} \).
Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm K sao cho \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB} \).
b) Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Chứng minh:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} ;\\
\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \\
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}
\end{array}\)
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Chứng minh \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G.
Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a. Hãy dựng các vec tơ sau đây và tính độ dài của chúng
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ;\\
\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ;\\
3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} ;\\
\frac{{21}}{4}\overrightarrow {OA} + 2,5\overrightarrow {OB} ;\\
\frac{{11}}{4}\overrightarrow {OA} - \frac{3}{7}\overrightarrow {OB} .
\end{array}\)
Cho tam giác OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh OA và OB. Hãy tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\overrightarrow {OM} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \\
\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\overrightarrow {AN} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB} \\
\overrightarrow {MB} = m\overrightarrow {OA} + n\overrightarrow {OB.}
\end{array}
\end{array}\)
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:
\(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)
Cho tam giác ABC và điểm G. Chứng minh rằng
a) Nếu \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) thì G là trọng tâm tam giác ABC;
b) Nếu có điểm O sao cho \(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\) thì G là trọng tâm tam giác ABC.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {GA} \) và \(\overrightarrow b = \overrightarrow {GB} \). Hãy biểu thị mỗi vec tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {GC} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) qua các vec tơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\)
Chứng minh rằng nếu G và G′ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A′B′C′ thì
\(3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \)
Từ đó hãy suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và A′B′C′ có trọng tâm trùng nhau.
Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau.
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
a) Có một điểm G duy nhất sao cho \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\). Điểm G như thế gọi là trọng tâm của bốn điểm A, B, C, D. Tuy nhiên, người ta vẫn quen gọi G là trọng tâm của từ giác ABCD.
b) Trọng tâm G là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tam giác.
c) Trọng tâm G nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *