Cho hai tam giác ABC và A′B′C′. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0\) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.
Gọi G và G′ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A′B′C′. Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} \\
\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} \\
\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GC'}
\end{array}\)
Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta được:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + 3\overrightarrow {GG'} + \left( {\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + 3\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {GG'}
\end{array}\)
Do đó, nếu \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0\) thì \(\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \) hay G ≡ G′
Chú ý: Từ chứng minh trên cũng suy ra rằng nếu hai tam giác ABC và A′B′C′ có cùng trọng tâm thì \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0\)
-- Mod Toán 10