Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ANP.
Khi đó \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {PQ} \\
= \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} } \right) + \overrightarrow {AC} + \left( {\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} } \right) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0
\end{array}\)
(Vì \(\overrightarrow {NM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \) nên \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {CA} \)).
Vậy \(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow 0\)
Suy ra G là trọng tâm của tam giác CMQ.
-- Mod Toán 10