Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Chứng minh:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} ;\\
\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \\
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}
\end{array}\)
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Chứng minh \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G.
a) Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên BD⊥AB, DC⊥AC.
Ta có CH⊥AB, BH⊥Anên suy ra CH//BD và BH//DC.
Vậy tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Vì O là trung điểm của nên \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} \) (1)
Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \) (3)
Theo quy tắc ba điểm, từ (3) suy ra \(\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OH} \)
Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \) (4).
c) G là trọng tâm của tam giác .
Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \).
Từ (4) suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \). Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.
Nhận xét :
Trong một tam giác trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng.
-- Mod Toán 10