Kiến thức về Đường tròn là kiến thức trọng tâm và quan trọng của toán lớp 9, đặc biết hơn đó là áp dụng vào các bài toán về Tứ giác nội tiếp, các định lý hình học nổi tiếng. Chúng ta cùng ôn tập lại chương Đường tròn nhé.
1. Khái niệm về đường kính
Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính
Trong một đường tròn, đườngkính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Định lý 1:
Trong một đường tròn
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
Định lý 2:
Trong một đường tròn
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
3. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau
Khi một đường thẳng a và đường tròn (O;R) có 2 điểm chung ta nói đường thẳng a và đường tròn (O; R) cắt nhau. Đường thẳng a gọi là cát tuyến của đường tròn (O; R)
Khi đó: Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên a thì OH là khoảng cách từ O đến a và OH
b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O; R) có 1 điểm chung tại C ta nói đường thẳng a và đường tròn (O; R) tiếp xúc nhau
Ta còn nói đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn. Điểm C gọi là tiếp điểm và OC chính là khoảng cách từ O đến a. Khi đó OH = R
Định lý:
Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
Khi đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung nào thì ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau
4. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn tới đường thẳng và bán kính của đường tròn
Cho đường thẳng a và (O; R). Đặt OH = d là khoảng cách từ O đến đường thẳng a. Khi đó:
d < R <=> đường thẳng a cắt (O; R) tại hai điểm phân biệt
d = R <=> đường thẳng a có 1 điểm chung với (O; R) (hay đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R))
d > R <=> đường thẳng a không có điểm chung với đường tròn (O; R)
5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Định lý:
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn
6. Định lý về hai tiếp tuyến cắt nhau
Định lý:
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
- Góc tạo bởi hai tiếp tuyến AB và AC là góc BAC
- Góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm là BOC
7. Đường tròn nội tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh một tam giác gọi là đường nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn
- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của các đường phân giác trong của tam giác đó.
8. Tính chất đường nội tâm
Định lý:
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
9. Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính
Xét hai đường tròn (O; R) và (O'; r) trong đó \(R \ge r\)
a) Hai đường tròn cắt nhau
Nếu hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cắt nhau thì R - r < OO' < R + r
b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau
- Nếu (O) và (O') tiếp xúc ngoài thì: OO' = R + r
- Nếu (O) và (O') tiếp xúc trong thì: OO' = R - r
c) Hai đường tròn không giao nhau
- Nếu hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài thì OO' > R -r
10. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó
- Tiếp tuyến chung ngoài không cắt đoạn nội tâm
- Tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối tâm
- Nếu đường tròn (O) đựng đường tròn (O') thì OO' < R - r
- Nếu hai đường tròn (O) và (O') đồng tâm thì OO' = 0
Bài 1: Cho đường tròn (O;R) và 2 dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA=4, IB=8. Khoảng cách từ tâm O tới AB là d và tới CD là d'
Giá trị của d và d'
Hướng dẫn:
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên CD, AB. Vì tứ giác OFIE có 3 góc vuông nên OFIE là hình chữ nhật
ta lại có OE=OF do AB=CD nên OFIE là hình vuông khi đó:
\(OE=OF=EI=FI=FA-IA=\frac{AB}{2}-IA=\frac{IA+IB}{2}-IA=2\)
Bài 2: Cho (O;10), dây AB=20. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách tới AB là 8. Độ dài dây CD là?
Hướng dẫn:
Vì đường kính của đường tròn là 20 nên AB đi qua tâm đường tròn.
Gọi E là trung điểm của CD \(\Rightarrow OE\perp AB\)
Trong tam giác OEC vuông tại E, ta có: \(CE=\sqrt{CO^2-OE^2}=6\)
\(CD=2CE=12\)
Bài 3: Cho đường tròn (O;3). Một điểm A cách O một khoảng là 8. Kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). Độ dài AB là:
Hướng dẫn:
Dựa vào hình trên, ta thấy rằng:
Tam giác AOB vuông tại B
\(\Rightarrow AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=\sqrt{55}\)
Bài 4: Cho đường tròn (O;4). Một điểm A cách O một khoảng là 12. Kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là tiếp điểm). OA cắt đường tròn tại C. Qua C dựng đường thẳng song song với OB, cắt AB tại D. Độ lớn của CD là?
Hướng dẫn:
Ta có: \(CD//OB\Rightarrow \frac{CD}{OB}=\frac{AC}{AO}\)\(\Rightarrow CD=\frac{AC.OB}{AO}=\frac{8.4}{12}=\frac{8}{3}\)
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6, AC=8. Đường tròn (I;r) nội tiếp tam giác ABC. Giá trị của r là:
Hướng dẫn:
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=24=p.r\Rightarrow r=\frac{24}{\frac{1}{2}.(AB+AC+\sqrt{AB^2+AC^2})}=2\)
Qua bài giảng giúp các em nắm được các nội dung:
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương Đường trònđể kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho đường tròn (O;5) và (O';4). Biết OO'=10. Vị trí tương đối của hai đường tròn là
Cho hai đường tròn (O;4) và (O';4) cắt nhau tại A và B. Biết OO'=6. Độ dài dây cung chung AB là:
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương Đường tròn sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
Câu hỏi 1 trang 126 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 2 trang 126 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 3 trang 126 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 4 trang 126 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 5 trang 126 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 6 trang 126 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 7 trang 126 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 8 trang 126 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 9 trang 126 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 10 trang 126 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 41 trang 128 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 42 trang 128 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 43 trang 128 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 81 trang 171 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 82 trang 171 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 83 trang 171 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 84 trang 171 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 85 trang 172 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 86 trang 172 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 87 trang 172 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 88 trang 172 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 88 trang 172 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập II.1 trang 173 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 2.2 trang 173 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 2.3 trang 173 SBT Toán 9 Tập 1
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho đường tròn (O;5) và (O';4). Biết OO'=10. Vị trí tương đối của hai đường tròn là
Cho hai đường tròn (O;4) và (O';4) cắt nhau tại A và B. Biết OO'=6. Độ dài dây cung chung AB là:
Cho tam giác ABC có AB=5, AC=12, BC=13. Khi đó:
Cho (O). Từ một điểm M ngoài (O) vé hai tiếp tuyến MA, MB sao cho \(\widehat{AMB}=60^{\circ}\). Biết chu vi của tam giác MAB là 30. Tính độ dài dây AB
Cho đường tròn (O;R) và một dây CD. Từ O kẻ tia vuông góc với CD tại M, cắt (O) tại H (M nằm giữa O và H). Biết CD=16, MH=4. R=?
Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác? Nêu cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Thế nào là đường tròn nội tiếp một tam giác? Nêu cách xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.
Chỉ rõ tâm đối xứng của đường tròn, trục đối xứng của đường tròn.
Chứng minh định lí: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
Phát biểu các định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.
Phát biểu các định lí về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Nêu các vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa d (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) và R (bán kính của đường tròn).
Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn. Phát biểu tính chất của tiếp tuyến và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến. Phát biểu các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Nêu các vị trí tương đồi của hai đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa đoạn nối tâm d với các bán kính R, r.
Tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc nhau có vị trí như thế nào đối với đường nối tâm? Các giao điểm của hai đường tròn cắt nhau có vị trí như thế nào đối với đường nối tâm?
Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.
Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và(O); (I) và (K).
b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh đẳng thức \(AE.AB = AF.AC\)
d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K)
e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) ME.MO = MF.MO’
c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.
Cho hai đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và \(B (R > r)\). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A).
a) Chứng minh rằng AC = AD.
b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB
Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa AB. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, BC. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn hơn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, BC theo thứ tự tại M, N.
a. Tứ giác DMCN là hình gì? Vì sao?
b. Chứng minh hệ thức DM.DA = DN.DB
c. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính AC, BC
d. Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D ∈ (O), E ∈ (O’). Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE.
a. Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao?
b. Chứng minh hệ thức IM.IO = IN.IO’
c. Chứng minh rằng OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE
d. Tính độ dài DE, biết rằng OA = 5cm, O’A = 3,2cm
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, OO’ = 3cm. Qua A kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại E và F (A nằm giữa E và F). Tính xem đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:
a. Tam giác EBF cân
b. Tamm giác HAF cân
c. HA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Cho đường tròn \((O),\) đường kính \(AB,\) điểm \(M\) thuộc đường tròn. Vẽ điểm \(N\) đối xứng với \(A\) qua \(M.\) \(BN\) cắt đường tròn ở \(C.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM.\)
\(a)\) Chứng minh rằng \(NE ⊥ AB.\)
\(b)\) Gọi \(F\) là điểm đối xứng với \(E\) qua \(M.\) Chứng minh rằng \(FA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)
\(c)\) Chứng minh rằng \(FN\) là tiếp tuyến của đường tròn \(( B ; BA).\)
Cho đường tròn \((O),\) đường kính \(AB,\) điểm \(C\) nằm giữa \(A\) và \(O.\) Vẽ đường tròn \((O')\) có đường kính \(CB.\)
\(a)\) Hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau \(?\)
\(b)\) Kẻ dây \(DE\) của đường tròn \((O)\) vuông góc với \(AC\) tại trung điểm \(H\) của \(AC.\) Tứ giác \(ADCE\) là hình gì \(?\) Vì sao\(?\)
\(c)\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(DB\) và đường tròn \((O').\) Chứng minh rằng ba điểm \(E, C, K\) thẳng hàng.
\(d)\) Chứng minh rằng \(HK\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O').\)
Cho hai đường tròn \((O ; R)\) và \((O' ; R')\) tiếp xúc ngoài tại \(A ( R > R').\) Vẽ các đường kính \(AOB, AO'C.\) Dây \(DE\) của đường tròn \((O)\) vuông góc với \(BC\) tại trung điểm \(K\) của \(BC.\)
\(a)\) Chứng minh rằng tứ giác \(BDCE\) là hình thoi.
\(b)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(EC\) và đường tròn \((O').\) Chứng minh rằng ba điểm \(D, A, I\) thẳng hàng.
\(c)\) Chứng minh rằng \(KI\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O').\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Vẽ các tiếp tuyến Ax , By về nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn . Trên Ax và By theo thứ tự lấy M và N sao cho góc MON bằng 90 độ . Gọi I là trung điểm của MN . Chứng Minh rằng :
a) AB là tiếp tuyến của đường tròn (I ; IO )
b) MO là tia phân giác của góc AMN
c) MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
a) CMR tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Đường thẳng đi qua A vuông góc với EF và cắt BC tại I. CMR I là trung điểm của BC
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Một đường tròn có bán kính 25 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo : a) \(\dfrac{3\pi}{7}\) b) \(49^0\) c) \(\dfrac{4}{3}\)
Câu trả lời của bạn
Áp dụng công thức: \(l=R\alpha\).
a) \(l=25.\dfrac{3\pi}{7}=\dfrac{75\pi}{7}\) (cm).
b) Đổi \(49^o=\dfrac{49\pi}{180}\).
\(l=25.\dfrac{49\pi}{180}\left(cm\right)=\dfrac{245}{36}cm\).
c) \(l=25.\dfrac{4}{3}\left(cm\right)=\dfrac{100}{3}cm\).
Điểm hạ cánh của một máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B. Biết khoảng cách giữa hai người này là 300m, góc "nâng" để nhìn thấy máy bay tại ví trí A là \(40^0\) và tại vị trí B là \(30^0\) (h.34). hãy tìm độ cao của máy bay ?
Câu trả lời của bạn
Gọi C là vị trí của máy bay.
Kẻ CH⊥ABCH⊥AB
Trong tam giác vuông ACH, ta có:
AH=CH.cotgˆA(1)AH=CH.cotgA^(1)
Trong tam giác vuông BCH, ta có:
BH=CH.cotgˆB(2)BH=CH.cotgB^(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(AH+BH)=CH.cotgˆA+CH.cotgˆB(AH+BH)=CH.cotgA^+CH.cotgB^
Suy ra:
CH=ABcotgˆA+cotgˆB=ABcotg40∘+cotg30∘≈102,606(cm)
cho đường tròn (O;R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn . Kẻ các tiếp tuyến SA,SB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm ). Một đường thẳng đi qua S cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm M và N với M nằm giữa S và N . Gọi H là giao điểm của SO và AB; I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E.
a) cm IHSE nội tiếp
b) cm: OI.OE=R2
C) Cho SO=2R và MN=Rcăn 3 . Tính S tam giác ESM theo R.
CÁC BN GIÚP MK CÂU C VS CÂU a,b VÀ PHẦN VẼ HÌNH KHỎI LÀM. HELP!!!
Câu trả lời của bạn
Bài 84 (Sách bài tập trang 120)
Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC
a) Chứng minh :
\(\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{DB}{DC}\)
b) Chứng minh :
\(\Delta BDE\) \(\Delta CDB\)
c) Tính tổng \(\widehat{AEB}+\widehat{BCD}\) bằng hai cách :
Cách 1 : Sử dụng kết quả ở câu b)
Cách 2 : Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *