Chương Hệ thức lượng trong tam giác vuông cung cấp cho các em kiến thức cần thiết về tam giác vuông, cách tính độ dài hình học, các góc lượng giác, mối liên hệ công thức của đường cao với các cạnh góc vuông, công thức tính diện tích, cực trị hình học...
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Đặt \(AB=c, BC=a, AC=b, AH=h, HC=b', HB=c'\). Ta có:
\(b^2=a.b'\)
\(c^2=a.c'\)
\(h^2=b'.c'\)
\(b.c=a.h\)
\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) hay \(h=\frac{b.c}{\sqrt{b^2+c^2}}\)
Các lưu ý:
\(tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }; cotg\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }\)
\(tan\alpha .cotg\alpha =1 , sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\)
\(1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }; 1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }\)
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB:AC = 2,4 và \(AH=\frac{60}{13}\). Tính chu vi tam giác ABC
Hướng dẫn: Ta có:
\(\frac{AB}{AC}=\frac{12}{5}\Leftrightarrow 5AB=12AC\)
\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{AB^2+\frac{25AB^2}{144}}=\frac{13AB}{12}\)
Ta có: \(AB.AC=BC.AH\Leftrightarrow AB.\frac{5AB}{12}=\frac{13AB}{12}.\frac{60}{13}\)
\(\Leftrightarrow AB^2=12AB^2\)
Mà \(AB>0\Rightarrow AB=12\Rightarrow AC=5\Rightarrow BC=13\)
Vậy chu vi của hình tam giác là \(AB+AC+BC=5+12+13=30(dvdd)\)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có tỉ số cạnh \(\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}\). Tính cạnh BC theo AB và các góc của tam giác ABC
Hướng dẫn:
Đặt \(AB=x\)
\(\Rightarrow AC=x\sqrt{3}\)
Theo định lí Pytago, ta suy ra được \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{x^2+3x^2}=2x\)
Ta có: \(cosABC=\frac{AB}{BC}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(\widehat{ABC}=60^{\circ}\)
\(\Rightarrow \widehat{ACB}=30^{\circ}\), \(\widehat{BAC}=90^{\circ}\)
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết AC=9, BC=11. Giá trị của sinB và cosB lần lượt là
Hướng dẫn: Ta có: \(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{11^2-9^2}=2\sqrt{10}\)
\(sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{9}{11}\)
\(cosB=\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{10}}{11}\)
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có \(BC=10 ,\widehat{C}=30^{\circ}\). \(S_{\Delta ABC}\) có giá trị là:
Hướng dẫn:
Ta có: \(cosC=\frac{AC}{BC}\Leftrightarrow cos30^{\circ}=\frac{AC}{10}\)
\(\Rightarrow AC=5\sqrt{3}\)
\(sinC=\frac{AB}{BC}\Leftrightarrow sin30^{\circ}=\frac{AB}{10}\)
\(\Rightarrow AB=5\)
\(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.5.5\sqrt{3}=\frac{25\sqrt{3}}{2}(dvdt)\)
Qua bài giảng giúp các em nắm được các nội dung:
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Chương 1 Bài 6để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Một cột đèn cao 15m. tại một thời điểm tia sáng mặt trời tạo với mặt đất 1 góc 60 độ. Hỏi bóng của cột đèn đó trên mặt đất dài bao nhiêu
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \(AB=4;AC=5\). Giá trị của sinABC là:
Câu 3-7: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Chương 1 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9
Bài tập I.1 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập I.2 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập I.3 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập I.4 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập I.5 trang 123 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 80 trang 119 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 81 trang 119 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 82 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 83 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 84 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 85 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 86 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 87 trang 120 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 88 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 89 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 90 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 91 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 92 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 93 trang 121 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 94 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 95 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 96 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 97 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 98 trang 122 SBT Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 1 trang 91 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 2 trang 91 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 3 trang 91 SGK Toán 9 Tập 1
Câu hỏi 4 trang 91 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 33 trang 93 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 34 trang 93 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 35 trang 94 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 36 trang 94 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 37 trang 94 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 38 trang 95 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 39 trang 95 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 40 trang 95 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 41 trang 96 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 42 trang 96 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 43 trang 96 SGK Toán 9 Tập 1
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Một cột đèn cao 15m. tại một thời điểm tia sáng mặt trời tạo với mặt đất 1 góc 60 độ. Hỏi bóng của cột đèn đó trên mặt đất dài bao nhiêu
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \(AB=4;AC=5\). Giá trị của sinABC là:
Cho góc nhọn \(\alpha\) biết rằng: \(cos\alpha -sin\alpha =\frac{1}{3}\) Giá trị của \(sin \alpha .cos \alpha\) là:
Tam giác ABC vuông tại A có \(BC=AB\sqrt{2}\). Biết đường cao \(AH=10\). Diện tích tam giác vuông đó là:
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=10. \(\widehat{B}=60^{\circ}\). đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, AC
Giá trị của biểu thức \(S=AE.AB+AF.FC\) là bao nhiêu?
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Khẳng định nào đúng?
Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH. Tìm khẳng định sai?
Cho tam giác ABC có góc B bằng 1200, BC = 12cm, AB = 6cm. Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D.
a. Tính độ dài đường phân giác BD
b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM ⊥ BD
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC
a. Tính độ dài đoạn thẳng DE
b. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH
c. Tính diện tích tứ giác DENM
Cho tam giác ABC vuông ở A, góc C = 300, BC = 10cm
a. Tính AB, AC
b. Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B. Chứng minh MN // BC và MN = AB
c. Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng
Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.
a. Chứng minh tam giác ABC vuông ở A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác
b. Tìm tập hợp các điểm M sao cho SABC = SBMC
Cho hình 36. Hãy viết hệ thức giữa:
a) Cạnh huyền, cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.
b) Các cạnh góc vuông p, r và đường cao h.
c) Đường cao h và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền p', r'
Cho hình 37.
a) Hãy viết công thức tính các tỉ số lượng giác của góc α
b) Hãy viết hệ thức giữa các tỉ số lượng giác của góc α và các tỉ số lượng giác của góc β.
Xem hình 37.
a) Hãy viết công thức tính các cạnh góc vuông b và c theo cạnh huyền a và tỉ số lượng giác của các góc \(α, β.\)
b) Hãy viết công thức tính mỗi cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông kia và tỉ số lượng giác của các góc \(α, β.\)
Để giải một tam giác vuông, cần biết ít nhất mấy góc và cạnh? Có lưu ý gì về số cạnh?
a) Trong hình 41, sinα bằng
(A) \({5 \over 3}\)
(B) \({5 \over 4}\)
(C) \({3 \over 5}\)
(D) \({3 \over 5}\)
b) Trong hình 42, sin Q bằng
(A) \({{P{\rm{R}}} \over {R{\rm{S}}}}\)
(B) \({{P{\rm{R}}} \over {QR}}\)
(C) \({{P{\rm{S}}} \over {S{\rm{R}}}}\)
(D) \({{S{\rm{R}}} \over {Q{\rm{R}}}}\)
c) Trong hình 43, cos 30° bằng
(A) \({{2{\rm{a}}} \over {\sqrt 3 }}\)
(B) \({a \over {\sqrt 3 }}\)
(C) \({{\sqrt 3 } \over 2}\)
(D) \(2\sqrt 3 {a^2}\)
Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:
a) Trong hình 44, hệ thức nào trong các hệ thức sau là đúng?
(A) \(\sin \alpha = {b \over c}\)
(B) \({\mathop{\rm cotg}\nolimits} \alpha = {b \over c}\)
(C) \(tg\alpha = {a \over c}\)
(D) \({\mathop{\rm cotg}\nolimits} \alpha = {a \over c}\)
b) Trong hình 45, hệ thức nào trong các hệ thức sau không đúng?
(A) sin2α + cos2 α = 1;
(B) sin α = cos β;
(C) cos β = sin(90°- α);
(D) \(tg\alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}\)
Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 19 : 28. Tìm các góc của nó.
Cho tam giác có một góc bằng 45°. Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần 20cm và 21cm. Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại (lưu ý có hai trường hợp hình 46 và hình 47)
Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.
b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?
Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình 48. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét)
Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 49 (làm tròn đến mét)
Tính chiều cao của cây trong hình 50 (làm tròn đến đề - xi – mét)
Tam giác ABC vuông tại C có AC = 2cm, BC = 5cm, \(\widehat {BAC} = x,\widehat {ABC} = y\). Dùng các thông tin sau (nếu cần) để tìm x – y:
sin 23°36’ ≈ 0,4;
cos66°24’ ≈ 0,4;
tg21°48’ ≈ 0,4
Ở một cái thang dài \(3m\) người ta ghi: “ Để đảm bảo an toàn khi dùng thang phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ \(60^0\) đến \(70^0\)”. Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt cách tường bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn.
Đố
Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Ơ-ra-tô-xten, một nhà Toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chu vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:
1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (Nay gọi là Át–xu-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.
2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-săng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m.
Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ “chu vi” Trái Đất.
(Trên hình 5, điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trung cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Bài 1: Cho ΔABC vuông tại A có AB= 5cm, góc B= 60o.
a) Giải tam giác vuông ABC
b) Kẻ đường cao AM. Tính độ dài AM, MB, MC.
Bài 2: Cho ΔABC vuông tại A có BC= 16cm, góc C= 36o.
a) Giải tam giác vuông ABC
b) Kẻ đường cao AH và trung tuyến AM của ΔABC. Tính AH, HM
Bài 3: Cho ΔABC vuông tại B có AB= 1cm, BC= 2cm.
a) Giải tam giác ABC
b) Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC. Tính chính xác tan gócADB.
Câu trả lời của bạn
Giải hộ mình mình cần gấp
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC đều. Lấy M thuộc BC. BM =1/3 BC. Lấy N thuộc AB. AN=1/3 AB.
Chứng minh rằng MN vuông góc BC?
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB < AC đường cao AH. Tính AC, AB biết AH = 6 và diện tích tam giác là 37,5cm
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu 5 (3 điểm) Cho đường tròn (O)(O) đường kính AB.AB. Kẻ tiếp tuyến AxAx với đường tròn (O).(O). Trên tia AxAx lấy điểm C,C, từ điểm CC vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O)(O) tại hai điểm DD và EE (D,ED,E không cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB;DAB;D nằm giữa CC và EE). Từ điểm OO kẻ OH⊥DE={H}.OH⊥DE={H}.
a) Chứng minh rằng tứ giác AOHCAOHC nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AD.CE=AC.AE.AD.CE=AC.AE.
c) Đường thẳng COCO cắt tia BD,BD, tia BEBE lần lượt tại MM và N.N. Chứng minh rằng tứ giác AMBNAMBN là hình bình hành.
Câu trả lời của bạn
Chứng minh rằng tứ giác AOHC nội tiếp.
Vì Ax là tiếp tuyến của (O)⇒∠CAO=90 , vì OH vuông góc DE⇒∠CHO=90
Xét tứ giác AOHC ta có: ∠CAO+∠CHO=90+90=180
⇒CAOH là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180).
b) Chứng minh rằng AD.CE=AC.AE
Xét ΔADC và ΔEAC ta có:
∠CAD=∠AEC (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AD)
∠C chung.
⇒ΔADC∼ΔEAC (g−g).⇒AD.EC=AC.AE (dpcm).
hello ae
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH biết AB = 12 cm ; BC = 20 cm
a) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
b) Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của điểm H lên 2 cạnh AB , AC. Tính DE
c) Chứng minh AD.AB=AE.AC
d) Chứng minh DA.DB+EA.EC=AH^2
e) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM vuông góc với DE
g) Tính diện tích tứ giác BDEC
Câu trả lời của bạn
Cho vuông tại A, dường cao AH. Biết và HC-HB=2cm
a/Tính tỉ số
b/Tính các cạnh của tam giác
Câu trả lời của bạn
.
Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao.
a/Chứng minh:
b/Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của H lên AB và AC. Chứng minh
Câu trả lời của bạn
.
Ta có : M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC
=> MH vuông góc với AB; NH vuông góc với AC
=>
=>M,N cùng thuộc đường tròn đường kính AH
=> Tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp
=>góc AMN = góc AHN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN của đường tròn đường kính AH) (1)
Lại có: AH là đường cao của tam giác ABC
=>AH vuông góc với BC
hay góc AHC = 90 độ
=> góc AHN + góc NHC = 90 độ (2)
Mặt khác HN vuông góc với AC(cmt)
=>góc HNC = 90 độ
=> góc NCH + góc NHC=90 độ(3)
Từ (2) và (3) suy ra góc NCH = góc AHN (4)
Từ (1) và (4) suy ra góc AMN = góc NCH hay góc AMN = góc ACB (đpcm)
a) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABH, ta có:
AB2 = AH2 + BH2
AC2 = AH2 + CH2
=> AB2 + CH2 = AC2 + BH2
= AH2 + BH2 + CH2 = AH2 + CH2 + BH2 (đpcm) 1 like nhé <3
M thuộc Ae, vẽ các hình vuông ABCM và MEFG cùng nằm trên nửa mp bờ AE. Lấy H thuộc AM, k là điểm thuộc tia dói của tia CM, sao cho AH=CK=FG.
a, Cminh BHFK là hình vuông
b, Gọi I là giao điểm của CM và BF. Cminh góc IHF= góc KBC
c, Cminh AG vuông góc với CE
d, Gọi P là giao điểm của AG với CE. Cminh tam giác MBP vuông
e, CM 3 điểm B,P,F thẳng hàng.
Giúp tui 2 câu cuối, 3 câu đầu làm được rồi
Câu trả lời của bạn
+8
Cho hình vuông ABCD, lấy M thuộc cạnh BC. Đường thẳng AM cắt CD tại P. Kẻ đường thẳng EF bất kì vuông góc với AM (E thuộc cạnh AB, F thuộc cạnh CD). Đường phân giác của góc DAM cắt CD tại K. Chứng minh rằng:
a)EF=BM+DK
b)
Làm giúp mình câu a thôi nhé!!!
Câu trả lời của bạn
cau b lun dc ko
Câu trả lời của bạn
bài 11: tất cả bài áp dụng hệ thức lượng nhé:
a, VP= (1/AB^2 + 1/AC^2) + 1/HB^2
= 1/AH^2 + 1/HB^2
= 1/HE^2
= VT
b, AH^4 = BH^2. CH^2
= BE. AB. CF. AC
= (BE. CF). (AH. BC)
chia cả 2 vế cho AH, ta được đpcm
c, AB^4/AC^4
=BH^2.BC^2/ CH^2.BC^2
= BH^2/ CH^2
= BE.AB / CF.AC
chia cả hai vế cho AB/AC, ta được đpcm
• chú thích:
^: mũ
VP: vế phải VT: vế trái
đpcm: điều phải chứng minh
bài 12:
• kẻ CD vuông góc với AB tại D
• góc CAD = 60 độ ( do kề bù với góc BAC )
• cos góc CAD= AD/AC = 1/2 ( do góc CAD = 60 độ)
⇒ 2AD = AC
• áp dụng ĐL Pytago vào tam giác vuông BCD có
a^2 = BC^2
= BD^2 + CD^2
= (AD+AB)^2 + DC^2
= ( AD^2 + CD^2)+ AB^2 + 2AD.AB
= AC^2 + AB^2 + AC.AB
= b^2 + bc + c^2
I love everyone
cho tam giác ABC có BC=10cm,AH là đường cao
tính giá trị lớn nhất của biếu thức S=3sinABC+4cosABC
Câu trả lời của bạn
4
4
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *