Giữa đường tròn và đường thẳng có vị trí tương đối, vậy giữa hai đường tròn thì sao? Bài tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu về vị trí tương đối của hai đường tròn
- Hai đường tròn có hai điểm chung (h.85) được gọi là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểmc chung đó gọi là hai giao điểm. Đoạn thẳng nối hai điểm đó gọi là dây cung
- Hai đường tròn chỉ có một điểm chung (h.86) được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung đó gọi là tiếp điểm
- Hai đường tròn không có điểm chung (h.87) được gọi là hai đường tròn không giao nhau
Cho hai đường tròn (O) và (O') có tâm không trùng nhau. Đường thẳng OO' gọi là đường nói tâm, đoạn thẳng OO' gọi là đoạn nối tâm.
Do đường kính là trục đối xứng của mỗi đường tròn nên đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó
* Định lí:
a) Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung
b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
a) Hai đường tròn cắt nhau
Nếu hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau thì R - r < OO' < R + r
b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau
- Nếu hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài thì OO' = R + r
- Nếu hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong thì OO' = R - r
c) Hai đường tròn không giao nhau
- Nếu hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau thì OO' > R + r
- Nếu hai đường tròn (O) đựng đường tròn (O') thì OO' > R - r
Ta có bảng sau:
- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó
Bài 1: Cho 2 đường tròn (O;20) và (O';15) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO' biết rằng AB=24d
Hướng dẫn: Ta có hai trường hợp sau xảy ra:
Gọi C là giao điểm của đường thẳng OO' với AB
TH1: O và O' khác phía với AB khi đó: \(OO'=OC+CO'\)
\(OC=\sqrt{OB^2-BC^2}\sqrt{20^2-12^2}=16\); \(CO'=\sqrt{O'B^2-BC^2}\sqrt{15^2-12^2}=9\)
\(\Rightarrow OO'=9+16=25\)
TH2: O và O' nằm cùng phía với AB khi đó: \(OO'=OC-CO'\)
\(OO'=16-9=7\)
Bài 2: Cho 2 đường tròn đồng tâm O, dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D chúng minh AC=BD.
Hướng dẫn:
Gọi E là trung điểm của CD suy ra OE vuông góc với CD hây OE vuông với AB nên E cũng là trung điểm của AB
mà AC=AE-EC; BD=BE-DE. Vậy ta luôn có AC=BD
Bài 3: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA.
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. CMR: AC=CD
Hướng dẫn:
a) Hai đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA tiếp xúc trong với nhau
b) Tam giác AOC có IA=IO=IC nên tam giác đó vuông tại C hay OC vuông góc AD tại C
Vì vậy C là trung điểm của AD nên AC=CD
Bài 1: Cho 2 đường tròn (O;R) và (O;r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường kính AOC và AO'D
a) Chứng minh 3 điểm C, B, D thẳng hàng
b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O') lần lượt tại M, N. CMR: \(MN\leq CD\)
Hướng dẫn:
a) Tam giác ABC có AC là đường kính nên tam giác ABC vuông tại B hay \(AB\perp CB\)
Tam giác ABD có AD là đường kính nên tam giác ABD vuông tại B hay \(AB\perp BD\)
\(\Rightarrow C,B,D\) cùng thuộc đường thẳng qua B và vuông góc với AB
b) Xét tam giác ACD có OO' là đường trung bình nên: \(OO'=\frac{1}{2}.CD\)
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của O và O' lên MN. Khi đó E, F lần lượt là trung điểm AM và AN
suy ra \(EF=\frac{1}{2}.MN\). Ta đưa việc so sánh CD với MN qua so sánh OO' và EF
Xét 2 đoạn thẳng OE và O'F song song với nhau. EF vuông góc với cả hai đoạn thẳng nên EF là đoạn thẳng nhỏ nhất trong các đoạn nối từ 1 điểm trên OE tới 1 điểm trên O'F
\(EF\leq OO'\Rightarrow MN\leq CD\)
Bài 2: Cho tam giác ACB vuông tại A (AB
b)CMR: \(EF^2= OB.O'C\)
Hướng dẫn:
a) Ta có \(OE\perp AB, ME\perp AB\Rightarrow\) M, E, O thẳng hàng. Tương tự M, F, O' thẳng hàng.
Dễ dàng chứng minh được MA là tiếp tuyến của (O) và (O') \(\Rightarrow MA\perp OA,MA\perp O'A\Rightarrow\) O, A, O' thẳng hàng
mà A cùng thuộc 2 đường tròn (O) và (O') nên (O) và (O') tiếp xúc nhau
b) Xét tứ giác AEMF có 3 góc vuông nên AEMF là hình chữ nhật \(\Rightarrow \widehat{EMF}=90^{\circ}, AM=EF\)
Xét tam giác OMO' có MA là đường cao nên: \(OA.AO'=AM^2\) mà \(OA=OB, AO'=O'C\)
\(\Rightarrow OB.O'C=EF^2\)
Qua bài giảng Vị trí tương đối của hai đường tròn này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính
Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 7để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho đường tròn (O;10) và (O';3). Biết OO'=8. Vị trí tương đối của hai đường tròn là
Cho 2 đường tròn (O;R) và (O';r), R>r
Trong các phát biểu sau phát biểu nào là phát biểu sai
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 7 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1
Bài tập 33 trang 119 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 34 trang 119 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 35 trang 122 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 36 trang 123 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 37 trang 123 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 38 trang 123 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 39 trang 123 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 40 trang 123 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 64 trang 167 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 65 trang 167 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 66 trang 167 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 67 trang 167 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 68 trang 168 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 69 trang 168 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 70 trang 168 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 7.1 trang 168 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 7.2 trang 168 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 71 trang 168 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 72 trang 169 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 73 trang 169 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 74 trang 169 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 75 trang 169 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 76 trang 169 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 77 trang 169 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 78 trang 170 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 79 trang 170 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 80 trang 170 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 8.1 trang 170 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 8.2 trang 170 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 8.3 trang 171 SBT Toán 9 Tập 1
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho đường tròn (O;10) và (O';3). Biết OO'=8. Vị trí tương đối của hai đường tròn là
Cho 2 đường tròn (O;R) và (O';r), R>r
Trong các phát biểu sau phát biểu nào là phát biểu sai
Cho hai đường tròn (O;5) và (O';5) cắt nhau tại A và B. Biết OO'=8. Độ dài dây cung chung AB là:
Cho 3 đường tròn (A), (B), (C) có cùng bán kính R đôi một tiếp xúc nhau. Gọi D, E, F là các tiếp điểm. Diện tích tam giác DEF là:
Cho đường tròn (O;9). Vẽ 6 đường tròn bằng nhau có bán kính R đều tiếp xúc với (O) và mỗi đường tròn đều tiếp xúc với 2 đường tròn khác bên cạnh nó. R=?
Trên hình 89 hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A. Chứng minh rằng OC//O'D
Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O'; 15cm) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO', biết rằng AB=24cm. (Xét hai trường hợp: O và O' nằm khác phía đối với AB; O và O' nằm cùng phía đối với AB).
Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O;R) và (O';r) có OO'=d, R>r
Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA
a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng AC=CD
Cho hai đường tròn đồng tâm O. Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C và D. Chứng minh rằng AC=BD.
Điền các từ thích hợp vào chỗ trống (...) :
a) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O;3cm) nằm trên ...
b) Tâm của các đường tròn có bán kính 1cm tiếp xúc trong với đường tròn (O;3cm) nằm trên ...
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, \(B\in (O),C\in (O')\). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.
a) Chứng minh rằng
b) Tính số đo góc OIO'
c) Tính độ dài BC, biết \(OA=9cm, O'A=4cm\)
Trên các hình 99a, 99b, 99c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên hình nào hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào hệ thống bánh răng không chuyển động được?
Cho hình \(76,\) trong đó hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) tiếp xúc nhau tại \(A.\) Chứng minh rằng các tiếp tuyến \(Bx\) và \(Cy\) song song với nhau.
Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\) như trên hình \(77.\) Biết \(OA = 15cm,\) \(O’A = 13cm,\) \(AB = 24cm.\) Tính độ dài \(OO’.\)
Cho hai đường tròn \((O), (O’)\) tiếp xúc nhau tại \(A\) như trên hình \(78.\) Chứng minh rằng các bán kính \(OB\) và \(O’C\) song song với nhau.
Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B.\) Kẻ các đường kính \(AOC,\) \(AO’D.\) Chứng minh rằng ba điểm \(C, B, D\) thẳng hàng và \(AB ⊥ CD.\)
Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO’.\) Qua \(A\) vẽ đường thẳng vuông góc với \(IA,\) cắt các đường tròn \((O)\) và \((O’)\) tại \(C\) và \(D\) (khác \(A\)). Chứng minh rằng \(AC = AD.\)
Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B,\) trong đó \(O’\) nằm trên đường tròn \((O).\) Kẻ đường kính \(O’OC\) của đường tròn \((O).\)
\(a)\) Chứng minh rằng \(CA, CB\) là các tiếp tuyến của đường tròn \((O’)\)
\(b)\) Đường vuông góc với \(AO’\) tại \(O’\) cắt \(CB\) ở \(I.\) Đường vuông góc với \(AC\) tại \(C\) cắt đường thẳng \(O’B\) ở \(K.\) Chứng minh rằng ba điểm \(O, I, K\) thẳng hàng.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A. Dây AD của đường trong (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng:
a. AB ⊥ KB
b. Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn
Cho \(h.bs.23,\) trong đó \(OA = 3,\) \(O'A = 2,\) \(AB = 5.\) Độ dài \(AC\) bằng:
\((A)\) \(\displaystyle{{10} \over 3}\)
\((B)\) \(3,5\)
\((C)\) \(3\)
\((D)\) \(4.\)
Hãy chọn phương án đúng.
Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) cắt nhau tại \(A\) và \(B.\) Một đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(B\) cắt các đường tròn \((O)\) và \((O')\) theo thứ tự tại \(C\) và \(D\) ( khác \(B\)). Chứng minh rằng \(OO’ =\displaystyle {1 \over 2}CD\).
Cho hai đường tròn đồng tâm O. Gọi AB là dây bất kì của đường tròn nhỏ. Đường thẳng AB cắt đường tròn lớn ở C và D (A nằm giữa B và C). So sánh các độ dài AC và BD.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (C ∈ (O), D ∈ (O’))
a. Tính số đo góc CAD
b. Tính độ dài CD biết OA = 4,5cm, O’A = 2cm
Cho hai đường tròn đồng tâm O. Một đường tròn (O’) cắt một đường tròn tâm O tại A, B và cắt đường tròn tâm O còn lại tại C, D. Chứng minh rằng AB // CD.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Bài 69 (Sách bài tập trang 167)
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, trong đó O' nằm trên đường tròn (O). Kẻ đường kính O'OC của đường tròn (O)
a) Chứng minh rằng CA, CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O')
b) Đường vuông góc với AO' tại O' cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O'B ở K. Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng hàng
Câu trả lời của bạn
Bài 68 (Sách bài tập trang 168)
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Gọi I là trung điểm của OO'. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IA, cắt các đường tròn )O) và (O') tại C vad D (khác A). Chứng minh rằng AC = AD ?
Câu trả lời của bạn
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi I là trung điểm của AO. Vẽ đường tròn tâm I đường kính AO
a) CM đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau tại A
b) Qua A vẽ đường cắt (O) tại C và (I) tại D (C, D khác A). CM ID//OC và OD//CB
c) Lấy K trên đoạn CB sao cho BK=2KC. CM AK đi qua trung điểm của OC
Câu trả lời của bạn
Cho đường tròn (O) và đường thẳng xy tiếp xúc với đường tròn tại A. Vẽ đường tròn (I) đường kính OA.
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau
b) Vẽ dây cung AC của (O) cắt I tại một điểm thứ hai là M. Chứng minh MA=MC
c) đường thẳng OM cắt xy tại B. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của (O)
Câu trả lời của bạn
a) Ta có: \(A\in\left(O\right)\); \(A\in\left(I\right)\) (OA là đường kính (I))
=> (O) và (I) tiếp xúc với nhau tại A
b) Ta có : OMA^ = 90o (góc nt chắn nửa (I))
=> OM _|_ AC => MA = MC
c) Ta sẽ c/m OCM^ + MCB^ = 90o
Ta có: OAM^ = OCM^ (tam giác AOC cân tại O, OA và OC cùng là bán kính (O) )
Xét 2 tam giác vuông AMB và CMB :
AM = CM (cmt); MB chung
=> \(\Delta AMB=\Delta CMB\) (2 cạnh góc vuông)
=> MAB^ = MCB^
Mặt khác: OAM^ + MAB^ = 90o (Ay là tiếp tuyến của (O) )
=> OCM^ + MCB^ = 90o => C= CB _|_ OC => CB là tiếp tuyến (O)
Hai đường tròn cắt nhau có bán kính 13cm và 15cm có dây chung bằng 24cm.Tính khoảng cách giữa 2 tâm
Câu trả lời của bạn
Gọi O và I lần lượt là tâm của 2 đường tròn , AB là dây chung , dây chung cắt khoảng cách giữa 2 tâm tại H . ( HA = HB )
Theo định lý py - ta - go cho \(\Delta AHO\) ta có :
\(HO=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5cm\)
Theo định lý py - ta - go cho \(\Delta AHI\) ta có :
\(HI=\sqrt{IA^2-AH^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9cm\)
\(\Rightarrow OI=OH+IH=5+9=14cm\)
Vậy khoảng cách giữa 2 tâm là 14cm .
Chúc bạn học tốt
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và 1 điểm I nằm giữa A và B. Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn tâm O. Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với IC cắt các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và B lần lượt tại M và N
a. Chứng minh : Tam giác CAI = tam giác CBN
b. So sánh 2 tam giác ABC và INC
c. Chứng minh: góc MIN = 90 độ
Câu trả lời của bạn
Ai giúp mình đi -,-
Chọn dưa hấu : với hai quả dưa hấu (xem như là hai hình cầu ) một to và một nhỏ, tỉ số các đường kính của chúng là 5:4 nhưng giá của quả to gấp rưỡi giá của quả nhỏ. Bạn chọn mua quả nào thì lợi hơn (xem chất lượng của chúng như nhau) ?
Câu trả lời của bạn
Mua quả to lợi hơn vì tỉ số giữa thể tích của nó với thể tích của quả nhỏ là (54)3=12564 (gần gấp đôi) trong khi đó giá của nó chỉ gấp rưỡi
(Dễ thấy 12564>32=9664 )
Mua quả to lợi hơn vì tỉ số giữa thể tích của nó với thể tích của quả nhỏ là ( 5/4 ) 3 = 125 64 (54)3=125/64 (gần gấp đôi) trong khi đó giá của nó chỉ gấp rưỡi (Dễ thấy 125/64 > 3/2 = 96 64 12564>32=96/64 )
Cho (O1, R1) tiếp xúc ngoài vói (O2, R2) tại C. Vẽ đường thẳng AB là tiếp tuyến chung ngoài (O1), (O2). Với A thuộc (O1), B thuộc (O2) . Vẽ (O,R) tiếp xúc ngoài vói (O1) và tiếp xúc ngoài với (O2) và (O,R) tiếp xúc với AB.
Chứng minh rằng : a) tam giác ABC vuông
b) 1√R =1√R1 +1√R2
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *