Ta đã được học ở bài trước, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thuộc một đường tròn thì có số đo bằng nhau. Vậy còn các góc cùng nhìn một cạnh với số đo bằng nhau thì sao? Chúng có gì đặc biệt không? Ta sẽ được tìm hiểu thông qua bài này
Với đoạn thẳng \(AB\) và góc \(\alpha(0^0<\alpha<180^0)\) cho trước thì quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat{AMB}=\alpha\) là hai cung chứa góc \(\alpha\) dựng trên đoạn \(AB\)
- Hai cung chứa góc \(\alpha\) nói trên là hai cung đối xứng với nhau qua \(AB\)
- Hai điểm \(A,B\) được coi là thuộc quỹ tích
- Trường hợp \(\alpha=90^0\) thì quỹ tích trên là hai nửa đường tròn đường kính \(AB\)
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất \(\tau\) là một hình \(H\) nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất \(\tau\) đều thuộc hình \(H\).
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình \(H\) đều có tính chất \(\tau\).
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất \(\tau\) là hình \(H\)
Bài 1: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC,MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: bốn điểm B,C,M,K thuộc cùng một đường tròn
Hướng dẫn:
Ta đã biết MO là đường trung trực của CD nên AB là đường trung trực của CD, suy ra \(\widehat{MBK}=\widehat{MBC}\)
Mặt khác \(\widehat{MBC}=\widehat{MCK}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CA)
Do đó \(\widehat{MBK}=\widehat{MCK}\)
Tứ giác MCBK có \(\widehat{MBK}=\widehat{MCK}\) nên M,C,B,K cùng thuộc một đường tròn.
Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm hai đường chéo. Trên tia OA lấy điểm M sao cho OM=OB. Trên tia OB lấy điểm M sao cho ON=OA. Chứng minh rằng: bốn điểm D,M,N,C cùng thuộc một đường tròn.
Hướng dẫn:
Xét hai tam giác \(\bigtriangleup AOB\) và \(\bigtriangleup NOM\) có \(\widehat{AOB}\) chung và OA=ON; OM=OB
nên \(\bigtriangleup AOB=\bigtriangleup NOM\)(c.g.c)
suy ra \(\widehat{BAO}=\widehat{MNO}\)
Mặt khác do AB//CD (hình thang) nên \(\widehat{BAO}=\widehat{DCO}\), từ đó suy ra \(\widehat{MNO}=\widehat{DCO}\)
Xét tứ giác DMNC có \(\widehat{MNO}=\widehat{DCO}\) mà hai góc này cùng nhìn cạnh MD nên bốn điểm D,M,N,C cùng thuộc một đường tròn.
Bài 3: Dựng tam giác ABC, biết BC=3cm, \(\widehat{A}=45^0\) và trung tuyến AM=2,5cm
Hướng dẫn:
Trình tự dựng gồm các bước sau:
- Dựng đoạn thằng BC=3cm.
- Dựng cung chứa góc \(45^0\) trên đoạn thẳng BC (cung BmC)
- Gọi M là trung điểm BC.
- Dựng đường tròn tâm M, bán kính 2,5cm, đường tròn này cắt cung BmC tại A và A'
Lúc đó tam giác ABC (hoặc A'BC) là tam giác thỏa yêu cầu bài toán (BC=3cm, \(\widehat{A}=45^0\) và trung tuyến AM=2,5cm)
Bài 1: Cho cung AB cố định tạo bởi các bán kính OA,OB vuông góc với nhau, điểm I chuyển động trên cung AB. Trên tia OI lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ I đến OA và OB. Tìm quỹ tích các điểm M.
Hướng dẫn:
Phần thuận: Kẻ \(IH\perp OA,IK\perp OB\), điểm M thuộc OI có tính chất OM=IH+IK (1)
Kẻ \(BE\perp OI\). Ta có \(\bigtriangleup OBE=\bigtriangleup OIK\) (cạnh huyền -góc nhọn) nên OE=OK=IH, BE=IK (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM=IH+IK=OE+BE và do đó EM=EB
Suy ra tam giác EMB vuông cân tại E nên \(\widehat{EMB}=45^0\). Điểm M nhìn OB cố định dới góc \(45^0\) nên M di chuyển trên cung chứa góc \(45^0\) dựng trên OB.
Mặt khác, vì điểm M chỉ nằm bên trong góc vuông AOB nên M chỉ di chuyển trên cung AmB, một phần của cung chứa góc \(45^0\) dựng trên OB.
Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên cung AmB. Kẻ \(BE\perp OM,IH\perp OA, IK\perp OB\) ta sẽ chứng minh OM=IH+IK
Thật vậy, ta làm ngược lại với phần thuận
Do \(\widehat{OMB}=45^0\) nên tam giác EMB vuông cân tại E, suy ra EM=EB
\(\bigtriangleup OBE=\bigtriangleup OIK\) (cạnh huyền -góc nhọn) nên OE=OK=IH, BE=IK. Do đó EM=IK
Vậy OM=OE+EM=IH+IK
Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm M là cung AmB, một phần của cung chứa góc \(45^0\) dựng trên đoạn OB nằm bên trong góc vuông AOB.
Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách từ C đến AB.
Hướng dẫn:
Phần thuận: Vẽ \(OP\perp AB\) với P thuộc (O)
Xét \(\bigtriangleup OPD\) và \(\bigtriangleup COH\) có
OD=OH (giả thiết)
OP=OC (cùng bằng bán kính nửa đường tròn)
\(\widehat{POD}=\widehat{OCH}\) (so le trong)
Nên \(\bigtriangleup OPD=\bigtriangleup {COH}\) (c.g.c) suy ra \(\widehat{ODP}=90^0\)
Mặt khác ta có O,P cố định nên D nằm trên đường tròn đường kính OP
Phần đảo: Lấy điểm D' bất kì nằm trên đường tròn đường kính OP, tia OD' cắt (O) tại C'. Hạ đường vuông góc C'H' xuống AB. Ta sẽ chứng minh OD'=C'H'
Thật vậy, xét hai tam giác vuông OD'P và C'H'O có cạnh huyền OP=OC' và một góc nhọn \(\widehat{POD'}=\widehat{OC'H'}\)(so le trong)
Nên \(\bigtriangleup OD'P=\bigtriangleup C'H'O\) (cạnh huyền - góc nhọn) suy ra OD'=CH'
Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP với P là điểm chính giữa cung AB.
3. Luyện tập Bài 6 Chương 3 Hình học 9
Qua bài giảng Cung chứa góc này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 6để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Khẳng định nào sau đây là sai:
Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc 1200 là:
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 6 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1
Bài tập 44 trang 86 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 45 trang 86 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 46 trang 86 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 47 trang 86 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 48 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 49 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 50 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 51 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 52 trang 87 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 33 trang 105 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 34 trang 105 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 35 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 36 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 37 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 38 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 6.1 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 6.2 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 6.3 trang 106 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Khẳng định nào sau đây là sai:
Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc 1200 là:
Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Quỹ tích điểm I khi A thay đổi là:
Cho đường thẳng d,một điểm C nằm ngoài đường thẳng d và cách d một khoảng là 5cm. Tập hợp các điểm trên d cách C một khoảng là 6cm là
Tập hợp các điểm cách đều đường thẳng d cho trước là
Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.
Dựng một cung chứa góc \(\small 55^o\) trên đoạn thẳng \(\small AB = 3cm\)
Gọi cung chứa góc \(55^o\) ở bài tập 46 là \(\widehat{AmB}\). Lấy điểm \(M_1\) nằm bên trong và điểm \(M_2\) nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho \(M_1,M_2\) và cung AmB nằm cùng về một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:
\(a) \widehat{AM_1B}>55^o\)
\(b) \widehat{AM_2B}<55^o\)
Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.
Dựng tam giác ABC, biết \(\small BC = 6cm\), \(\small \widehat{A}=40^o\) và đường cao \(\small AH = 4cm\)
Cho đường tròn đường kính AB cố định. M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho \(\small MI = 2MB\)
a) Chứng minh góc AIB không đổi
b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên
Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với góc A bằng 60 độ. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'
Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
"Góc sút" của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 m.
Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(BC\) cố định và \(\widehat A = \alpha \) không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó.
Dựng cung chứa góc \(42^o\) trên đoạn thẳng \(AB = 3 cm.\)
Dựng tam giác \(ABC,\) biết \(BC = 3 cm,\) \(\widehat A = {45^o}\) và trung tuyến \(AM = 2,5 cm.\)
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB\) cố định. \(C\) là điểm trên nửa đường tròn, trên dây \(AC\) kéo dài lấy điểm \(D\) sao cho \(CD = CB.\)
\(a)\) Tìm quỹ tích các điểm \(D\) khi \(C\) chạy trên nửa đường tròn đã cho.
\(b)\) Trên tia \(CA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(CE = CB.\) Tìm quỹ tích các điểm \(E\) khi \(C\) chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB\) và \(C\) là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính \(OC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(OD\) bằng khoảng cách \(CH\) từ \(C\) đến \(AB.\) Tìm quỹ tích các điểm \(D\) khi \(C\) chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Dựng hình vuông \(ABCD,\) biết đỉnh \(A,\) điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) và điểm \(N\) thuộc cạnh \(CD.\)
Dựng một cung chứa góc \(60^\circ\) trên đoạn thẳng \(AB\) cho trước.
Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và điểm \(A\) (khác \(O\)) ở trong đường tròn đó. Một đường thẳng \(d\) thay đổi, luôn đi qua \(A,\) cắt đường tròn đã cho tại hai điểm là \(B\) và \(C.\) Tìm quỹ tích trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(BC.\)
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm \(M\) trong tam giác sao cho \(MA + MB + MC\) nhỏ nhất.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Bài 36 (Sách bài tập - tập 2 - trang 106)
Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB
a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho
b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho
Câu trả lời của bạn
Bài 35 (Sách bài tập - tập 2 - trang 106)
Dựng tam giác ABC, biết BC = 3cm, \(\widehat{A}=45^0\) và trung tuyến AM = 2,5cm ?
Câu trả lời của bạn
Cho hình thang ABCD (đáy nhỏ BC, đáy lớn AD), nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau ở K. Đường thẳng AB và CD cắt nhau tại I, BK và ID cắt nhau tại E
a) Chứng minh BIKD là tứ giác nọi tiếp
b) Chứng minh IK//BC
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
a)
Ta có:
\(BC\parallel AD\Rightarrow \widehat{ICB}=\widehat{IDA}\) (hai góc đồng vị)
Tứ giác $ABCD$ nội tiếp nên \(\widehat{IBC}=\widehat{IDA}\)
\(\Rightarrow \widehat{ICB}=\widehat{IBC}\) \(\Rightarrow \triangle IBC\) cân tại $I$
Do đó \(\widehat{BID}=\widehat{BIC}=180^0-2\widehat{ICB}=180^0-2\widehat{IDA}\) (1)
Mặt khác theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra \(BK=KD\Rightarrow \triangle BKD\) cân, suy ra \(\widehat{BKD}=180^0-2\widehat{KDB}\) (2)
Vì \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\) ta suy ra hai góc đồng vị tương ứng của nó cũng bằng nhau hay \(\widehat{IAD}=\widehat{IDA}\)
\(\Leftrightarrow \text{cung BD}=\text{cung AC}\Leftrightarrow \text{cung AB}=\text{cung CD}\)
Mà: \(\widehat{BDA}=\frac{1}{2}\text{cung AB}\); $DK$ là tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat{CDK}=\frac{1}{2}\text{cung CD}\)
Suy ra \(\widehat{BDA}=\widehat{CDK}\Rightarrow \widehat{BDA}+\widehat{BDC}=\widehat{CDK}+\widehat{BDC}\)
hay \(\widehat{IDA}=\widehat{BDK}\) (3)
Từ (1); (2); (3) \(\Rightarrow \widehat{BID}=\widehat{BKD}\Rightarrow BIKD\) nội tiếp (đpcm)
b)
$BIKD$ nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{KID}=\widehat{KBD}=\widehat{KDB}\)
Mà \(\widehat{KDB}=\widehat{IDA}\) (cmt) nên \(\widehat{KID}=\widehat{IDA}\). Hai góc này ở vị trí so le trong nên \(IK\parallel AD\parallel BC\)
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (A; B là tiếp điểm). Qua m kẻ cát tuyến MNP (MN<MP) đến (O). Gọi K là trung điểm của NP.
1) CMR: các điểm M, A, K, O, B cùng thuộc 1 đường tròn
2) Chứng minh ti KM là phân giác của góc AKB
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
1)
Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên \(MA\perp OA, MB\perp OB\)
\(\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0\)
\(\Rightarrow \widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180^0\)
Do đó tứ giác $MAOB$ nội tiếp (1)
Mặt khác: $K$ là trung điểm $NP$, tam giác $NOP$ cân tại $O$ do \(ON=OP\) nên trung tuyến $OK$ đồng thời cũng là đường cao
\(\Rightarrow OK\perp NP\Rightarrow \widehat{MKO}=90^0\)
\(\Rightarrow \widehat{MKO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
Do đó tứ giác $MKOB$ nội tiếp (2)
Từ (1); (2) suy ra \(M,A,K,O,B\) cùng thuộc một đường tròn
b)
Từ $MKOB$ nội tiếp suy ra \(\widehat{MKB}=\widehat{MOB}\) (cùng chắn cung $MB$)
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì $OMư$ là phân giác góc \(\widehat{AOB}\)
\(\Rightarrow \widehat{MKB}=\widehat{MOB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\text{cung AB}\)
$M,A,K,O$ nội tiếp (cùng thuộc một đường tròn theo phần a)
\(\Rightarrow \widehat{AKM}=\widehat{ABM}=\frac{1}{2}\text{cung AB}\) (do $MB$ là tiếp tuyến)
Do đó \(\widehat{MKB}=\widehat{AKM}\) nên $KM$ là phân giác $\widehat{AKB}$
Bài 38 (Sách bài tập - tập 2 - trang 106)
Dựng hình vuông ABCD, biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh CD ?
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *