Nội dung bài Ôn tập chương III Vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian sẽ giúp các em hệ thống những nội dung kiến thức trọng tâm của toàn chương từ đó làm nền tảng để các em có thể giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
\(a \bot b \Leftrightarrow (a,b) = {90^0}.\)
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
\(a \bot (\alpha ) \Leftrightarrow \forall b \subset (\alpha ):a \bot b\)
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
\((\alpha ) \bot (\beta ) \Leftrightarrow ((\alpha ),(\beta )) = {90^0}\)
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆).
Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
\(\left. \begin{array}{l} a \cap b\\ a,b \subset (P)\\ d \bot a,d \bot b \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (P)\)
\(\left. \begin{array}{l} a \subset (P)\\ d \bot (P)\\ \forall a \subset (P) \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot a\)
\(\left. \begin{array}{l} d \bot (P)\\ d \subset (Q) \end{array} \right\} \Rightarrow (P) \bot (Q)\)
\(\left. \begin{array}{l} (P) \bot (Q)\\ (P) \cap (Q) = \Delta \\ d \subset (P)\\ d \bot \Delta \end{array} \right\} \Rightarrow d \bot (Q)\)
\(\left. \begin{array}{l} \left( P \right) \cap (Q) = \Delta \\ \left( P \right) \bot (R)\\ \left( Q \right) \bot (R) \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta \bot \left( R \right)\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB = a\sqrt 2 ,\) \(AD = a\sqrt 3\); SA vuông góc với mặt đáy và SA=2a.
a) Chứng minh CD vuông góc với (SAD).
b) Chứng minh \((SAB) \bot (SBC)\), tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
c) Gọi \(\varphi\) góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD). Tính \(\cos \varphi\).
a) \(CD \bot AD\) (vì ABCD là hình chữ nhật).
\(CD \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))
Suy ra: \(CD \bot (SAD).\)
b) \(BC \bot AB\) (vì ABCD là hình chữ nhật).
\(BC \bot SA\) (vì \(SA \bot (ABCD)\))
Suy ra: \(BC \bot (SAB)\).
Mà \(BC \subset (SBC) \Rightarrow (SBC) \bot (SAB)\).
AD//(SBC)\(\Rightarrow d(D,(SBC)) = d(A,(SBC))\)
Hạ AH vuông góc SB tại H. Suy ra \(AH \bot (SBC)\).
Do đó: \(d(A,(SBC)) = AH.\)
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\)
Suy ra: \(d(D,(SBC)) = AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\).
c) Gọi M là trung điểm của SA. Suy ra MO//SC.
Do đó góc giữa SC và (SBD) bằng góc giữa MO và (SBD).
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BD \bot AK\\ BD \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BD \bot (SAK) \Rightarrow (SBD) \bot (SAK)\)
Hạ MN vuông góc với SK tại N. Suy ra: \(MN \bot (SBD)\).
Suy ra hình chiếu vuông góc của MO lên (SBD) là NO.
Suy ra góc giữa MO và (SBD) là góc \(\widehat {MON}\).
Trong tam giác vuông MNO tại N có: \(\sin \widehat {MON} = \frac{{MN}}{{MO}}\)
Hạ AP vuông góc với SK tại P. Suy ra \(MN = \frac{1}{2}AP\).
Ta có: \(\frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}}\)
Mà: \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}\)
Vậy: \(AP = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\). Suy ra: \(MN = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }}\).
Ta có: \(MO = \sqrt {A{M^2} + O{A^2}} = \frac{{3a}}{2}.\)
Suy ra: \(\sin \widehat {MON} = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \Rightarrow \sin \varphi = \frac{2}{{\sqrt {39} }} \Rightarrow \cos \varphi = \sqrt {\frac{{35}}{{39}}}.\)
Nội dung bài Ôn tập chương III Vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian sẽ giúp các em hệ thống những nội dung kiến thức trọng tâm của toàn chương từ đó làm nền tảng để các em có thể giải được các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Bài 6: Ôn tập chương III - Hình học 11để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến (BCD) là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD) vì:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = \(\frac{a}{2}\). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Bài 6: Ôn tập chương III - Hình học 11 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 3 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 4 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 5 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 6 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 7 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 8 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 9 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 10 trang 120 SGK Hình học 11
Bài tập 1 trang 121 SGK Hình học 11
Bài tập 2 trang 121 SGK Hình học 11
Bài tập 3 trang 121 SGK Hình học 11
Bài tập 4 trang 121 SGK Hình học 11
Bài tập 5 trang 121 SGK Hình học 11
Bài tập 6 trang 122 SGK Hình học 11
Bài tập 7 trang 122 SGK Hình học 11
Bài tập 3.41 trang 161 SBT Hình học 11
Bài tập 3.42 trang 161 SBT Hình học 11
Bài tập 3.43 trang 161 SBT Hình học 11
Bài tập 3.44 trang 162 SBT Hình học 11
Bài tập 3.45 trang 162 SBT Hình học 11
Bài tập 3.46 trang 162 SBT Hình học 11
Bài tập 3.47 trang 162 SBT Hình học 11
Bài tập 3.49 trang 163 SBT Hình học 11
Bài tập 3.50 trang 163 SBT Hình học 11
Bài tập 3.51 trang 163 SBT Hình học 11
Bài tập 3.52 trang 163 SBT Hình học 11
Bài tập 3.53 trang 163 SBT Hình học 11
Bài tập 3.54 trang 164 SBT Hình học 11
Bài tập 3.55 trang 164 SBT Hình học 11
Bài tập 3.56 trang 164 SBT Hình học 11
Bài tập 3.57 trang 164 SBT Hình học 11
Bài tập 3.58 trang 164 SBT Hình học 11
Bài tập 3.59 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.60 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.61 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.62 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.63 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.64 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.65 trang 165 SBT Hình học 11
Bài tập 3.66 trang 166 SBT Hình học 11
Bài tập 3.67 trang 166 SBT Hình học 11
Bài tập 3.68 trang 166 SBT Hình học 10
Bài tập 3.69 trang 166 SBT Hình học 11
Bài tập 3.70 trang 167 SBT Hình học 11
Bài tập 3.71 trang 167 SBT Hình học 11
Bài tập 3.72 trang 167 SBT Hình học 11
Bài tập 3.73 trang 168 SBT Hình học 11
Bài tập 1 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 2 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 3 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 4 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 5 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 6 trang 120 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 7 trang 121 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 8 trang 121 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 1 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 2 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 3 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 4 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 5 trang 122 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 6 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 7 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 8 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 9 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 10 trang 123 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 11 trang 124 SGK Hình học 11 NC
Bài tập 12 trang 124 SGK Hình học 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến (BCD) là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a. Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD) vì:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = \(\frac{a}{2}\). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = \(\frac{a}{2}\). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng:
Cho hình tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bẳng a. gọi O là tâm của đáy ABCD. Gọi M là trung điểm của SC. Hai mặt phẳng (SAC) và (MBD) vuông góc với nhau vì:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc nhọn bằng 600 và cạnh SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC = \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (SAC) bằng:
Cho hình chóp S.ABCD có SA \( \bot \)( ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = \(a\sqrt 5 \) và BC=\(a\sqrt 2 \). Tính khoảng cách giữa SD và BC
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác vuông tại B, AB=BC=a, cạnh bên AA′=\(\sqrt 2 \). Gọi M là trung điểm BC. Tính d(AM;B′C).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc nhọn bằng 600 và cạnh SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC = \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Từ O kẻ OK ⊥ SA, độ dài OK là:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến (SAB) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7a, có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC = 7a.
a) Tính góc giữa SA và BC.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC.
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi AC2 + BD2 = AD2 + BC2
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Hãy tính góc của các cặp đường thẳng sau đây:
a) AB' và BC'
b) AC' và CD'
Cho hai tia Ax và By vuông góc với nhau nhận AB làm đoạn vuông góc chung. Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax và By sao cho AM + BN = MN.
Đặt AB = 2a, gọi O là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc điểm O trên đường thẳng MN
a) Chứng minh rằng OH = a, HM = AN, HN = BN.
b) Gọi Bx' là tia song song và cùng chiều với tia Ax và K là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (Bx'; By). Chứng minh BK là phân giác của góc ∠x'By.
c) Chứng minh điểm H nằm trên một đường tròn cố định.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC.
a) Chứng minh AC ⊥ SD
b) Chứng minh MN ⊥ (SBD)
c) Cho AB = SA = a. Tính côsin của góc giữa (SBC) và (ABCD).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông
b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC.
Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH)
c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(BAD = {60^0}\), SA = SB = SD = a.
a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SAC vuông.
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và các cạnh OA = OB = OC = a, gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI), (OAI) ⊥ (ABC).
b) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
c) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh BD ⊥ SC.
b) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC).
c) Cho \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' với tâm O. Đẳng thức nào sau đây là Sai?
A. \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \)
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {D'A} = \overrightarrow 0 \)
C. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} \)
D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {D'O} + \overrightarrow {OC'} \)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow d \). Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. \(\overrightarrow a = \overrightarrow b + \overrightarrow c \)
B. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 \)
C. \(\overrightarrow b + \overrightarrow d - \overrightarrow c = \overrightarrow 0 \)
D. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow d \)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây Sai?
A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\)
B. \(AB\bot CD\) hay \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow 0 \)
C. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
D. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \) thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \).
C. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)
Khẳng định nào sau đây là Sai?
A. Ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng nếu có một trong ba vectơ đó bằng vectơ \(\overrightarrow 0\).
B. Ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương.
C. Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' ba vectơ \(\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {C'A'} ,\overrightarrow {DA'} \) đồng phẳng.
D. Vectơ \(\overrightarrow x = \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \) luôn đồng phẳng với hai vectơ \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\).
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây là Sai?
A. \(\overrightarrow {AC'} = a\sqrt 3 \)
B. \(\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {AB'} = {a^2}\)
C. \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {CD'} = 0\)
D. \(2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {D'A'} = \overrightarrow 0 \)
Khẳng định nào sau đây là Sai?
A. Cho hai vectơ không cùng phương a→ và b→. Khi đó ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho \(\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \), ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.
B. Nếu có \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \) và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng.
C. Ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá trị thuộc một mặt phẳng.
D. Ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.
Cho hai điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OB} = k\overrightarrow {BA} \)
B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OB} = k\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right)\)
C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow {OA} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {OB} \)
D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
D. Mặt phẳng (α) và đường thẳng a cùng vuông góc với đường thẳng b thì song song với nhau.
Với a, b, c là các đường thẳng, khẳng định nào sau đây là Sai?
A. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c;
B. Nếu a// b và b ⊥ c thì a ⊥ c;
C. Nếu a vuông góc với mặt phẳng (α) và b song song với mặt phẳng (α) thì a ⊥ b;
D. Nếu a ⊥ b, c ⊥ b và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng (a, c)
Cho các mệnh đề sau với (α) và (β) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau với giao tuyến m = (α) ∩ (β) và a, b, c, d là các đường thẳng. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Nếu a ⊂ (α) và a ⊥ m thì a ⊥ (β).
B. Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (α) hoặc b ⊂ (β).
C. Nếu c // m thì c // (α) hoặc c // (β).
D. Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (α)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
A. MN vuông góc với AB.
B. MN vuông góc với CD.
C. MN vuông góc với AB và CD.
D. MN không vuông góc với AB và CD.
Câu trả lời của bạn
Do \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = 0\,\, \Rightarrow \,\,\,AB \bot CD\) . Đáp án B sai.
Từ đó, \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CN} - \overrightarrow {CM} } \right) = 0\), đáp án A , C sai.
Chọn đáp án D.
A. \(\overrightarrow {DM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow c - 2\overrightarrow b } \right)\).
B. \(\overrightarrow {DM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c - 2\overrightarrow a } \right)\).
C. \(\overrightarrow {DM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\).
D. \(\overrightarrow {DM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)\).
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BM} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;= - \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= - \overrightarrow {AD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= - \overrightarrow c + \dfrac{1}{2}\overrightarrow a + \dfrac{1}{2}\overrightarrow b \,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\end{array}\)
Chọn đáp án C.
A. \(\overrightarrow {SI} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} \).
B. \(\overrightarrow {SI} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} \).
C. \(3\left( {\overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) = \overrightarrow {SI} \).
D. \(6\overrightarrow {SI} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} \).
Câu trả lời của bạn
Do I là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SI} \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {SI} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} \)
Chọn đáp án B.
A. \(\overrightarrow {MA} \,,\,\overrightarrow {MQ} \).
B. \(\overrightarrow {MD} \,,\,\overrightarrow {MQ} \).
C. \(\overrightarrow {AC} \,,\,\overrightarrow {AD} \).
D. \(\overrightarrow {MP} \,,\,\overrightarrow {CD} \).
Câu trả lời của bạn
Do PQ //AC nên \(\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương , do đó đáp án C đúng.
A. \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b + \overrightarrow c - \dfrac{1}{2}\overrightarrow a \).
B. \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a - \overrightarrow c - \dfrac{1}{2}\overrightarrow b \).
C. \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a + \overrightarrow c - \dfrac{1}{2}\overrightarrow b \).
D. \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \dfrac{1}{2}\overrightarrow c \).
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} } \right) = - \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \dfrac{1}{2}\overrightarrow c \end{array}\)
Chọn đáp án D.
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Câu trả lời của bạn
M, N là trung điểm của AD và SD nên ta có MN // SA, suy ra \(\left( {MN.SC} \right) = \left( {SA,SC} \right) = \widehat {ASC}\) .
Tam giác SAC có \(SA = a,SC = a,\,AC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) , suy ra tam giác SAC vuông tại S, tức là \(\widehat {ASC} = {90^0}\) . Chọn đáp án D.
A. O là trọng tâm tam giác ABC .
B. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
C. O là trực tâm tam giác ABC .
D. O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Câu trả lời của bạn
Lấy H là trung điểm của AB. Do tam giác SAB cân tại S nên \(SH \bot AB\). Lại có \(SO \bot \left( {ABC} \right)\, \Rightarrow \,\,SSO \bot AB\) . Từ đó suy ra \(AB \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow AB \bot OH\).
Tam giác OAB có OH vừa là đường cao vừa là dường trung tuyến nên tam giác OAB là tam giác cân, suy ra OA = OB.
Làm tương tự ta với tam giác OAC, tam giác OBC ta cũng có OA = OC , OB = OC. Vậy OA = OB = OC hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chọn đáp án B.
A. H là trung điểm cạnh AB .
B. H là trung điểm cạnh AC .
C. H là trọng tâm tam giác ABC .
D. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\,(SA \bot (ABC))\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow BC \bot (SAB)\,\, \Rightarrow BC \bot SB\) .
Do đó, tam giác SBC vuông tại B.
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC là trung điểm cạnh huyền SC.
Từ O kẻ \(OH \bot AC\,\, \Rightarrow OH\,//\,SA\) ( do \(SA \bot AC\) ). Mà \(SA \bot (ABC)\, \Rightarrow OH \bot (ABC)\).
Vậy H là hình chiếu vuông góc của O lên (ABC).
Chọn đáp án B.
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc AIB.
B. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là góc CBD.
C. \(\left( {BCD} \right) \bot \left( {AIB} \right)\).
D. \(\left( {ACD} \right) \bot \left( {AIB} \right)\).
Câu trả lời của bạn
Ta có tam giác ACD cân tại A nên \(AI \bot CD\) . tam giác BCD cân tại B nên \(BI \bot CD\) . mà (BCD) và (ACD) có CD chung nên \(\left( {(ACD),(BCD)} \right) = \left( {BI,AI} \right) = \widehat {AIB}\).
Ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \subset (BCD)\\CD \bot BI\\CD \bot AI\end{array} \right.\, \Rightarrow \,\,\left( {BCD} \right) \bot \left( {AIB} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}CD \subset (ACD)\\CD \bot BI\\CD \bot AI\end{array} \right.\, \Rightarrow \,\,\left( {ACD} \right) \bot \left( {AIB} \right)\end{array}\)
Chọn đáp án B.
A. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).
B. \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).
C. \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).
D. \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Câu trả lời của bạn
Do \(SA \bot \left( {BACD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm A, suy ra \(\left( {SC,(ABCD)} \right) = \left( {SC,AC} \right)\)
Ta có
\(SA = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = \sqrt 3 a\,,\,AC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \)
\(\,\, \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\)
Chọn đáp án B.
A. \(\widehat {SAB}\).
B. \(\widehat {SBA}\).
C. \(\widehat {SOB}\).
D. \(\widehat {SBO}\).
Câu trả lời của bạn
Do \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) ne6n hình chiếu vuông góc của S lân mp (ABCD) là điểm O, suy ra \(\left( {SB,(ABCD)} \right) = \left( {SB,\,BO} \right) = \widehat {SBO}\) .
Chọn đáp án D.
A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} \).
C. \(\overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\).
D. \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
Câu trả lời của bạn
Theo đề bài ta có I là trọng tâm tứ diện ABCD. Từ đó suy ra
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IN}\\\;\;\;\;\;\;\; = - \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {ID} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) \\\;\;\;\;\;\;\;= \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IA} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IC} - \overrightarrow {ID} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} } \right)\\\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} - \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {ID} - \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {AD} \end{array}\)
Chọn đáp án A.
A. \(\widehat {AB'C}\).
B. \(\widehat {DA'C'}\).
C. \(\widehat {BB'D}\).
D. \(\widehat {BDB'}\).
Câu trả lời của bạn
Do AC //A’C’ nên \(\left( {AC,A'D} \right) = \left( {A'C',\,A'D} \right)\). Do tam giác A’DC’ có ba góc nhọn nên \(\left( {A'C',A'D} \right) = \widehat {DA'C'}\) . Chọn đáp án B.
Câu 7.Do \(A\) không trùng với G nên \(\overrightarrow {GA} \ne \overrightarrow 0 \). Mà do G là trọng tâm tam giác BCD nên \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \). Từ đó suy ra \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \ne \overrightarrow 0 \)
Chọn đáp án D.
A.\(\widehat {BCM}\).
B. \(\widehat {DCM}\).
C. \(\widehat {KCM}\).
D. \(\widehat {ACM}\).
Câu trả lời của bạn
Do \(AB \bot (BCD)\,\,\)nên B là hình chiếu vuông góc của A lên (BCD), suy ra \(\left( {AM,(BCD)} \right) = \left( {AM,MB} \right) = \widehat {BMA}\,\, \Rightarrow \,\,\tan \alpha = \dfrac{{AB}}{{BM}} = \dfrac{{2a}}{{\dfrac{a}{2}}} = 4\)
Chọn đáp án C.
A. (SAD).
B. (SBD).
C. (SDC).
D. (SBC).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\SO \bot AC\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,AC \bot \left( {SBD} \right)\)mà \(AC \subset \left( {ABCD} \right)\) nên \(\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\).
Chọn đáp án B.
A. B’C và AD’.
B. BC’ và A’D.
C. B’C và CD’.
D. AC và B’D’.
Câu trả lời của bạn
Đáp án C là đáp án đúng do tam giác CB’D’ có ba cạnh bằng nhau là \(a\sqrt 3 \) nên không thể vuông tại C, tức là \(B'C \bot CD'\).
\(A.\overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) +\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {DB} } \right)\)
B. \(\overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} } \right)\).
C. \(\overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} } \right)\).
\(D. \overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) - \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right).\)
Câu trả lời của bạn
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BD} } \right)\)
Chọn đáp án A.
A. SC.
B. SB.
C. SD.
D. CD
Câu trả lời của bạn
Do tất cả các cạnh của hình chop đều bằng a nên tam giác SAC có \(AC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 ,\,\,SA = a,\,SC = a\,\, \Rightarrow \,\,S{C^2} + S{A^2} = A{C^2}\) . Suy ra tam giác SAC vuông tại S hay \(SA \bot SC\) .
Chọn đáp án A.
A. \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {B{D_1}} \).
B. \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {{B_1}{A_1}} \).
C. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{D_1}{C_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow {DC} \).
D. \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {D{D_1}} + \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {BC} \).
Câu trả lời của bạn
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {B{B_1}} = \overrightarrow {B{D_1}} \\\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {{B_1}{D_1}} = \overrightarrow {{B_1}{A_1}} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} \\\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {{D_1}{C_1}} + \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DC} \\\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {D{D_1}} + \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {B{D_1}} = \overrightarrow {B{A_1}} + \overrightarrow {B{D_1}} \ne \overrightarrow {{A_1}{D_1}} = \overrightarrow {BC} \end{array}\)
Chọn đáp án D.
A. \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d } \right)\).
B. \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d } \right)\).
C. \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d } \right)\).
D. \(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow d + \overrightarrow c + \overrightarrow b \).
Câu trả lời của bạn
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên \(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \,\, \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d } \right)\)
Chọn đáp án B.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *