Thông qua nội dung bài học các em sẽ nắm được khái niệm và phân biệt được sự khác nhau của Hoán vị, Tổ hợp,Chỉnh hợp. Cùng với một số bài tập điển hình có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng nắm vững được nội dung bài học.
Với mọi số tự nhiên dương\(n\), tích \(1.2.3....n\) được gọi là \(n\) - giai thừa và kí hiệu \(n!\). Vậy \(n! = 1.2.3...n\).
Ta quy ước \(0! = 1\).
\(\begin{array}{l}*{\rm{ }}n! = n(n - 1)!\\*{\rm{ }}n! = n(n - 1)(n - 2)...(n - k - 1).k!\end{array}\).
Cho tập \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Khi sắp xếp \(n\) phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A.
Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là \({P_n}\).
Định lí: Ta có \({P_n} = n!\)
Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Khi lấy \(k\) phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của A.
Kí hiệu \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử
Định lí: Ta có \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với \(1 \le k \le n\). Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.
Kí hiệu \(C_n^k\) là số tổ hợp chập k của n phần tử.
Định lí:
Ta có: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
Tính chất 1: \(C_n^k = C_n^{n - k}\) với \(0 \le k \le n.\)
Tính chất 2: (Công thức Pa-xcan)
\(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k = C_n^k\) với \(1 \le k < n.\)
Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.
Vậy có P5 = 5! = 120 (cách).
Từ tập hợp X= {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.
Gọi A= \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}}\) là số cần lập với \({a_1} \ne 0\) và a1, a2, a3, a4 phân biệt.
Vậy có 5.\(A_5^3\) = 300 số có thể lập từ tập hợp X.
Có 10 cuố sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn hỏi có bao nhiêu cách.
Mỗi cách chọn ra 4 trong số 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.
Vậy có \(C_{10}^4\) = 210 (cách chọn).
Có bao nhiêu cách xếp \(5\) cuốn sách Toán, \(6\) cuốn sách Lý và \(8\) cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau.
Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ môn thành một nhóm
Trước hết ta xếp 3 nhóm lên kệ sách chúng ta có: \(3! = 6\) cách xếp
Với mỗi cách xếp 3 nhóm đó lên kệ ta có \(5!\) cách hoán vị các cuốn sách Toán, \(6!\) cách hoán vị các cuốn sách Lý và \(8!\) cách hoán vị các cuốn sách Hóa
Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: \(6.5!.6!.8!\) cách xếp
Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.
Suy ra có 3\(C_5^2\) cách chọn
Suy ra có 5\(C_3^2\) cách chọn.
Trường hợp 3: chọn cả 3 nữ, có 1 cách.
Vậy có tất cả: 3\(C_5^2\) + 5\(C_3^2\) + 1 = 46 (cách).
Thông qua nội dung bài học các em sẽ nắm được khái niệm và phân biệt được sự khác nhau của Hoán vị, Tổ hợp,Chỉnh hợp. Cùng với một số bài tập điển hình có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng nắm vững được nội dung bài học.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 2 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế.
Cho tập hợp số : \(A = \left\{ {0,1,2,3,4,5,6} \right\}\).Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là chữ số tự nhiên chẵn.
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 2 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 54 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 54 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 54 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 54 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 54 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 54 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 54 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2.12 trang 75 SBT Toán 11
Bài tập 2.13 trang 75 SBT Toán 11
Bài tập 2.14 trang 75 SBT Toán 11
Bài tập 2.15 trang 76 SBT Toán 11
Bài tập 2.16 trang 76 SBT Toán 11
Bài tập 2.17 trang 76 SBT Toán 11
Bài tập 2.18 trang 76 SBT Toán 11
Bài tập 2.19 trang 76 SBT Toán 11
Bài tập 2.20 trang 76 SBT Toán 11
Bài tập 2.21 trang 76 SBT Toán 11
Bài tập 2.22 trang 76 SBT Toán 11
Bài tập 2.23 trang 76 SBT Toán 11
Bài tập 2.24 trang 76 SBT Toán 11
Bài tập 2.25 trang 77 SBT Toán 11
Bài tập 2.26 trang 77 SBT Toán 10
Bài tập 2.27 trang 77 SBT Toán 10
Bài tập 2.28 trang 77 SBT Toán 11
Bài tập 2.29 trang 77 SBT Toán 11
Bài tập 2.30 trang 77 SBT Toán 11
Bài tập 2.31 trang 77 SBT Toán 11
Bài tập 5 trang 62 SGK Toán 11 NC
Bài tập 6 trang 62 SGK Toán 11 NC
Bài tập 7 trang 62 SGK Toán 11 NC
Bài tập 8 trang 62 SGK Toán 11 NC
Bài tập 9 trang 63 SGK Toán 11 NC
Bài tập 10 trang 63 SGK Toán 11 NC
Bài tập 11 trang 63 SGK Toán 11 NC
Bài tập 12 trang 63 SGK Toán 11 NC
Bài tập 13 trang 63 SGK Toán 11 NC
Bài tập 14 trang 63 SGK Toán 11 NC
Bài tập 15 trang 64 SGK Toán 11 NC
Bài tập 16 trang 64 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế.
Cho tập hợp số : \(A = \left\{ {0,1,2,3,4,5,6} \right\}\).Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là chữ số tự nhiên chẵn.
Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5 HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn.
Một cuộc họp có 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, riêng chủ tọa chỉ bắt tay ba người. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau.
Trong một lớp học có 20 học sinh nữ và 15 học sinh nam. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn bốn học sinh làm tổ trưởng của 4 tổ sao cho trong 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Có bao nhiêu cách xếp \(n\) người ngồi vào một bàn tròn.
Tìm số nguyên dương \(n\) sao cho \(A_n^2 - A_n^1 = 8\)
Giải phương trình \(3C_{x + 1}^2 + x{P_2} = 4A_x^2\)
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập các số tự nhiên gồm sáu chữ số khác nhau. Hỏi:
a) Có tất cả bao nhiêu số?
b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?
c) Có bao nhiêu số bé hơn 432 000?
Có bao nhiêu cách để sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy?
Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông) ?
Có bao cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ?
Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:
a) Các bông hoa khác nhau?
b) Các bông hoa như nhau?
Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thằng song song đó ?
Một cái khay tròn đựng bánh kẹo ngày Tết có 6 ngăn hình quạt màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách bày 6 loại bánh kẹo vào 6 ngăn đó?
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 ghế được kê thành hàng ngang, sao cho:
a) Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau ?
b) Các bạn nam ngồi liền nhau ?
Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình, và 10 ghế kê thành hàng ngang, sao cho:
a) Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau?
b) Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau?
Thầy giáo có ba quyển sách Toán khác nhau cho ba bạn mượn (mỗi bạn một quyển). Sang tuần sau thầy giáo thu lại và tiếp tục cho ba bạn mượn ba quyển đó. Hỏi có bao nhiêu cách cho mượn sách mà không bạn nào phải mượn quyển đã đọc?
Bốn người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào bảy chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho:
a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà ?
b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông ?
Ba quả cầu được đặt vào ba cái hộp khác nhau (không nhất thiết hộp nào cũng có quả cầu). Hỏi có bao nhiêu cách đặt, nếu:
a) Các quả cầu giống hệt nhau (không phân biệt)?
b) Các quả cầu đôi một khác nhau?
Có bao nhiêu cách chia 10 người thành
a) Hai nhóm, một nhóm 7 người, nhóm kia 3 người?
b) Ba nhóm tương ứng gồm 5,3,2 người?
Một giá sách bốn tầng xếp 40 quyển sách khác nhau, mỗi tầng xếp 10 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các quyển sách sao cho từ mỗi tầng có
a) Hai quyển sách?
b) Tám quyển sách?
Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau?
Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất một nam và ít nhất một nữ?
Từ tập hợp gồm 10 điểm nằm trên một đường tròn:
a) Vẽ được bao nhiêu tam giác?
b) Vẽ được bao nhiêu đa giác?
Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu
a) Ghế sắp thành hàng ngang?
b) Ghế sắp quanh một bàn tròn?
a) Một lớp có 50 học sinh. Tính số cách phân công 4 bạn quét sân trường và 5 bạn xén cây bằng hai phương pháp để rút ra đẳng thức \(C_{50}^9.C_9^4 = C_{50}^4.C_{46}^5\)
b) Chứng minh công thức Niu-tơn \(C_n^r.C_r^k = C_n^k.C_{n - k}^{r - k}\,\,\left( {n \ge r \ge k \ge 0} \right)\)
c) Tìm chữ số ở hàng đơn vị của tổng
S = 0!+2!+4!+6!+...+100!.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
A. 45.
B. 90
C. 100.
D. 180.
Câu trả lời của bạn
Mỗi đội sẽ gặp 9 đội còn lại. Do đó có 10.9 = 90 trận đấu. Chọn B.
A. 180
B. 160.
C. 90.
D. 45.
Câu trả lời của bạn
Mỗi đội sẽ gặp 9 đội khác trong hai lượt trận sân nhà và sân khách. Có 10.9 = 90 trận.
Mỗi đội đá 2 trận sân nhà, 2 trận sân khách. Nên số trận đấu là 2.90 = 180 trận. Chọn A
A. 141427544
B. 1284761260
C. 1351414120
D. 453358292
Câu trả lời của bạn
Mỗi tam giác thỏa yêu cầu bài toán ứng với một tổ hợp chập 3 của 2010, nên số tam giác cần tìm là: \({C_{2010}}^3 = 1351414120 \)
Chọn C
A. 35.
B.120.
C.240.
D.720.
Câu trả lời của bạn
Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.
Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác, có \({C_{10}}^3 = 120\)
Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác 10 cạnh.
Chọn B
A.121.
B.66.
C. 132.
D.54.
Câu trả lời của bạn
Cứ 2 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).
Khi đó có \({C_{12}}^2 = 66\) cạnh.
Số đường chéo là: 66 – 12 = 54.
A. 12.
B. 66.
C.132.
D. 144.
Câu trả lời của bạn
Để được nhiều giao điểm nhất thì mười hai đường thẳng này phải đôi một cắt nhau tại các điểm phân biệt.
Như vậy có \({C_{12}}^2 = 66\)
Chọn B
Câu trả lời của bạn
Mỗi cách xếp 10 học sinh của lớp 11K thành một hàng ngang là một hoán vị của 10.
Vậy ta có tất cả: P10 = 10! = 3628800 cách xếp.
Câu trả lời của bạn
Mỗi cách xếp 10 học sinh của lớp 11K thành một vòng tròn kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của 10.
Vậy ta có tất cả: Q10 = (10 – 1)! = 9! = 362880 cách xếp.
Câu trả lời của bạn
+ Chọn hai vị trí liên tiếp trong 5 vị trí gộp lại để xếp quyển thứ nhất và quyển thứ hai kề nhau. Suy ra có 4 vị trí để xếp hai quyển này, vậy có 4 cách.
+ Xếp hai quyển sách thứ nhất và thứ hai, có hai cách xếp (hoán vị cho nhau)
+ Sắp 3 quyển sách còn lại vào 3 vị trí, có 3! cách.
+ Vậy có tất cả: 4. 2. 3! = 8. 6 = 48 cách.
Câu trả lời của bạn
+ Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế 7 chỗ ngồi và xếp 5 người đó vào 5 vị trí ngồi chính là chỉnh hợp chập 5 của 7.
+ Vậy có: A75 = 2520 cách.
Câu trả lời của bạn
+ Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm (A, B) cho ta một vecto có điểm đầu là A, điểm cuối là B và ngược lại. Như vậy, mỗi vecto có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 7 điểm đã cho.
+ Vậy số vecto cần tìm là: A72 = 42 (vecto).
Câu trả lời của bạn
Mỗi cách chọn ra 4 cuốn sách trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.
Vậy có C104 = 210 cách chọn.
A. 840
B. 432
C. 35
D. 576
Câu trả lời của bạn
+ Các chữ số lẻ trong 7 chữ số trên là: 1, 3, 5, 7, có 4 số
Suy ra chọn hai chữ số lẻ có: C42 cách
+ Các chữ số chẵn trong 7 chữ số trên là: 2, 4, 6, có 3 số
Suy ra chọn hai chữ số chẵn: có C32 cách
+ Với 4 chữ số đã chọn ở trên, ta xếp vào 4 vị trí có: 4! cách
Theo quy tắc nhân, vậy có thể lập được: C42.C32.4! = 432 số.
A. 36
B. 180
C. 72
D. 18
Câu trả lời của bạn
+ Trong 6 vé có 3 vé mang ghế số chẵn, do đó xếp 2 bạn vào ghế mang số chẵn có A32cách (vì sắp thứ tự luôn hai bạn đó nên ta dùng chỉnh hợp).
+ Tương tự, xếp hai bạn vào ghế mang số lẻ có A32 cách.
+ Vậy còn lại 2 bạn và 2 chỗ, Số cách xếp hai bạn còn lại vào hai vị trí còn lại là 2! cách.
+ Theo quy tắc nhân, vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu của tất cả các bạn đó là: A32.A32.2! = 72 cách.
Đáp án C
A. 120
B. 504
C. 720
D. 480
Câu trả lời của bạn
Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}}\)
+ Ta có: a1 ∈ {1;2;3;4;5} (vì chữ số đầu tiên không thể bằng 0) ⇒ Có 5 cách chọn a1
+ Tiếp theo ta bỏ a1 và 0 thì tập hợp đã cho còn lại 4 chữ số. Ta chọn 3 chữ số từ 4 chữ số đó, ta có C43 cách chọn.
Chúng ta xếp chữ số 0 và 3 chữ số vừa chọn được vào 4 vị trí a2; a3; a4; a5 ta được 4! cách xếp.
Do đó chọn cho các chữ số a2; a3; a4; a5 có mặt chữ số 0 ta có: C43.4! cách.
+ Vậy theo quy tắc nhân, số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài có thể lập được là: 5.C43.4! = 480 số.
Câu trả lời của bạn
+ Chọn ra 4 bạn nam trong 19 bạn nam có: C194= 3876 cách chọn
+ Chọn ra 2 bạn nữ trong 15 bạn nữ có: C152 = 105 cách chọn
+ Theo quy tắc nhân, số cách chọn là: 3876 . 105 = 406980 cách.
Câu trả lời của bạn
123; 132; 213; 231; 312; 321
A. 4374
B. 139968
C. 576
D. 15552
Câu trả lời của bạn
Tô màu theo nguyên tắc sau:
+ Tô 1 ô vuông 4 cạnh: Chọn 2 trong 3 màu, ứng với 2 màu được chọn có 6 cách tô. Do đó có 6.C32 cách tô.
+ Tô 3 ô vuông 3 cạnh (có một cạnh đã được tô trước đó): ứng với một ô vuông có 3 cách tô màu 1 trong 3 cạnh theo màu của cạnh đã tô trước đó, chọn 1 trong hai màu còn lại tô hai cạnh còn lại, có 3. C21 = 6 cách tô. Do đó có 63 cách tô.
+ Tô 2 ô vuông 2 cạnh (có 2 cạnh đã được tô trước đó): ứng với mỗi ô vuông có 2 cách tô màu 2 cạnh ( 2 cạnh tô trước cùng màu hay khác màu nhau không ảnh hưởng đến số cách tô). Do đó có 22 cách tô.
+ Vậy có: 6. C32.63.22 = 15552 cách tô.
Đáp án D
A. 720
B. 1440
C. 18720
D. 40320
Câu trả lời của bạn
Bài này ta dùng phần bù để giải quyết.
+ Có tất cả 8 người cùng lên máy bay, xếp 8 người thành một hàng dọc có 8! cách.
+ Xếp ông An và bà An vào 2 trong 6 vị trí ở giữa (8 vị trí trừ đi 2 vị trí ở đầu và cuối hàng) thì có A62 cách.
Xếp 6 người con vào 6 vị trí còn lại có 6! cách.
Do đó số cách xếp để ông An và bà An không đứng ở vị trí đầu và cuối hàng là A62.6! cách.
+ Vậy số cách xếp để ông An hay bà An đứng ở vị trí đầu hoặc cuối hàng là
8! - A62.6! = 10720 cách.
Đáp án C
A. 1200
B. 1800
C. 1000
D. 200
Câu trả lời của bạn
+ Chọn 3 bì thư trong 6 bì thư có C63 cách.
+ Chọn 3 tem thư trong 5 tem thư có C53 cách.
+ Dán 3 tem thư lên 3 bì thư thì có 3! cách dán.
+ Theo quy tắc nhân, vậy số cách chọn cần tìm là: C63.C53.3! = 1200 cách.
Đáp án A
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *