Bài học trước là các tính chất xoay quanh góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hay còn gọi là góc nội tiếp. Còn ở bài này, ta sẽ đi tìm hiểu về Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
Góc \(\widehat{BEC}\) là góc có đỉnh \(E\) nằm bên trong đường tròn nên \(\widehat{BEC}=\frac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown{BnC}\)+sđ\(\stackrel\frown{AmD}\))
Góc \(\widehat{AED}\) có đỉnh \(E\) bên ngoài đường tròn nên \(\widehat{AED}=\frac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown{BnC}-\)sđ\(\stackrel\frown{AmD}\))
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm D di chuyển trên cung AC. E là diao điểm của AC và BD, F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh \(\widehat{AFB}=\widehat{ABD}\)
Hướng dẫn:
Do \(\bigtriangleup ABC\) cân tại A nên AB=AC suy ra sđ\(\stackrel\frown{AB}=\)sđ\(\stackrel\frown{AC}\)
Ta có \(\widehat{AFB}=\frac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown{AB}-\) sđ\(\stackrel\frown{CD}\))\(=\frac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown{AC}-\) sđ\(\stackrel\frown{CD}\))\(=\frac{1}{2}\)sđ\(\stackrel\frown{AD}\)
Mặt khác \(\widehat{ABD}=\frac{1}{2}\)sđ\(\stackrel\frown{AD}\), do đó \(\widehat{AFB}=\widehat{ABD}\)
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi P,Q,R lần lượt là giao điểm của các tia phân giác trong góc A,B,C với đường tròn. Chứng minh \(AP\perp QR\)
Hướng dẫn:
Ta có tia phân giác AP chia đôi cung \(\stackrel\frown{BC}\) thành hai cung bằng nhau, tức là \(\stackrel\frown{BP}=\stackrel\frown{CP}\)
Tương tự \(\stackrel\frown{AQ}=\stackrel\frown{CQ},\stackrel\frown{AR}=\stackrel\frown{BR}\)
Gọi S là giao điểm của AP và QR. Lúc đó \(\widehat{ASQ}=\frac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown{AQ}+\)sđ\(\stackrel\frown{PR}\))\(=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\)sđ\(\stackrel\frown{AC}\)+\(\frac{1}{2}\)sđ\(\stackrel\frown{AB}\)+\(\frac{1}{2}\)sđ\(\stackrel\frown{BC})\)=\(\frac{1}{2}.(\frac{1}{2}.360^0)=90^0\)
Và do đó \(AP\perp QR\)
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC (AB>BC) nội tiếp đường tròn (O). D là điểm chính giữa cung AC. Gọi E,F lần lượt là giao điểm của AB và CD; AD và BC. Chứng minh rằng \(\widehat{AED}<\widehat{CFD}\)
Hướng dẫn:
Ta có: \(\widehat{AED}=\frac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown{BC}-\)sđ\(\stackrel\frown{AD}\)) và \(\widehat{CFD}=\frac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown{AB}-\)sđ\(\stackrel\frown{CD}\))
Theo đề bài ta có sđ\(\stackrel\frown{BC}<\)sđ\(\stackrel\frown{AB}\) (do AB>BC) và sđ\(\stackrel\frown{AD}\)=sđ\(\stackrel\frown{CD}\) (do D là điểm chính giữa cung AC)
Suy ra\(\widehat{AED}<\widehat{CFD}\)
Bài 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. D là một điểm di dộng trên cung nhỏ AC. Gọi E là giao điểm của AC và BD, gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh tích AE.BF không phụ thuộc vào vị trí của D
Hướng dẫn:
Vì AB=AC nên sđ\(\stackrel\frown{AB}=\)sđ\(\stackrel\frown{AC}\)
Ta có \(\widehat{AFB}=\frac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown{AB}-\) sđ\(\stackrel\frown{CD}\))\(=\frac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown{AC}-\) sđ\(\stackrel\frown{CD}\))\(=\frac{1}{2}\)sđ\(\stackrel\frown{AD}\)
Mặt khác \(\widehat{ABD}=\frac{1}{2}\)sđ\(\stackrel\frown{AD}\), do đó \(\widehat{AFB}=\widehat{ABD}\)
Xét \(\bigtriangleup AFB\) và \(\bigtriangleup EBA\) có \(\widehat{AFB}=\widehat{ABD}\) (chứng minh trên) và \(\widehat{FBA}=\widehat{BAE}=60^0\) (\(\bigtriangleup ABC\) đều)
nên \(\bigtriangleup AFB \sim\bigtriangleup EBA\) (g.g) suy ra \(\frac{AB}{AE}=\frac{BF}{AB} \Rightarrow AE.BF=AB^2\) không đổi
Vậy tích AE.BF không phụ thuộc vào vị trí điểm D
Bài 2: Tứ giác ABCD có các góc B và D tù. Chứng minh AC>BD
Hướng dẫn:
Vẽ đường tròn tâm O đường kính AC.
Ta có \(\widehat{ABC}>90^0, \widehat{ADC}>90^0\) nên B và D là hai điểm ở bên trong đường tròn (O)
suy ra BD nhỏ hơn dây cung chứa nó
Mặt khác đường kính AC là dây cung lớn nhất và do đó AC>BD
3. Luyện tập Bài 5 Chương 3 Hình học 9
Qua bài giảng Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Dựa vào hình vẽ sau, biết B là điểm chính giữa cung nhỏ AC, M là giao điểm của AD và BE và sđ\(\stackrel\frown{BC}=30^0\), \(\widehat{DCE}=30^0\). Lúc đó \(\widehat{AMB}=?\)
Khẳng nào sau đây là đúng:
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1
Bài tập 36 trang 82 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 37 trang 82 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 38 trang 82 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 39 trang 83 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 40 trang 83 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 41 trang 83 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 42 trang 83 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 43 trang 83 SGK Toán 9 Tập 2
Bài tập 28 trang 104 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 29 trang 105 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 30 trang 105 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 31 trang 105 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 32 trang 105 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 5.1 trang 105 SBT Toán 9 Tập 2
Bài tập 5.2 trang 105 SBT Toán 9 Tập 2
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Dựa vào hình vẽ sau, biết B là điểm chính giữa cung nhỏ AC, M là giao điểm của AD và BE và sđ\(\stackrel\frown{BC}=30^0\), \(\widehat{DCE}=30^0\). Lúc đó \(\widehat{AMB}=?\)
Khẳng nào sau đây là đúng:
Số đo góc AED là bao nhiêu biết rằng \(\widehat{OBC}=45^0,\widehat{ABD}=15^0\)
Cho đường tròn (O) và điểm E nằm ngoài đường tròn. Vẽ cát tuyến EAB và ECD với đường tròn (A nằm giữa E và B, C nằm giữa E và D). Gọi F là một điểm trên đường tròn sao cho B nằm chính giữa cung DF, I là giao điểm của FA và BC. Biết \(\widehat{E}=25^0\), số đo góc \(\widehat{I}\) là:
Cho đường tròn (O) và hai dây AB,CD của đường tròn sao cho AB cắt CD tại E. I là giao điểm của AD và BC. Cho \(\widehat{E}=35^0\), sđ\(\stackrel\frown{BD}=120^0\). Khi đó \(\widehat{AIC}=?\)
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB và cung AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh rằng tam giác AEH là tam giác cân.
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M. Gọi S là giao điểm của AM và BC. Chứng minh
\(\widehat{ASC}=\widehat{MCA}\)
Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho số đo cung AC bằng số đo cung CD bằng số đo cung DB bằng 60 độ. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng:
\(a) \widehat{AEB}=\widehat{BTC}\)
b) CD là phân giác của góc BCT
Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S.Chứng minh ES = EM
Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA = SD.
Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên trong đường tròn. Chứng minh:
\(\widehat{A}+\widehat{BSM}=2.\widehat{CMN}\)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. P, Q, R theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A, B, C.
a) Chứng minh \(\small AP \perp QR\)
b) AP cắt CR tại I. Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân
Cho đường tròn (O) và hai dây cung song song AB, CD (A và C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BD), AD cắt BC tại I. Chứng minh \(\small \widehat{AOC }=\widehat{AIC}\)
Các điểm \({A_1},{A_2},....,{A_{19}},{A_{20}}\) được sắp xếp theo thứ tự đó trên đường tròn \((O)\) và chia đường tròn thành \(20\) cung bằng nhau. Chứng minh rằng dây \({A_1}{A_8}\) vuông góc với dây \({A_3}{A_{16}}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông góc ở \(A.\) Đường tròn đường kính \(AB\) cắt \(BC\) ở \(D.\) Tiếp tuyến ở \(D\) cắt \(AC\) ở \(P.\) Chứng minh \(PD = PC.\)
Hai dây cung \(AB\) và \(CD\) kéo dài cắt nhau tại điểm \(E\) ở ngoài đường tròn \((O)\) \((B\) nằm giữa \(A\) và \(E,\) \(C\) nằm giữa \(D\) và \(E).\) Cho biết \(\widehat {CBE} =75^o,\) \(\widehat {CEB} = {22^o},\) \(\widehat {AOD} = {144^o}.\) Chứng minh \(\widehat {AOB} = \widehat {BAC}.\)
\(A, B, C\) là ba điểm thuộc đường tròn \((O)\) sao cho tiếp tuyến tại \(A\) cắt tia \(BC\) tại \(D.\) Tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt đường tròn ở \(M,\) tia phân giác của \(\widehat D\) cắt \(AM\) ở \(I.\) Chứng minh \(DI \bot AM.\)
Trên đường tròn \((O; R)\) vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau \(AB, BC, CD,\) mỗi dây có độ dài nhỏ hơn \(R.\) Các đường thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(I,\) các tiếp tuyến của đường tròn tại \(B, D\) cắt nhau tại \(K.\)
\(a)\) Chứng minh \(\widehat {BIC} = \widehat {BKD}\)
\(b)\) Chứng minh \(BC\) là tia phân giác của \(\widehat {KBD}.\)
Cho đường tròn tâm \(O \) bán kính \(R\) và dây \(AB\) bất kỳ. Gọi \(M\) là điểm chính giữa của cung nhỏ \(AB.\) \(E\) và \(F\) là hai điểm bất kỳ trên dây \(AB.\) Gọi \(C\) và \(D\) tương ứng là giao điểm của \(ME,\) \(MF\) của đường tròn \((O).\) Chứng minh \(\widehat {EFD} + \widehat {ECD} = {180^o}.\)
Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R.\) Lấy \(3\) điểm \(A, B, C\) trên đường tròn đó sao cho \(AB = BC = CA.\) Gọi \(I\) là điểm bất kỳ của cung nhỏ \(BC\) \((\)và \(I\) không trùng với \(B, C).\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(CI\) và \(AB.\) Gọi \(N\) là giao điểm của \(BI\) và \(AC.\) Chứng minh:
\(a)\) \(\widehat {ANB} = \widehat {BCI}\)
\(b)\) \(\widehat {AMC} = \widehat {CBI}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn . Từ M vẽ tiếp tuyến MP và cát tuyến MQR của đường tròn (MQ<MR) .Tia phân giác góc QPR cắt QR tại E và cắt (O) tại F . C/m ME=MP
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
đề sai sao giải bẹn
Câu trả lời của bạn
Bài 32 (Sách bài tập - tập 2 - trang 105)
Trên đường tròn (O; R) vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau. AB, BC, CD mỗi dây có độ dài nhỏ hơn R. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại I, các tiếp tuyến của đường tròn tại B, D cắt nhau tại K
a) Chứng minh \(\widehat{BIC}=\widehat{BKD}\)
b) Chứng minh BC là tia phân giác của \(\widehat{KBD}\)
Câu trả lời của bạn
Bài 31 (Sách bài tập - tập 2 - trang 105)
A, B, C là ba điểm thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D. Tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt đường tròn ở M, tia phân giác của \(\widehat{D}\) cắt AM ở I. Chứng minh \(DI\perp AM\) ?
Câu trả lời của bạn
Bài 30 (Sách bài tập - tập 2 - trang 105)
Hai dây cung AB và CD kéo dài cắt nhau tại điểm E ở ngoài đường tròn (O) (B nằm giữa A và E, C nằm giữa D và E). Cho biết \(\widehat{CBE}=75^0,\widehat{CEB}=22^0,\widehat{AOD}=144^0\)
Chứng minh :
\(\widehat{AOB}=\widehat{BAC}\)
Câu trả lời của bạn
Bài 29 (Sách bài tập - tập 2 - trang 105)
Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D. Tiếp tuyến ở D cắt AC ở P. Chứng minh PD = PC
Câu trả lời của bạn
Bài 28 (Sách bài tập - tập 2 - trang 104)
Các điểm \(A_1,A_2,....,A_{19},A_{20}\) được sắp xếp theo thứ tự đó trên đường tròn (O) và chia đường tròn thành 20 cung bằng nhau. Chứng minh rằng dây \(A_1A_8\) vuông góc với dây \(A_3A_{16}\)
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O có góc B=46 độ , góc C=72 độ
a) Tính góc A của tam giác ABC
b) Tia phâm giác góc A cắt đường tròn ở M. Tia phân giác góc B cắt đường tròn ở N. Gọi I là giao điểm của AM và BN. Tính các góc BIM, MBI
Câu trả lời của bạn
Cho đường tròn tâm O , đường kính AB = 2R . Điểm C nằm giữa hai điểm A và B , vẽ đường tròn tâm I đường kính CA và đường tròn tâm K đường kính CB . Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O tại D và E đoạn thẳng DA cắt đường tròn tâm I
tại M vs DB cắt đường tròn tâm K tại N
a) CMR 4 điểm C,M,Đ,N cùng thuộc 1 đường tròn
b) CMR MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm I và K
c) xác định vj trí điểm C trên đường kính AB sao cho tứ giác CMDN có S lớn nhất
Câu trả lời của bạn
nếu ảnh lớn quá bạn đưa về máy rồi đọc sẽ dễ dàng hơn nha ^^!
Bài 5.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 105)
Cho đường tròn tâm O bán kính R. Lấy ba điểm A, B, C trên đường tròn đó sao cho \(AB=BC=CA\). Gọi I là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC (và I không trùng với B, C). Gọi M là giao điểm của CI với AB. Gọi N là giao điểm của BI với AC. Chứng minh :
a) \(\widehat{ANB}=\widehat{BCI}\)
b) \(\widehat{AMC}=\widehat{CBI}\)
Câu trả lời của bạn
Bài 5.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 105)
Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB bất kì. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. E và F là hai điểm bất kì trên dây AB. Gọi C và D tương ứng là giao điểm của ME, MF với đường tròn (O)
Chứng minh:
\(\widehat{EFD}+\widehat{ECD}=180^0\)
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *