Ta đã học ở bài trước về dây cung và đường kính. Bài này chúng ta sẽ tìm hiểu mối liên hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây.
Cho AB và CD là 2 dây (khác đường kính) của đường tròn (O;R). Gọi OE, OF theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB, CD. CMR: \(OE^2+EB^2=OF^2+FD^2\)
Áp dụng định lý pi-ta-go cho 2 tam giác vuông OEB và OFD ta có:
\(OE^2+EB^2=OB^2=R^2\) và \(OF^2+FD^2=OD^2=R^2\) ta có đpcm
Trong một đường tròn:
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
Trong một đường tròn:
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính 5, dây AB=8.
a) Tính khoảng cách từ O đến AB
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1, Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. CM: CD=AB
Hướng dẫn:
a) Gọi E là hình chiếu vuông góc của O lên AB. Khoảng cách từ O đến AB chính là OE
\(OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\)
b) Gọi F là hình chiếu vuông góc của O lên CD khi đó khoảng cách từ O đến CD chính là OF
Tứ giác OFIE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật nên OF=EI=AE-AI=4-1=3
suy ra OE=OF theo định lý 1 thì AB=CD
Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm bên trong đường tròn (A không trùng O). Chứng minh rằng trong tất cả các dây đi qua A thì dây vuông góc với OA tại A là dây ngắn nhất
Hướng dẫn:
Gọi FG là dây vuông góc với OA, HE là dây bất kì của đường tròn (O) đi qua A. J là hình chiếu vuông góc của O lên HE. Khi đó ta luôn có \(OJ\leq OA\)
Theo định lý 2 thì bất kì dây HE nào thì đều lớn hơn dây FG. Do khoảng cách từ O đến FG là lớn nhất (OA)
Bài 3: Cho đường tròn tâm (O) các dây AB và CD bằng nhau. Các tia AB và CD cắt nhau tại nằm bên ngoài đường tròn. Goij H, K lần lượt là trung điểm AB và CD. CMR:
a) EH=EK
b) EA=EC
Hướng dẫn:
a) Ta có: vì H, K là trung điểm AB và CD nên OH, OK lần lượt vuông góc với AB và CD.
Xét 2 tam giác vuông OHE và OKE có: Huyền OE chung; OH=OK ( dây AB=CD) nên \(\Delta OHE=\Delta OKE(ch-cgv)\Rightarrow EH=EK\)
b) \(EA=EH+HA; EC=EK+KC\) mà EH=EK (CM trên); \(HA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=KC\Rightarrow EA=EC\)
Bài 1:
Cho đường tròn (O;R). Vẽ hai bán kính OA, OB . Trên các bán kính OA, OB lấy M,N sao cho OM=ON. Vẽ dây CD đi qua MN (M giữa C và N)
a) CM: CM=DN
b) giả sử \(\widehat{AOB}=90^{\circ}\) . Tính OM theo R sao cho CM=MN=ND
Hướng dẫn:
Xét 2 tam giác COM và DON có: OM=ON (gt); \(\widehat{OCM}=\widehat{ODN}\) (OCD cân); OC=OD; \(\widehat{OMC}=\widehat{OND}\)
nên \(\Delta COM=\Delta DON\Rightarrow DN=CM\)
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN và đặt OH=x khi đó \(OM=x.\sqrt{2}\). Vì Tam giác OMN vuông cân nên HN=OH=x suy ra \(HD=3.x\)
do tam giác OHD vuông nên: \(OH^2+HD^2=OD^2\Rightarrow x^2+9.x^2=R^2\Rightarrow x=\frac{R}{\sqrt{10}}\Rightarrow OM=\frac{R}{\sqrt{5}}\)
Bài 2: Cho (O;R) vẽ 2 dây cung AB và CD không qua tâm và vuông góc với nhau tại M. Đặt OM=d, I, K là trung điểm AB, CD
a) CM: \(AB^2+CD^2=4(2R^2-d^2)\)
b) CM: \(AC^2+BD^2=4R^2\)
Hướng dẫn:
a) Tứ giác KMIO có 3 góc vuông nên KMIO là hình chữ nhật suy ra: OK=MI
Khi đó: \(AB^2+CD^2=(2AI)^2+(2KD)^2=4(AI^2+KD^2)\)
\(=4(R^2-OI^2+R^2-OK^2)=4(2R^2-(OI^2+IM^2))=4(2R^2-d^2)\)
b) Gọi AE là đường kính của (O).Ta sẽ chứng minh tứ giác CEBD là hình thang cân
Đầu tiên: do tam giác ABE có AE là đường kính nên ABE vuông tại B hay \(EB\perp AB\Rightarrow EB\parallel CD\)
Gọi H là trung điểm EB nên \(KH\perp EB\) nên tứ giác CEBD là hình thang cân \(\Rightarrow BD=CE\)
\(AC^2+BD^2=AC^2+CE^2=AE^2=4R^2\)
3. Luyện tập Bài 3 Chương 2 Hình học 9
Qua bài giảng Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 9 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho đường tròn (O;25). Khi đó dây lớn nhất của đường tròn (O;25) có độ dài là
Cho đường tròn (O;25) và hai dây \(MN\parallel PQ\) có độ dài theo thứ tự là 40 và 48. Khi đó khoảng cách giữa MN và PQ là:
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 9 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 9 tập 1
Bài tập 12 trang 106 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 13 trang 106 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 14 trang 106 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 15 trang 106 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 16 trang 106 SGK Toán 9 Tập 1
Bài tập 24 trang 160 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 25 trang 160 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 26 trang 160 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 27 trang 160 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 28 trang 160 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 29 trang 161 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 30 trang 161 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 31 trang 161 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 32 trang 161 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 34 trang 161 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 3.1 trang 161 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 3.2 trang 161 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 3.3 trang 161 SBT Toán 9 Tập 1
Bài tập 33 trang 161 SBT Toán 9 Tập 1
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 9 DapAnHay
Cho đường tròn (O;25). Khi đó dây lớn nhất của đường tròn (O;25) có độ dài là
Cho đường tròn (O;25) và hai dây \(MN\parallel PQ\) có độ dài theo thứ tự là 40 và 48. Khi đó khoảng cách giữa MN và PQ là:
Cho đường tròn (O;R) 2 dây cung AB và CD. Biết rằng: \(\widehat{OAB}>\widehat{OCD}\) so sánh độ dài AB và CD
Cho đường tròn (O;10) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi d, d', d" lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, BC, AC. Biết rằng d>d'>d". So sánh các góc trong tam giác
Cho đường tròn (O;R) có 2 dây AB và CD. Gọi d, d' lần lượt là khoảng cách từ O tới AB và CD. Biết d>d'. Khi đó so sánh 2 góc \(\widehat{AOB},\widehat{COD}\)
Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8 cm
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD=AB.
Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) EH=EK
b) EA=EC
Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.
Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết \(AB> CD\).
Hãy so sánh các độ dài:
a) OH và OK
b) ME và MF
c) MH và MK
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.
Cho hình \(74,\) trong đó \(MN = PQ.\) Chứng minh rằng:
\(a)\) \(AE = AF\)
\(b)\) \(AN = AQ.\)
Cho hình \(75,\) trong đó hai dây \(CD, EF\) bằng nhau và vuông góc với nhau tại \(I,\) \(IC = 2cm,\) \(ID = 14cm.\) Tính khoảng cách từ \(O\) đến mỗi dây.
Cho đường tròn \((O),\) dây \(AB\) và dây \(CD,\) \(AB < CD.\) Giao điểm \(K\) của các đường thẳng \(AB,\) \(CD\) nằm ngoài đường tròn. Đường tròn \((O ; OK)\) cắt \(KA\) và \(KC\) tại \(M\) và \(N.\) Chứng minh rằng \(KM < KN.\)
Cho đường tròn \((O)\) và điểm \(I\) nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng dây \(AB\) vuông góc với \(OI\) tại \(I\) ngắn hơn mọi dây khác đi qua \(I.\)
Tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O)\) có \(\widehat A > \widehat B > \widehat C.\) Gọi \(OH, OI, OK\) theo thứ tự là khoảng cách từ \(O\) đến \(BC,\)\( AC,\)\( AB.\) So sánh các độ dài \(OH, OI, OK.\)
Cho đường tròn \((O),\) hai dây \(AB, CD\) bằng nhau và cắt nhau tại điểm \(I\) nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng:
\(a)\) \(IO\) là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây \(AB\) và \(CD.\)
\(b)\) Điểm \(I\) chia \(AB,\) \(CD\) thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.
Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(25cm.\) Hai dây \(AB, CD\) song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng \(40cm,\) \(48cm.\) Tính khoảng cách giữa hai dây ấy.
Cho đường tròn \((O),\) các bán kính \(OA\) và \(OB.\) Trên cung nhỏ \(AB\) lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(AM = BN.\) Gọi \(C\) là giao điểm của các đường thẳng \(AM\) và \(BN.\) Chứng minh rằng:
\(a)\) \(OC\) là tia phân giác của góc \(AOB.\)
\(b)\) \(OC\) vuông góc với \(AB.\)
Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(5dm,\) điểm \(M\) cách \(O\) là \(3dm.\)
\(a)\) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua điểm \(M.\)
\(b)\) Tính độ dài dây dài nhất đi qua \(M.\)
Cho đường tròn \((O)\) và hai điểm \(A, B\) nằm bên trong đường tròn và không cùng thuộc một đường kính. Dựng hai dây song song và bằng nhau sao cho điểm \(A\) nằm trên một dây, điểm \(B\) nằm trên dây còn lại.
Cho đường tròn \((O ; 25cm),\) điểm \(C\) cách \(O\) là \(7cm.\) Có bao nhiêu dây đi qua \(C\) có độ dài là một số nguyên xentimét\(?\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
A. AB
B. AC
C. BC
D. Chưa kết luận được
Câu trả lời của bạn
Tam giác ABC có góc A là góc tù nên góc A lớn hơn góc B, \(\widehat A > \widehat B;\widehat A > \widehat C\)
Mà cạnh đối diện với góc A là cạnh BC .
Áp dụng định lí: trong 1 tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn ta được:
BC > AC và BC > AB
Vậy tam giác ABC có độ dài cạnh BC là lớn nhất nên dây BC gần tâm nhất.
Chưa thể kết luận dây nào xa tâm nhất.
Chọn đáp án C.
A. AB
B. BC
C. AC
D. chưa kết luận được.
Câu trả lời của bạn
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100 nên BC =10 cm
Ta có: AB < AC < BC ( 6 cm < 8 cm < 10 cm )
Do đó, dây BC gần tâm nhất, dây AB xa tâm nhất
Chọn đáp án B.
A. AB
B. AC
C. Chưa thể kết luận được
D. Hai dây cách đều tâm
Câu trả lời của bạn
Ta có: AB > AC ( 5 cm > 3 cm) nên dây AB gần tâm hơn.
Chọn đáp án A.
A. 12,5
B. 25
C. 50
D. 20
Câu trả lời của bạn
Trong đường tròn thì đường kính là dây lớn nhất của đường tròn đó
Vậy dây lớn nhất của đường tròn là 50
Chọn đáp án C.
a, OC là tia phân giác của góc AOB.
b, OC vuông góc AB.
Câu trả lời của bạn
Xét đường tròn tâm (O) có AM=BN
Từ đó ta suy ra OE=OD (tính chất quan hệ giữa đường kính và dây cung)
Xét tam giác vuông AOD và tam giác vuông BOE có:
OA=OB(cùng bằng bán kính)
OE=OD(chứng minh trên)
=> ΔAOD = ΔBOE (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
=> ∠O1 = ∠O4 (2 góc tương ứng)(1)
Tương tự ta có: ∠O2 = ∠O3 (2)
Ta có: ∠AOC = ∠O1 + ∠O2
∠BOC = ∠O3 + ∠O4
Từ (1) và (2) ta suy ra ∠AOC= ∠BOC
Suy ra OC là tia phân giác của góc AOB.
Xét tam giác OBF và tam giác OAF có:
∠AOC = ∠BOC (chứng minh trên)
OA=OB
OF: chung
Suy ra ΔOBF = ΔOAF (c-g-c)
=> BF=AF( 2 cạnh tương ứng)
=> OC ⊥ AB
a, IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD.
b, Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.
Câu trả lời của bạn
a, Kẻ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD.
Vì CD=AB nên OK=OH.
Xét tam giác vuông IKO và tam giac vuông IOH ta có:
OK=OH
IO: chung
Suy ra Δ IKO = ΔIOH ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)
=> ∠KIO = ∠OIH ( 2 góc tương ứng)
Suy ra OI là tia phân giác của góc BID
b, Theo câu a, Δ IKO = ΔIOH ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)
=> IH=IK.
Xét đường tròn tâm (O), ta có: OK ⊥ CD nên suy ra CK=KD( định lý về đường kính và dây) (1)
Xét đường tròn tâm (O), ta có: OH ⊥ AB nên suy ra AH=HB (định lý về đường kính và dây) (2)
Từ (1) và (2) ta có: CK=AH
Mặt khác, IH=IK
Suy ra AI=CI
Vì CD=AB, mà AI=CI(chứng minh trên) nên ta suy ra ID=IB.
Câu trả lời của bạn
Kẻ OI ⊥AB, OE ⊥ CD.
Xét đường tròn (O;OA) có: AB và CD là dây cung, AB < CD. Suy ra OI > OE.
Xét đường tròn (O;OK) có KN và KM là dây cung và OI > OE. Suy ra KM < KN.
a, AE=AF
b, AN=AQ.
Câu trả lời của bạn
Vì MN=PQ nên OE=OF( theo định lý liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)
Xét tam giác vuông AOE và tam giác vuông AOF có:
OE=OF ( chứng minh trên)
AO: chung
Suy ra ΔAOE = ΔAOF ( cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra AE=AF( 2 cạnh tương ứng)(1)
Vì OE⊥MN nên ME=NE (tính chất đường kính và dây cung)
Vì OF⊥PQ nên PF=QF (tính chất đường kính và dây cung)
Mà MN=PQ
Suy ra ME=NE=PF=QF.(2)
Từ (1) và (2) suy ra AN=AQ.
A. Hai dây AB và AC cách đều tâm.
B. Dây BC gần tâm nhất.
C. Dây BC gần tâm hơn dây AC.
D. Dây AB gần tâm hơn dây BC.
Câu trả lời của bạn
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC
Suy ra: hai dây AB và AC cách đều tâm.
Ta chưa thể so sánh độ dài AB và BC; AC và BC nên ta chưa thể kết luận dây nào gần tâm hơn, dây nào xa tâm hơn hay các dây cách đều tâm.
Chọn đáp án A.
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng dây AB vuông góc với OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I ?
Câu trả lời của bạn
Bài 26 (Sách bài tập trang 160)
Cho đường tròn (O), dây AB và dây CD, AB < CD. Giao điểm K của các đường thnawgr AB, CD nằm ngoài đường tròn. Đường tròn (O; OK) cắt KA và KC tại M và N
Chứng minh rằng KM < KN
Câu trả lời của bạn
Bài 24 (Sách bài tập trang 160)
Cho hình 74 trong đó MN = PQ.
Chứng minh rằng:
a) AE = AF
b) AN = AQ
Câu trả lời của bạn
Bài 33* (Sách bài tập trang 161)
Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Cho biết AB > CD, chứng min rằng MH > MK ?
Câu trả lời của bạn
Bài 31 (Sách bài tập trang 161)
Cho đường tròn (O), các bán kính OA, OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng :
a) OC là tia phân giác của góc AOB
b) OC vuông góc với AB
Câu trả lời của bạn
Bài 30 (Sách bài tập trang 161)
Cho đường tròn tâm O bán kính 25 cm. Hai dây AB, CD song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng 40 cm, 48 cm. Tính khoảng cách giữa hai dây ấy ?
Câu trả lời của bạn
- Nếu O nằm ngoài dải song song tạo bởi AB và CD (h.104b) thì HK = OH - OK = 15 - 7=8 (cm)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *