Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm Nghiệm của đa thức một biến và các dạng toán liên quan, đi kèm là các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các dễ dàng nắm đươc nội dung phần này.
Nếu tại x=a đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức đó.
Nhận xét:
Kiểm tra xem mỗi số 1; 2; -1 có phải là 1 nghiệm của đa thức \(f(x) = {x^2} - 3x + 2\) hay không?
Ta có đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\)
* Tại x=1 thì \(f\left( 1 \right) = {1^2} - 3.1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\) nên x=1 là một nghiệm của đa thức f(x).
* Tại x=2 thì \(f\left( 2 \right) = {2^2} - 3.2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0\) nên x=2 là một nghiệm của đa thức f(x).
* Tại x=-1 thì \(f\left( { - 1} \right) = {( - 1)^2} - 3.( - 1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 \ne 0\) nên x=-1 không là nghiệm của đa thức f(x).
Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm.
a. \(P(x) = {x^2} + 1\)
b.\(Q(x) = (2{y^4} + 5)\)
a. Vì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 1 \ge 1\). Do đó:
\(P(x) = {x^2} + 1 > 0\) nên đa thức P(x) không có nghiệm.
b. Vì\({y^4} \ge 0\)nên \(2{y^4} + 5 \ge 5.\). Do đó:
\(Q(x) = 2{y^4} + 5 > 0\) nên đa thức Q(x) không có nghiệm.
a. Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \(f(x) = {a^2} + bx + c\) có một nghiệm là x=1.
Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \(f(x) = 8{x^2} - 6x - 2.\)
b. Giả sử a, b, c là những hằng số, sao cho a - b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) có một nghiệm là x=-1.
Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức \(f(x) = 7{x^2} + 11x + 4.\)
a. Ta có: \(f(1) = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c = 0\)
Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)
Ta có 8+(-6)+(-2)=0, nên: \(f(x) = 8{x^2} - 6x - 2\) có một nghiệm x = 1.
b. Ta có: \(f( - 1) = a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c = a - b + c = 0\)
Vậy x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x).
Ta thấy \(7 - (11) + 4 = 0,\) nên:
\(f\left( x \right) = 7{x^2} + 11x + 4\) có một nghiệm x = -1.
Tìm nghiệm của đa thức:
a. \({x^2} - 2003x - 2004 = 0\).
b. \(2005{x^2} - 2004x - 1 = 0\).
a. Đa thức \({x^2} - 2003x - 2004\) có các hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004 và vì
a – b + c = 1 – (-2003) + (-2004)
=1 + 2003 – 2004 = 0
Nên đa thức \({x^2} - 2003x - 2004 = 0\) có một nghiệm là x = -1
b. Ta có a = 2005, b = -2004, c = -1
nên a + b + c = 2005 + (-2004) + (-1)
=2005 – 2005 = 0
Vậy đa thức \(2005{x^2} - 2004x - 1 = 0\) có một nghiệm là x = 1.
Cho đa thức \(f(x) = {x^3} + 2{x^2} + {\rm{ ax}} + 1.\)
Tìm a biết rằng đa thức f(x) có một nghiệm x = -2.
Đa thức f(x) có một nghiệm x = -2 nên f(-2) = 0.
Hay: \(\begin{array}{l}{( - 2)^3} + 2.{( - 2)^2} + a.( - 2) + 1 = 0\\ = - 8 + 8 - 2a + 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\end{array}\)
Vậy \( \Rightarrow a = \frac{1}{2}\) thì f(x) có nghiệm x = -2.
Cho đa thức \(f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}.\) Trong đó các hệ số \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) và số hạng độc lập \({a_0}\) nhận các giá trị là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu f(x) có một nghiệm \(x = {x_0}\) nhận giá trị nguyên thì \({x_0}\) phải là một ước của \({a_0}\).
Giả sử \(x = {x_0}\) là một nghiệm nguyên của f(x)
Ta có: \(f({x_0}) = {a_n}x_0^n + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0} = 0\)
Trong đẳng thức này, các số hạng của tổng là \({a_n}x_0^n,{a_{n - 1}}{x^{n - 1}},...,{a_1}\)đều chia hết cho \({a_0}\). Vậy \({a_0}\) cũng phải chia hết cho \({x_0}\) hay \({x_0}\) phải là một ước của \({a_0}\).
Qua bài giảng Nghiệm của đa thức một biến này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Bài 9 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Cho đa thức f(x)=2x2 + 12x + 10. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đa cho
Cho các giá trị của x là 0; -1; 1; 2; -2. Giá trị nào của x là nghiệm của đa thức P(x)=x2+x-2
Tập nghiệm của đa thức f(x) = (x+14)(x-4) là
Câu 3-8: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 7 Bài 9để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 54 trang 48 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 55 trang 48 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 56 trang 48 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 43 trang 26 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 44 trang 26 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 45 trang 26 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 46 trang 26 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 47 trang 27 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 48 trang 27 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 49 trang 27 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 50 trang 27 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 9.1 trang 27 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 9.2 trang 27 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Cho đa thức f(x)=2x2 + 12x + 10. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đa cho
Cho các giá trị của x là 0; -1; 1; 2; -2. Giá trị nào của x là nghiệm của đa thức P(x)=x2+x-2
Tập nghiệm của đa thức f(x) = (x+14)(x-4) là
Cho đa thức sau f(x) = x2 + 5x - 6. Các nghiệm của đa thức đã cho là:
Tổng các nghiệm của đa thức x2 - 16 là
Số nghiệm của đa thức x3 + 27 là
Tích các nghiệm của đa thức 5x2 - 10x là
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx +c. Chọn câu đúng?
Kiển tra xem:
a) \(x = \frac{1}{{10}}\) có phải là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right) = 5{\rm{x}} + \frac{1}{2}\) không
b) Mỗi số x=1; x=3 có phải là nghiệm của đa thức \(Q\left( x \right) = {x^2} - 4{\rm{x}} + 3\) không
a) Tìm nghiệm của đa thức P(y)=3y+6
b) Chứng tỏ rằng đa thức sau không có nghiệm: \(Q(y)=y^4+2\)
Đố: Bạn Hùng nói: "Ta chỉ có thể viết được một đa thức một biến có một nghiệm bằng 1"
Bạn Sơn nói: "Có thể viết được nhiều đa thức một biến có một nghiệm bằng 1"
Ý kiến của em?
Cho đa thức \(f(x) = {x^2} - 4{\rm{x}} - 5\). Chứng tỏ rằng \(x = -1; x =5\) là hai nghiệm của đa thức đó.
Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) \(\displaystyle {\rm{}}2{\rm{x}} + 10\)
b) \(\displaystyle 3{\rm{x}} - {1 \over 2}\)
c) \(\displaystyle {x^2} - x\)
Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) \((x - 2)(x + 2)\)
b) \((x - 1)({x^2} + 1)\)
Chứng tỏ rằng nếu \(a + b + c = 0\) thì \(x = 1\) là một nghiệm của đa thức \(a{x^2} + bx + c\).
Chứng tỏ rằng nếu \(a – b + c = 0\) thì \(x = -1\) là một nghiệm của đa thức \(a{x^2} + bx + c\).
Tìm một nghiệm của đa thức \(f (x)\) biết:
a) \(f(x) = {x^2} - 5{\rm{x}} + 4\)
b) \(f(x) = 2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} + 1\)
Chứng tỏ rằng đa thức \(f(x) = {{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 2\) không có nghiệm.
Đố em tìm được số mà:
a) Bình phương của nó bằng chính nó.
b) Lập phương trình của nó bằng chính nó.
Chứng tỏ rằng \(\displaystyle x = 0;x = - {1 \over 2}\) là các nghiệm của đa thức \(\displaystyle 5{\rm{x}} + 10{{\rm{x}}^2}\).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) Đa thức \(5x^5\) không có nghiệm;
(B) Đa thức \(x^2-2\) không có nghiệm;
(C) Đa thức \(x^2+2\) có nghiệm \(x = -1;\)
(D) Đa thức \(x\) có nghiệm \(x = 0\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hãy rút gọn biểu thức sau rồi tìm bậc: \( - 0,75{x^2}{y^3} + 5{x^2}{y^3} - \dfrac{1}{4}{x^2}{y^3};\)
Câu trả lời của bạn
\( - 0,75{x^2}{y^3} + 5{x^2}{y^3} - \dfrac{1}{4}{x^2}{y^3}\) \( = \left( { - 0,75 + 5 - \dfrac{1}{4}} \right){x^2}{y^3} = 4{x^2}{y^3}.\)
Đa thức có bậc là \(5\).
Tính giá trị của biểu thức: \(A = \dfrac{{2{x^3} + 3xy + 2{y^3}}}{{2x + y}}\) với \(x = 1;y = 1;\)
Câu trả lời của bạn
Với \(x = 1;y = 1\) thì \(A = \dfrac{{{{2.1}^3} + 3.1.1 + {{2.1}^3}}}{{2.1 + 1}} = \dfrac{7}{3}\)
Tính giá trị của biểu thức sau: \(B = \dfrac{{3x - 2y}}{{3x + 2y}}\) với \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{2} \cdot \).
Câu trả lời của bạn
Với \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = 2x\)
Thay \(y = 2x\) vào đa thức ta được \(B = \dfrac{{3x - 2.\left( {2x} \right)}}{{3x + 2.\left( {2x} \right)}} = \dfrac{{3x - 4x}}{{3x + 4x}} \)\(\,= \dfrac{{ - x}}{{7x}}= - \dfrac{1}{7}\) \((x \ne 0)\)
Thu gọn: \(A\left( x \right) = - 4{x^5} - {x^4} - 5{x^3} + 2{x^4} - 5x\)\( + 4{x^5} + 2{x^2} - \dfrac{1}{2};\)
Câu trả lời của bạn
\(A\left( x \right) = - 4{x^5} - {x^4} - 5{x^3} + 2{x^4} - 5x\)\( + 4{x^5} + 2{x^2} - \dfrac{1}{2}\)
\( = \left( { - 4{x^5} + 4{x^5}} \right) + \left( { - {x^4} + 2{x^4}} \right) - 5{x^3}\)\( + 2{x^2} - \dfrac{1}{2}\)
\(={x^4} - 5{x^3} + 2{x^2} - \dfrac{1}{2}\)
Thu gọn: \(B\left( x \right) = 6{x^3} + 3{x^4} - 4{x^2} - 4{x^4} + 2{x^2}\)\( + \dfrac{1}{2} \cdot \)
Câu trả lời của bạn
\(B\left( x \right) = 6{x^3} + 3{x^4} - 4{x^2} - 4{x^4} + 2{x^2}\)\( + \dfrac{1}{2}\)
\( = \left( {3{x^4} - 4{x^4}} \right) + 6{x^3} + \left( { - 4{x^2} + 2{x^2}} \right)\)\( + \dfrac{1}{2}\)
\( = - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + \dfrac{1}{2}\)
Hãy tìm đa thức \(M(x) = A(x) + B(x)\). Biết A = \({x^4} - 5{x^3} + 2{x^2} - \dfrac{1}{2}\); B = \(- {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + \dfrac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
\(M\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right) = \) \({x^4} - 5{x^3} + 2{x^2} - \dfrac{1}{2}\)\( + \left( { - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + \dfrac{1}{2}} \right)\)
\( = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + \left( { - 5{x^3} + 6{x^3}} \right) \)\(\,+ \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( {\dfrac{{ - 1}}{2} + \dfrac{1}{2}} \right)\)
\( = {x^3}.\)
Hãy tìm đa thức sau \(N(x) = A(x) – B(x)\). Biết A = \({x^4} - 5{x^3} + 2{x^2} - \dfrac{1}{2}\); B = \(- {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + \dfrac{1}{2}\)
Câu trả lời của bạn
\(N\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right) = {x^4} - 5{x^3}\)\( + 2{x^2} - \dfrac{1}{2}\)\( - \left( { - {x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} + \dfrac{1}{2}} \right)\)
\(={x^4} - 5{x^3} + 2{x^2} - \dfrac{1}{2} + {x^4} - 6{x^3}\)\(\, + 2{x^2} - \dfrac{1}{2}\)
\( = ({x^4} + {x^4}) + \left( { - 5{x^3} - 6{x^3}} \right) \)\(+ \left( {2{x^2} + 2{x^2}} \right) + \left( { - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}} \right)\)
\( = 2{x^4} - 11{x^3} + 4{x^2} - 1\)
Tìm nghiệm đa thức \({x^3} + 5x\)
Câu trả lời của bạn
Nghiệm của đa thức đó là :
\({x^3} + 5x = 0 \Rightarrow x({x^2} + 5) = 0 \)\(\,\Rightarrow x = 0\)
(Vì \({x^2} \ge 0 \Rightarrow {x^2} + 5 > 0\))
Vậy đa thức có duy nhất một nghiệm \(x = 0\).
Hãy tìm nghiệm của đa thức sau: \(3{x^2} - 6x = 0;\)
Câu trả lời của bạn
\(3{x^2} - 6x = 0 \)
\(\Rightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0\)
\( \Rightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Vậy đa thức có hai nghiệm là \(x=0\) hoặc \(x =2\).
Hãy tính: \(\)\( - \frac{{12}}{5}:\left( { - 6} \right)\).
Câu trả lời của bạn
\( - \frac{{12}}{5}:\left( { - 6} \right)\)=\( - \frac{{12}}{5}.\left( {\frac{1}{{ - 6}}} \right) = \frac{2}{5}\)
Hãy tìm nghiệm của đa thức sau: \(4{x^2} - 3x - 1 = 0.\)
Câu trả lời của bạn
\(4{x^2} - 3x - 1 = 0.\)
\(\begin{array}{l}
4{x^2} - 4x + x - 1 = 0\\
4x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0\\
\left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0
\end{array}\)
\(\Rightarrow x - 1 = 0\) hoặc \(4x + 1 = 0\)
\(\Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = \dfrac{{ - 1}}{4}\)
Vậy đa thức có hai nghiệm là \(x = 1\); \(x = - \dfrac{1}{4}\).
Hãy tính: \(\left[ {8.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} + {3^3}} \right]\).\(\frac{1}{9}\)
Câu trả lời của bạn
\(\left[ {8.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} + {3^3}} \right]\).\(\frac{1}{9}\) = \(\left( {8.\frac{1}{8} + 27} \right).\frac{1}{9}\)
=\(\left( {1 + 27} \right).\frac{1}{9} = \frac{{28}}{9}\)
Tìm x: \(\frac{5}{2}x - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
Câu trả lời của bạn
\(\frac{5}{2}x - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\) \( \Rightarrow \frac{5}{2}x = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}\)
\(\frac{5}{2}x = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{3}:\frac{5}{2} = \frac{2}{3}\)
Vậy \(x = \frac{2}{3}\)
Tìm x: \(\left| {2x + 0,5} \right| = 8,5\)
Câu trả lời của bạn
\(\left| {2x + 0,5} \right| = 8,5\)
\( \Rightarrow 2x + 0,5 = 8,5\) hoặc \(2x + 0,5 = - 8,5\)
\( \Rightarrow 2x = 8\) hoặc \(2x = - 9\)
\( \Rightarrow x = 4\) hoặc \(x = \frac{{ - 9}}{2}\)
Vậy \(x = 4\) hoặc \(x = \frac{{ - 9}}{2}\).
Một hộp đựng ba loại bi màu khác nhau. Có số lượng loại bi màu xanh, bi màu vàng và bi màu đỏ tỉ lệ với các số 5, 7, 9. Tính số bi mỗi loại, biết số bi màu xanh ít hơn số bi màu vàng 4 viên.
Câu trả lời của bạn
Gọi số bi màu xanh, vàng, đỏ lần lượt là x, y, z \(\left( {x,y,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) (viên)
\( \Rightarrow \)\(\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{9}\) và \(y - x = 4\)
Từ đó \(\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{9} = \frac{{y - x}}{{7 - 5}} = \frac{4}{2} = 2\)
tìm được \(x = 2.5= 10;y = 2.7= 14;z = 2.9= 18.\)
KL: Vậy số bi màu xanh, vàng, đỏ lần lượt là 10 viên, 14 viên, 18 viên
Tìm hai giá trị x, y biết: \({\left( {\frac{1}{3} - 2x} \right)^{102}} + {\left( {3y - x} \right)^{104}} = 0\)
Câu trả lời của bạn
Vì \({\left( {\frac{1}{3} - 2x} \right)^{102}} \ge 0\) với \(\forall x\); \({\left( {3y - x} \right)^{104}} \ge 0\) với \(\forall x,y\).
\( \Rightarrow \)\({\left( {\frac{1}{3} - 2x} \right)^{102}} + {\left( {3y - x} \right)^{104}} = 0\) \(\Leftrightarrow \) \({\left( {\frac{1}{3} - 2x} \right)^{102}} = 0\) và \({\left( {3y - x} \right)^{104}} = 0\)
\(\Leftrightarrow \) \(\frac{1}{3} - 2x = 0\) và \(3y - x = 0\)
\(\Leftrightarrow \) \(x = \frac{1}{6};y = \frac{1}{{18}}\).
Vậy \(x = \frac{1}{6};y = \frac{1}{{18}}\)
Tính bằng cách hợp lí (nếu có thể): \(\frac{{35}}{{17}} - \frac{{84}}{{32}} - \frac{{18}}{{17}} + \frac{{26}}{{16}}\)
Câu trả lời của bạn
\(\frac{{35}}{{17}} - \frac{{84}}{{32}} - \frac{{18}}{{17}} + \frac{{26}}{{16}}\) = \(\left( {} \right.\frac{{35}}{{17}} - \frac{{18}}{{17}}\left. {} \right) - \left( {} \right.\frac{{84}}{{32}} - \frac{{26}}{{16}}\left. {} \right) = 1 - 1 = 0\)
Tính bằng cách hợp lí (nếu có thể): \(\sqrt {{3^2} + {4^2}} - \left( {\sqrt {{3^2}} + \sqrt {{4^2}} } \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(\sqrt {{3^2} + {4^2}} - \left( {} \right.\sqrt {{3^2}} + \sqrt {{4^2}\left. {} \right)} \)= \(\sqrt {25} - \left( 3 \right. + \left. 4 \right) = 5 - 7 = - 2\)
Tìm x biết rằng \(\left| {x + \frac{3}{4}} \right| = \frac{5}{7}\)
Câu trả lời của bạn
\(\left| {x + \frac{3}{4}} \right| = \frac{5}{7}\)
\(\begin{array}{l}\left[ {_{x + \frac{3}{4} = - \frac{5}{7}}^{x + \frac{3}{4} = \frac{5}{7}} \Rightarrow \left[ {_{x = - 1\frac{{13}}{{28}}}^{x = - \frac{1}{{28}}}} \right.} \right.\\\end{array}\)
Tìm x biết rằng \( - \frac{5}{7} - x = - \frac{9}{{10}}\)
Câu trả lời của bạn
\( - \frac{5}{7} - x = - \frac{9}{{10}}\)
\(x = - \frac{5}{7} - ( - \frac{9}{{10}})\)
\(\begin{array}{l}x = - \frac{{50}}{{70}} + \frac{{63}}{{70}}\\x = \frac{{13}}{{70}}\end{array}\)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *