Nội dung bài ôn tập chương Tổ hợp - Xác suất sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 2 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.
a) Định nghĩa: Xét một công việc \(H\).
Giả sử \(H\) có \(k\) phương án \({H_1},{H_2},...,{H_k}\) thực hiện công việc \(H\). Nếu có \({m_1}\)cách thực hiện phương án \({H_1}\), có \({m_2}\) cách thực hiện phương án \({H_2}\),.., có \({m_k}\)cách thực hiện phương án \({H_k}\) và mỗi cách thực hiện phương án \({H_i}\) không trùng với bất kì cách thực hiện phương án \({H_j}\) (\(i \ne j;i,j \in \left\{ {1,2,...,k} \right\}\)) thì có \({m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\) cách thực hiện công việc \(H\).
b) Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) đôi một rời nhau. Khi đó:
\(\left| {{A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right| + \left| {{A_2}} \right| + ... + \left| {{A_n}} \right|\)
a) Định nghĩa: Giả sử một công việc \(H\) bao gồm \(k\) công đoạn \({H_1},{H_2},...,{H_k}\). Công đoạn \({H_1}\) có \({m_1}\) cách thực hiện, công đoạn\({H_2}\) có \({m_2}\) cách thực hiện,…, công đoạn \({H_k}\) có \({m_k}\) cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo \({m_1}.{m_2}...{m_k}\) cách.
b) Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) đôi một rời nhau. Khi đó:
\(\left| {{A_1} \cap {A_2} \cap ... \cap {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right|.\left| {{A_2}} \right|.....\left| {{A_n}} \right|\).
Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)
\( = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau
* Gồm có \(n + 1\) số hạng
* Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
* Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
* Các hệ số có tính đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n - k}\)
* Số hạng tổng quát : \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)
VD: Số hạng thứ nhất \({T_1} = {T_{0 + 1}} = C_n^0{a^n}\), số hạng thứ k: \({T_{(k - 1) + 1}} = C_n^{k - 1}{a^{n - k + 1}}{b^{k - 1}}\)
a) Định nghĩa: Cho tập \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Khi sắp xếp \(n\) phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A.
Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là \({P_n}\).
b) Số hoán vị của tập n phần tử:
Định lí: Ta có \({P_n} = n!\)
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Khi lấy \(k\) phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của A.
b) Số chỉnh hợp
Kí hiệu \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử
Định lí: Ta có \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 £ k £ n) được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu\(C_n^k:\) \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)
Nhận xét :
i/ Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt .
ii/ Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chổ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì không.
a) Định nghĩa cổ điển của xác suất:
Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu \(\Omega \) là một tập hữu hạn. Giả sử A là một biến cố được mô ta bằng \({\Omega _A} \subset \Omega \). Xác suất của biến cố A, kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức
\(P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \)\(\frac{{{\rm{So ket qua thuan loi cho A}}}}{{{\rm{So ket qua co the xay ra}}}}\).
Chú ý: \( \bullet \) Xác suất của biến cố A chỉ phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi cho A, nên ta đồng nhất \({\Omega _A}\) với A nên ta có : \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)
\( \bullet \) \(P(\Omega ) = 1,{\rm{ }}P(\emptyset ) = 0,{\rm{ }}0 \le P(A) \le 1\)
b) Định nghĩa thống kê của xác suất
Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó. Nếu tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A
Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:
\(P(A) = \)\(\frac{{{\rm{So lan xuat hien cua bien co A}}}}{N}\).
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
\( \bullet \) Mở rộng quy tắc cộng xác suất
Cho \(k\) biến cố \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) đôi một xung khắc. Khi đó:
\(P({A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_k}) = P({A_1}) + P({A_2}) + ... + P({A_k})\).
\( \bullet \) \(P(\overline A ) = 1 - P(A)\)
\( \bullet \) Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: \(P(A \cup B) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
\( \bullet \) Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.
\( \bullet \) Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Tổ hợp và Xác suất là khái niệm mà các em đã bước đầu được tìm hiểu ở chương trình THCS. Đến với Đại số và Giải tích 11, các em sẽ được tìm hiểu chi tiết và sâu hơn. Bài học Quy tắc đếm với Quy tắc cộng và Quy tắc nhân sẽ mở đầu cho chương này.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương IIđể kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Với các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số 2, 3 không đứng cạnh nhau?
Cho A={a;b;c}. Số hoán vị của ba phần tử của A là:
Số hoán vị của n phần tử là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương II sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 76 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 76 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 76 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 76 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 76 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 76 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 9 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 10 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 11 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 12 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 13 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 14 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 15 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2.57 trang 86 SBT Toán 11
Bài tập 2.58 trang 86 SBT Toán 11
Bài tập 2.59 trang 86 SBT Toán 11
Bài tập 2.60 trang 86 SBT Toán 11
Bài tập 2.61 trang 87 SBT Toán 11
Bài tập 2.62 trang 87 SBT Toán 11
Bài tập 2.63 trang 87 SBT Toán 11
Bài tập 2.64 trang 87 SBT Toán 11
Bài tập 2.65 trang 87 SBT Toán 11
Bài tập 2.66 trang 87 SBT Toán 11
Bài tập 43 trang 90 SGK Toán 11 NC
Bài tập 44 trang 90 SGK Toán 11 NC
Bài tập 45 trang 90 SGK Toán 11 NC
Bài tập 46 trang 90 SGK Toán 11 NC
Bài tập 47 trang 91 SGK Toán 11 NC
Bài tập 48 trang 91 SGK Toán 11 NC
Bài tập 49 trang 91 SGK Toán 11 NC
Bài tập 50 trang 92 SGK Toán 11 NC
Bài tập 51 trang 92 SGK Toán 11 NC
Bài tập 52 trang 92 SGK Toán 11 NC
Bài tập 53 trang 93 SGK Toán 11 NC
Bài tập 54 trang 93 SGK Toán 11 NC
Bài tập 55 trang 93 SGK Toán 11 NC
Bài tập 56 trang 93 SGK Toán 11 NC
Bài tập 57 trang 93 SGK Toán 11 NC
Bài tập 58 trang 93 SGK Toán 11 NC
Bài tập 59 trang 94 SGK Toán 11 NC
Bài tập 60 trang 94 SGK Toán 11 NC
Bài tập 61 trang 94 SGK Toán 11 NC
Bài tập 62 trang 94 SGK Toán 11 NC
Bài tập 63 trang 94 SGK Toán 11 NC
Bài tập 64 trang 94 SGK Toán 11 NC
Bài tập 65 trang 94 SGK Toán 11 NC
Bài tập 66 trang 94 SGK Toán 11 NC
Bài tập 67 trang 94 SGK Toán 11 NC
Bài tập 68 trang 95 SGK Toán 11 NC
Bài tập 69 trang 95 SGK Toán 11 NC
Bài tập 70 trang 95 SGK Toán 11 NC
Bài tập 71 trang 95 SGK Toán 11 NC
Bài tập 72 trang 95 SGK Toán 11 NC
Bài tập 73 trang 95 SGK Toán 11 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 DapAnHay
Với các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số 2, 3 không đứng cạnh nhau?
Cho A={a;b;c}. Số hoán vị của ba phần tử của A là:
Số hoán vị của n phần tử là:
Cho tập hợp A={1;5;6;7} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau và các chữ số lấy ở tập A.
Từ các điểm A, B, C, D, E không thẳng hàng, ta có thể lập được bao nhiêu tam giác?
Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn A, B, C, D vào bốn chiếc ghế được xếp thành hàng ngang?
Lớp 11D có 48 học sinh giáo viên chọn 3 học sinh làm lớp trưởng, lớp phó, bí thư. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử với \(1 \le k \le n\) là:
Một liên đoàn bóng rổ có 10 đội, mỗi đội đấu với mỗi đội khác hai lần, một lần ở sân nhà và một lần ở sân khách. Số trận đấu được sắp xếp là:
Một hộp đựng 10 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách lấy 4 viên bi bất kì?
Phát biểu quy tắc cộng, cho ví dụ áp dụng.
Phát biểu quy tắc nhân, cho ví dụ áp dụng.
Phân biệt sự khác nhau giữa một chỉnh hợp chập k của n phần tử và một tổ hợp chập k của n phần tử.
Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho:
a) Các chữ số có thể giống nhau
b) Các chữ số khác nhau.
Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau
b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau
Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho:
a) Bốn quả lấy ra cùng màu
b) Có ít nhất một quả màu trắng
Gieo một con súc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần.
Cho một lúc giác đề ABCDEF. Viết các chữ cái ABCDEF vào 6 cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là:
a) Các cạnh của lục giác
b) Đường chéo của lục giác
c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác.
Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:
a) Hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn
b) Tích các số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ.
Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con. Số cách lấy là:
A. 104 B. 1326 C. 450 D. 24
Năm người được xếp ngồi vào quanh một bàn tròn với năm ghế. Số cách xếp là:
A. 50 B. 100 C. 120 D. 24
Gieo một con xúc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là:
A. \(\frac{12}{36}\) B. \(\frac{11}{36}\) C. \(\frac{6}{36}\) D. \(\frac{8}{36}\)
Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là:
A. \(\frac{9}{30}\) B.\(\frac{12}{30}\) C.\(\frac{10}{30}\) D. \(\frac{6}{30}\)
Gieo ba con xúc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con như nhau là:
A. \(\frac{12}{216}\) B. \(\frac{1}{216}\) C. \(\frac{6}{216}\) D. \(\frac{3}{216}\)
Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là:
A. \(\frac{4}{16}\) B. \(\frac{2}{16}\) C. \(\frac{1}{16}\) D. \(\frac{6}{16}\)
Xếp ngẫu nhiên ba người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi trên 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Tính xác suất sao cho
a) Đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà;
b) Đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông.
Có bao nhiêu cách xếp 7 người vào hai dãy ghế sao cho dãy ghế đầu có 4 người và dãy sau có 3 người?
Tính xác suất sao cho trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép.
Giả sử A và B là hai biến cố \(\frac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = a\). Chứng minh rằng
a) \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 - a\) ;
b) \(\frac{1}{2} \le a \le 1\).
Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho
a) Cả hai quả đều đỏ;
b) Hai quả cùng màu;
c) Hai quả khác màu.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng (các viên bi có kích thước giống nhau, chỉ khác nhau về màu). Người ta chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để 4 viên bi chọn ra không có đủ cả ba màu.
Câu trả lời của bạn
sai rồi kìa -.- bảo là không có đủ cả 3 màu cơ mà
Số cách chọn 4 viên vi cùng 1 màu:C44+C45+C46=21 cách
Số cách chọn 4 viên vi có 2 màu:
- Đỏ, trắng: C49−C44−C45=120 cách
-đỏ, vàng: C410-C44-C46=194 cách
- Trắng, vàng: C411−C45−C46=310 cách
Vậy số cách lấy ra 4 viên bi không có đủ 3 màu là:
21+120+194+310=64521+120+194+310=645 cách.
Gọi T là phép thử: Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp
=> Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega )=C^{4}_{15}=1365\)
Gọi A là biến cố: "4 viên bi chọn ra không có đủ cả ba màu"
Khi đó biến cố \(\overline{A}\) là: "4 viên bi chọn ra có đủ cả ba màu"
TH1: 4 viên bi được chọn có 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi vàng
=> Số cách chọn là \(C^{2}_{4}.C^{1}_{5}.C^{1}_{6}\)
TH2: 4 viên bi được chọn có 1 bi đỏ, 2 bi trắng và 1 bi vàng
=> Số cách chọn là \(C^{1}_{4}.C^{2}_{5}.C^{1}_{6}\)
TH3: 4 viên bi được chọn có 1 bi đỏ, 1 bi trắng và 2 bi vàng
=> Số cách chọn là \(C^{1}_{4}.C^{1}_{5}.C^{2}_{6}\)
\(\Rightarrow n(\overline{A})=C^{2}_{4}.C^{1}_{5}.C^{1}_{6}+C^{1}_{4}.C^{2}_{5}.C^{1}_{6}+C^{1}_{4}.C^{1}_{5}.C^{2}_{6}=720\)
Do đó: \(P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{720}{1365}=\frac{48}{91}\Rightarrow P(A)=1-P(\overline{A})=\frac{43}{91}\).
Tìm số nguyên dương thỏa mãn: \(C^{1}_{n}+3C^{2}_{n}+7C^{3}_{n}+...+(2^{n}-1)C^{n}_{n}=3^{2n}-2^{n}-6480\)
Câu trả lời của bạn
Xét \((1+x)^{n}=C^{0}_{n}+C^{1}_{n}x+C^{2}_{n}x^{2}+...+C^{n}_{n}x^{n}\)
Với x = 2 ta có: \((3)^{n}=C^{0}_{n}+C^{1}_{n}2+C^{2}_{n}2^{2}+...+C^{n}_{n}2^{n}\; \; (1)\)
Với x = 1 ta có: \((2)^{n}=C^{0}_{n}+C^{1}_{n}+C^{2}_{n}+...+C^{n}_{n}\; \; (2)\)
Lấy (1) - (2) được: \(C^{1}_{n}+3C^{2}_{n}+7C^{3}_{n}...+(2^{n}-1)C^{n}_{n}=3^{n}-2^{n}\)
PT \(\Leftrightarrow 3^{n}-2^{n}=3^{2n}-2^{n}-6480\Leftrightarrow 3^{2n}-3^{n}-6480=0\Leftrightarrow 3^{n}=81\Leftrightarrow n=4\)
Một đoàn tàu có 8 toa ở một sân ga. Có 8 hành khác từ sân ga lên tàu , mỗi người độc lập với nhau chọn một cách ngẫu nhiên lên một toa. Tính xác suất để mỗi toa có đúng một khách lên tàu.
Câu trả lời của bạn
Gọi A là biến cố: “mỗi toa có đúng một khác lên tàu”.
Ta có \(\left | \Omega \right |=8^8, \left | A \right |=8!\)
Vậy \(P(A)=\frac{\left | A \right |}{\left | \Omega \right |}=\frac{8!}{8^8}=\frac{315}{131072}\)
Cho đa giác đều có 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác, tính xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác đều.
Câu trả lời của bạn
Số cách chọn 3 đỉnh bất kì \(C_{12}^{3}=220\)
Để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác đều thì các đỉnh đó phải nằm ở các vị trí cách đều nhau, nên số cách chọn ra được một tam giác đều là \(\frac{12}{3}=4\)
Vậy xác suất cần tính \(P=\frac{4}{220}=\frac{1}{55}\)
Đội dự tuyển học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn toán của một trường phổ thông có 4 học sinh nam khối 12, 2 học sinh nữ khối 12 và 2 học sinh nam khối 11. Để thành lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính cầm tay môn toán cấp tỉnh nhà trường cần chọn 5 em từ 8 em học sinh trên. Tính xác suất để trong 5 em được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ, có cả học sinh khối 11 và học sinh khối 12.
Câu trả lời của bạn
- Số cách chọn 5 em học sinh từ 8 học sinh trên là \(C_{8}^{5} =\) 56 cách
Để chọn 5 em thỏa mãn bài ra, ta xét các trường hợp sau
+) 1 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 3 nam khối 12 có: \(C_{2}^{1} C_{2}^{1} C_{4}^{3}\) cách
+) 1 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: \(C_{2}^{1} C_{2}^{2} C_{4}^{2}\) cách
+) 2 nam khối 11, 1 nữ khối 12 và 2 nam khối 12 có: \(C_{2}^{2} C_{2}^{1} C_{4}^{2}\) cách
+) 2 nam khối 11, 2 nữ khối 12 và 1 nam khối 12 có: \(C_{2}^{2} C_{2}^{2} C_{4}^{1}\) cách
Số cách chọn 5 em thỏa mãn bài ra là:
\(C_{2}^{1} C_{2}^{1} C_{4}^{3}\) \(+\) \(C_{2}^{1} C_{2}^{2} C_{4}^{2}\) \(+\) \(C_{2}^{2} C_{2}^{1} C_{4}^{2}\) \(+\) \(C_{2}^{2} C_{2}^{2} C_{4}^{1}\) \(=\) 44 cách
- Vậy xác suất cần tính là: \(\frac{44}{56} = \frac{11}{14}\)
Trong đợt thi học sinh giỏi của tỉnh Nam Định trường THPT Xuân Trường môn Toán có 5 em đạt giải trong đó có 4 nam và 1 nữ, môn Văn có 5 em đạt giải trong đó có 1 nam và 4 nữ, môn Hóa học có 5 em đạt giải trong đó có 2 nam và 3 nữ, môn Vật lí có 5 em đạt giải trong đó có 3 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mỗi môn một em học sinh để đi dự đại hội thi đua? Tính xác suất để có cả học sinh nam và nữ để đi dự đại hội?
Câu trả lời của bạn
Có tất cả 5.5.5.5 = 625 cách \(\Rightarrow n(\Omega )=625\)
Gọi A là biến cố “có cả HS nam và nữ đi dự đại hội”
\(\Rightarrow \overline{A}\) là biến cố “Cả bốn HS nam hoặc cả 4 HS nữ đi dự ĐH”
\(\Rightarrow n(\overline{A})=4.1.2.3+1.4.3.2=48\Rightarrow P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{48}{625}\)
Vậy \(P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{48}{625}=\frac{577}{625}\)
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Gọi M là tập hợp các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lấy ra từ tập M một số bất kỳ. Tính xác suất để lấy được số có tổng các chữ số là số lẻ ?
Câu trả lời của bạn
Giải giúp mình bài này với : Có 20 tấm thẻ được đánh dấu từ 1-->20. Lấy ngẫu nhiên 4 thẻ sao cho tổng các số ghi trên 4 tấm thẻ là một số lẻ
Gọi A là biến cố " Số chọn được là số có 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số là một số lẻ".
Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ 7 chữ số đã cho là \(A_{7}^{4}=840\) (số), suy ra \(\left | \Omega \right |=840\)
Gọi số 4 chữ số đôi một khác nhau và tổng các chữ số là một số lẻ có dạng \(\overline{abcd}\). Do tổng a + b + c + d là số lẻ nên số chữ số lẻ là lẻ
Trường hợp 1: có 1 chữ số lẻ, 3 chữ số chẵn: có \(C_{4}^{1}.C_{3}^{3}=4\) bộ số
Trường hợp 2: có 3 chữ số lẻ, 1 chữ số chẵn: có \(C_{4}^{3}.C_{3}^{1}=12\) bộ số
Từ mỗi bộ số trên ta lập được \(P_4=24\) số
Tất cả có 16.24=384 số, suy ra \(\left | \Omega _A \right |=384\)
Vậy \(P(A)=\frac{\left | \Omega _A \right |}{\left | \Omega \right |}=\frac{384}{840}=\frac{48}{105}\)
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Trong kỳ thi THPT Quốc gia có 4 môn thi trắc nghiệm và 4 môn thi tự luận. Một giáo viên được bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi 5 môn. Tính xác suất để giáo viên đó phụ trách coi thi ít nhất 2 môn thi trắc nghiệm.
Câu trả lời của bạn
Số phần tử của không gian mẫu là \(C_{8}^{5}=56\)
Số kết quả thuận lợi cho biến cố “giáo viên phụ trách coi thi ít nhất hai môn trắc nghiệm" là \(C_{8}^{5}-C_{4}^{1}.C_{4}^{4}=52\)
Xác suất cần tính là \(p=\frac{52}{56}=\frac{13}{14}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho tập hợp E= {1;2;3; 4;5;6} và M là tập hợp tất cả các số gồm hai chữ số phân biệt lập từ E. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc M. Tính xác suất để tổng hai chữ số của số đó lớn hơn 7.
Câu trả lời của bạn
+ Số phần tử của tập M là \(A_{6}^{2}=30\)
+ Các số có tổng hai chữ số lớn hơn 7 gồm: 26, 62, 35, 53, 36, 63, 45, 54, 46, 64, 56, 65. Có 12 số
Suy ra xác suất cần tìm là \(p=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}\)
Trong bộ môn Toán, thầy giáo có 40 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 15 câu hỏi trung bình, 20 câu hỏi dễ. Một ngân hàng đề thi mỗi đề thi có 7 câu hỏi đựơc chọn từ 40 câu hỏi đó. Tính xác suất để chọn được đề thi từ ngân hàng đề nói trên nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 4.
Câu trả lời của bạn
Không gian mẫu của việc tạo đề thi là:\(\left | \Omega \right |=C_{40}^{7}=18643560\)
Gọi A là biến cố chọn đựợc đề thi có đủ 3 loại câu hỏi(khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 4.
\(\left | \Omega_A \right |=C_{20}^{4}.C_{5}^{2}.C_{15}^{1}+C_{20}^{4}.C_{5}^{1}.C_{15}^{2}+C_{20}^{5}.C_{5}^{1}.C_{15}^{1}=4433175\)
Xác suất cần tìm là \(P(A)=\frac{\left | \Omega _A \right |}{\left | \Omega \right |}=\frac{915}{3848}\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Xét tập hợp E gồm các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ các chữ số {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập hợp E. Tìm xác suất để phần tử chọn được là một số chia hết cho 5.
Câu trả lời của bạn
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật.
Câu trả lời của bạn
- Có 10 đường kính của đường tròn được nối bởi 2 đỉnh của đa giác đều.
- Một hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác được tạo bởi 2 đường kính nói trên.
- Số cách chọn 4 đỉnh của đa giác là \(C_{20}^{4} = 4845\)
- Số cách chọn 4 đỉnh của đa giác tạo thành hình chữ nhật là \(C_{10}^{2} = 45\)
- Xác suất cần tìm là: \(P = \frac{45}{4845} = \frac{3}{323}\)
Help me!
Mạnh và Lâm cùng tham gia kì thi THPT Quốc Gia năm 2016, ngoài thi ba môn Toán, Văn, Anh bắt buộc thì Mạnh và Lâm đều đăng kí thêm hai môn tự chọn khác trong ba môn: Vật Lí, Hóa Học, Sinh Học dưới hình thức thi trắc nghiệm để xét tuyển vào Đại học, Cao đẳng. Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có 6 mã đề thi khác nhau, mã đề thi của các môn khác nhau là khác nhau. Tính xác suất để Mạnh và Lâm chỉ có chung đúng một môn tự chọn và một mã đề thi.
Câu trả lời của bạn
Không gian mẫu \(\Omega\) là các cách chọn môn tự chọn và số mã đề thi có thể nhận được của Mạnh và Lâm.
Mạnh có \(C_{3}^{2}\) cách chọn hai môn tự chọn, có \(C_{6}^{1}.C_{6}^{1}\) mã đề thi có thể nhận cho hai môn tự chọn của Mạnh.
Lâm có \(C_{3}^{2}\) cách chọn hai môn tự chọn, có \(C_{6}^{1}.C_{6}^{1}\) mã đề thi có thể nhận cho hai môn tự chọn của Lâm.
Do đó \(n(\Omega )=(C_{3}^{2}.C_{6}^{1}.C_{6}^{1})^2=11664\)
Gọi A là biến cố để Mạnh và Lâm chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi. Các cặp gồm hai môn tự chọn mà mỗi cặp có chung đúng một môn thi là 3 cặp, gồm:
Cặp thứ nhất là (Vật lí, Hóa học) và (Vật lí, Sinh học)
Cặp thứ hai là (Hóa học, Vật lí) và (Hóa học, Sinh học)
Cặp thứ ba là (Sinh học, Vật lí) và (Sinh học, Hóa học)
Suy ra số cách chọn môn thi tự chọn của Mạnh và Lâm là \(C_{3}^{1}\) .2! = 6
Trong mỗi cặp để mã đề của Mạnh và Lâm giống nhau khi Mạnh và Lâm cùng mã đề của môn chung, với mỗi cặp có cách nhận mã đề của của Mạnh và Lâm là
\(C_{6}^{1}.C_{6}^{1}.1.C_{6}^{1}=216\)
Suy ra \(n(\Omega )=216.6=1296\)
Vậy xác suất cần tính là \(P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{1296}{11664}=\frac{1}{9}\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Một nhóm gồm 6 học sinh có tên khác nhau, trong đó có hai học sinh tên là An và Bình. Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh đó thành một hàng dọc. Tính xác suất sao cho hai học sinh An và Bình đứng cạnh nhau.
Câu trả lời của bạn
Mỗi cách xếp ngẫu nhiên 6 học sinh thành 1 hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử \(\Rightarrow n(\Omega )=\) 6!= 720 (phần tử)
Gọi A là biến cố: "An và Bình đứng cạnh nhau"
\(\Rightarrow n(A)=\) 5!.2!=240 (phần tử)
\(\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{240}{720}=\frac{1}{3}\) (phần tử)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Trong một đợt phỏng vấn học sinh trường THPT Kim Liên để chọn 6 học sinh đi du học Nhật Bản với học bổng là được hỗ trợ 75% kinh phí đào tạo. Biết số học sinh đi phỏng vấn gồm 5 học sinh lớp 12C3, 7 học sinh lớp 12C7, 8 học sinh lớp 12C9 và 10 học sinh lớp 12C10. Giả sử cơ hội của các học sinh vượt qua cuộc phỏng vấn là như nhau. Tính xác suất để có ít nhất 2 học sinh lớp 12C3 được chọn.
Câu trả lời của bạn
Số phần tử của kg mẫu là: \(n(\Omega )=C^6_{30}=593775\)
Gọi A là biến cố có ít nhất 2 h/s lớp 12C3 được chọn
\(n(\overline{A})=C^6_{25}+C^1_{5}.C^5_{25}=442750\)
Xác suất của b/c A là: \(P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{442750}{596775}=\frac{151025}{593775}\approx 0,25\)
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Đội tuyển học sinh giỏi toán của một trường có 8 học sinh lớp 12 và 7 học sinh khối 11. Giáo viên cần chọn 5 em tham gia thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có cả học sinh khối 12 và khối 11.
Câu trả lời của bạn
Số phần tử của không gian mẫu: \(\left | \Omega \right |=C^5_{15}\)
Gọi A là biến cố: “ 8 học sinh chọn có cả khối 12 và 11”
Số phần tử của biến cố A: \(\left | \Omega_A \right |=C^{5}_{15}-C^{5}_8-C^{5}_7\)
Xác suất: \(P(A)=\frac{\left | \Omega _A \right |}{\left | \Omega \right |}= \frac{C^{5}_{15}-C^{5}_8-C^{5}_7}{C^{5}_{15}}=\frac{38}{39}\)
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Một lớp học có 27 học sinh nữ và 21 học sinh nam. Cô giáo chọn ra 5 học sinh để lập một tốp ca chào mừng 20 - 11. Tính xác suất để trong tốp ca đó có ít nhất một học sinh nữ.
Câu trả lời của bạn
Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong số 48 học sinh ta có số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega )=C_{48}^{5}=1712304\)
Gọi A là biến cố " chọn 5 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nữ" thì A là biến cố " chọn 5 học sinh m| trong đó không có học sinh nữ ".
Ta có số kết quả thuận lợi cho \(\overline{A}\) là:
\(n(\overline{A})=C_{21}^{5}=20349\Rightarrow P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\omega )}=\frac{20349}{1712304}\)
\(\Rightarrow P(A)=1-\frac{20349}{1712304}=\frac{1691955}{1712304}\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn trong đó có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và một môn do thí sinh tự chọn trong số các môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí. Trường A có 30 học sinh đăng kí dự thi, trong đó có 10 học sinh chọn môn Lịch sử. Lấy ngẫu nhiên 5 học sinh bất kỳ của trường A, tính xác suất để trong 5 học sinh đó có nhiều nhất 2 học sinh chọn môn Lịch sử.
Câu trả lời của bạn
Số phần tử của không gian mẫu là: \(n(\Omega )=C_{30}^{5}=142506\)
Gọi A là biến cố : “5 học sinh được chọn có nhiều nhất 2 học sinh chọn môn lịch sử
Số phần tử của biến cố A là \(n(A )=C_{20}^{5}+C_{20}^{4}.C_{10}^{4}+C_{20}^{3}.C_{10}^{2}=115254\)
Vậy xác suất cần tìm là \(P(A)=\frac{115254}{142506}\approx 0,81\)
Một đoàn gồm 30 người Việt Nam đi du lịch bị lạc tại Châu Phi, biết rẳng trong đoàn có 12 người biết tiếng Anh, có 8 người biết tiếng Pháp và có 17 người chỉ biết tiếng Việt. Cần chọn ra 4 người đi hỏi đường. Tính xác suất trong 4 người được chọn có 2 người biết cả 2 thứ tiếng Anh và Pháp.
Câu trả lời của bạn
Số người biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là 30-17=13 mà tổng số người biết Anh và Pháp là 20 nên số người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp là 20 -13=7
Chọn 4 người bất kì từ 30 người có \(C_{30}^{4}=27405\Rightarrow n(\Omega )=27405\)
Gọi A là biến cố của xác suất cần tính ta tính n(A) như sau:
Chọn 2 người trong sô 7 người biết cả Anh và Pháp, tiếp theo chon 2 người trong số 23 người còn lại \(\Rightarrow n(A)=C_{7}^{2}.C_{23}^{2}=5313\)
\(P(A)=\frac{253}{1305}\)
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn \(C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+...+C_{2n}^{2n}=2^{2015}\)
Câu trả lời của bạn
Xét \((1+x)^{2n}=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{1}x+C_{2n}^{2}x^2+...+C_{2n}^{2n}x^{2n}\)
Với x = -1 ta có: \(0=C_{2n}^{0}-C_{2n}^{1}+C_{2n}^{2}-C_{2n}^{3}+...+C_{2n}^{2n} \ (1)\)
Với x = 1 ta có: \(2^{2n}=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{1}+C_{2n}^{2}+...+C_{2n}^{2n} \ \ (2)\)
Lấy (1) + (2) được: \(2(C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+...+C_{2n}^{2n})=2^{2n}\)
Do đó \(2^{2x-1}=2^{2015}\Leftrightarrow 2n-1=2015\Leftrightarrow n=1008\)
Vậy n cần tìm là n = 1008
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *